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2 2 2间接证明 高中数学选修 问题情境 2000多年前 亚里士多德认为 物体自由下落时 重的比轻的快 16世纪末 伽利略用下面的思想实验反驳了亚里士多德的结论 假设亚里士多德的结论是正确的 现在有两个重量不同的物体a和b a比b重 则a下落得比b快 如果把a和b拴在一起 记为a b b会把a b下落的速度拖慢 因此 a b的下落速度应该比a慢 另一方面 因为a b比a重 按照亚里士多德的论断 a b的下落速度应该比a快 这样就产生了矛盾 因而亚里士多德的论断是错误的 问题1伽利略是怎样驳斥亚里士多德的论断的 能不能把这种方法运用在命题的证明之中 学生活动 问题2上述证明使用的是什么证明方法 它是怎样证明结论的 问题3我们知道下面的结论都是正确的 你能用和上面类似的方法证明吗 1 将5本书放在2个抽屉里 必定有一个抽屉的书至少有3本 2 两个不相等的角 一定不是对顶角 3 在同一个三角形的3个内角中 至少有2个是锐角 4 如果一个正整数的平方是偶数 那么这个数也是偶数 1 间接证明 上述证明不是从原命题的条件逐步推得命题成立 像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明 反证法是一种常用的间接证明方法 否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 原结论成立 合理的推理 数学建构 2 反证法证明步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 反证法的思维方法 正难则反 3 应用反证法的情形 1 直接证明困难 2 需分成很多类进行讨论 3 结论为 至少 至多 有无穷多个 类命题 4 结论为 惟一 类命题 先求出周期 思路 用反证法证明是最小正周期 数学运用 例1求证 正弦函数没有比2 小的正周期 例2求证 是无理数 间
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