最值.doc

1. 直接观察法例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是：例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是：2. 配方法例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，83. 判别式法例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。7. 换元法例11. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为8. 数形结合法例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：10. 一一映射法例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+(23x)的值域解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的值域为.2、求函数 的值域解： 对称轴 例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)法二：换元法(下题讲)例4 求函数 的值域 解：（换元法）设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4例7 求 的值域解法一：（图象法）可化为 如图， 观察得值域例8 求函数 的值域解：（换元法）设 ，则 原函数可化为10xy 例11 求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（分离常数法）由 ，可得值域例13 函数 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（换元法）设 ，则 10例14 求函数的值域5解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域5、求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y41、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)， 故 所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，