高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系课件 新人教B版必修1.ppt

3 2 3指数函数与对数函数的关系 一 二 一 反函数的概念 问题思考 1 1 已知一次函数y 2x 1 你能从方程的角度把x用y表示出来吗 一 二 2 填空 1 构成反函数的前提 函数f x 是一一映射 2 反函数的定义把函数f x 的因变量作为新的函数的自变量 而把函数f x 的自变量作为新的函数的因变量 我们就称这两个函数互为反函数 3 反函数的记法函数y f x 的反函数通常用y f 1 x 表示 一 二 二 指数函数与对数函数的关系 问题思考 1 函数y ax a 0 且a 1 与函数y logax a 0 且a 1 的解析式有何内在联系 提示 根据对数式与指数式的互化可知y ax可化为对数式 x logay 再将等式 x logay 中的x y互换 也就形成了对数函数y logax 从这一内在联系可以看出y ax与y logax的定义域和值域是互换的 2 函数y ax a 0 且a 1 与函数y logax a 0 且a 1 的单调性有一致性吗 提示 当01时 上述两个函数均是其定义域上的增函数 因此单调性具有一致性 但变化速度有差异 一 二 3 填空 1 关系指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 2 图象特征指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y logax a 0 a 1 的图象关于直线y x对称 3 单调性当a 1时 在区间 1 内 指数函数y ax随着x的增长 函数值的增长速度逐渐加快 而对数函数y logax的增长速度逐渐变得很缓慢 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 任何函数都有唯一一个反函数 2 若函数y logax的图象过点 m n 则函数y ax的图象定过点 n m 3 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求反函数 例1 求下列函数的反函数 分析 按照求反函数的基本步骤求解即可 解 1 由y log2x 得x 2y 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求函数的反函数的主要步骤 1 从y f x 中解出x y 2 x y互换 3 标明反函数的定义域 即原函数的值域 简记为 一解 二换 三写 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1求函数y 2x 1 x 0 的反函数 解 由y 2x 1 得2x y 1 x log2 y 1 y log2 x 1 又 x 0 0 2x 1 1 2x 1 2 所求函数的反函数为y log2 x 1 1 x 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 指数函数与对数函数图象的关系 例2 1 已知a 0 且a 1 则函数y ax与y loga x 的图象只能是 2 将y 2x的图象 再作关于直线y x对称的图象 可得到函数y log2 x 1 的图象 a 先向上平行移动一个单位长度b 先向右平行移动一个单位长度c 先向左平行移动一个单位长度d 先向下平行移动一个单位长度 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 1 方法一 首先 曲线y ax只可能在上半平面 y loga x 只可能在左半平面 从而排除a c 其次 从单调性着眼 y ax与y loga x 的单调性正好相反 又可排除d 故选b 方法二 若01 则曲线y ax上升且过点 0 1 而曲线y loga x 下降且过点 1 0 只有b满足条件 方法三 如果注意到y loga x 的图象关于y轴的对称图象为y logax 又y logax与y ax互为反函数 图象关于直线y x对称 则可直接选b 2 本题是关于图象的平移变换和对称变换 可求出解析式或利用几何图形直观推断 答案 1 b 2 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟互为反函数的图象特点 1 互为反函数的图象关于直线y x对称 图象关于直线y x对称的两个函数互为反函数 2 互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致 3 若一奇函数有反函数 则它的反函数也是奇函数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 指数函数与对数函数关系的综合应用 例3 设方程2x x 3 0的根为a 方程log2x x 3 0的根为b 求a b的值 分析 根据方程的特点 难以从正面下手 可转变方程形式 用数形结合的方法求解 解 将方程整理得2x x 3 log2x x 3 如图可知 a是指数函数y 2x的图象与直线y x 3交点a的横坐标 b是对数函数y log2x的图象与直线y x 3交点b的横坐标 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由于函数y 2x与y log2x互为反函数 所以它们的图象关于直线y x对称 由题意可得出a b两点也关于直线y x对称 于是a b两点的坐标为a a b b b a 则a b都在直线y x 3上 b a 3 a点坐标代入 或a b 3 b点坐标代入 故a b 3 反思感悟根据指数函数与对数函数图象的关系 利用数形结合 等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对反函数定义理解 不清而致误 典例 已知函数y f x 1 与函数y g x 的图象关于直线y x对称 且g x 的图象过定点 1 2018 则y f 1 x 1 的图象过定点 错解 g x 的图象过定点 1 2018 y f x 1 的图象过定点 2018 1 y f 1 x 1 的图象过定点 1 2018 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错解过程是把f x 1 与f 1 x 1 误认为是互为反函数了 实际上f x 与f 1 x 是互为反函数的 对此不能对自变量x随意变化拓展 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 g x 的图象过定点 1 2018 f x 1 的图象过定点 2018 1 又 f x 的图象可以看作由f x 1 的图象向右平移一个单位长度得到的 f x 过定点 2019 1 又 f x 与f 1 x 互为反函数 f 1 x 的图象过定点 1 2019 再结合f 1 x 与f 1 x 1 的关系可知 f 1 x 1 的图象过定点 0 2019 防范措施1 防止以上错误的产生 首先要明确反函数的求解原则和步骤 并且要清楚f x 与f 1 x 是互为反函数的本质是等式中的x y进行了互换 2 对于复合函数f x 1 的函数的求解 可将 x 1 看成整体来对待 即由y f x 1 可初步得x 1 f 1 y 即y f 1 x 1才是y f x 1 的反函数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知函数y f x 2