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概率论与数理统计 昆明理工大学数学系2009 08 第三章二维随机变量及其分布 二维随机变量二维离散型随机变量的分布律及性质二维连续型随机变量及其概率密度两个随机变量的函数的分布 除一维随机变量外 我们往往还要同时考虑两个 三个或更多随机变量构成的随机变量组 它们的值分别由两个 三个或更多个数来确定 这样的随机变量分别叫做二维 三维或多维随机变量 引言 例如 打靶时 弹着点就由两个随机变量 弹着点的横坐标 纵坐标所构成 例如 炼钢炼出每炉钢的硬度 含碳量 含硫量 在一起组成了一个三维随机变量 1二维随机变量 定义一 设是定义在上的随机变量 由它们构成的一个向量叫做维随机向量或维随机变量 简言之 如果维随机变量的取值是随试验结果而确定的 则称这个维变量为维随机变量 相应地 称的取值规律为维分布 定义二设是二维随机变量 对任意实数称 简记为 为二维随机变量的联合分布函数 如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标 那么 分布函数在处的函数值就是随机点落在如下图3 1所示的以为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形内的概率 由上定义 由图3 2易得 0 1 1 分布函数具有以下性质 性质1是变量的不减函数 即对于固定的 当 时 对于固定的 当 时 性质20 1 且对于固定的 0 对于固定的 0 0 1 性质3 即关于右连续 关于也右连续 同样 对个实数 元函数称为维随机变量的联合分布函数或简称分布函数 它也具有类似于二维随机变量的分布函数的性质 例1随机变量的分布函数为 求系数 解由分布函数的性质有 从而对任意的 有 于是 有 又 将 的值代入 得 2二维离散型随机变量的分布律及性质 象一维离散型分布那样 可以用一个概率分布来表达二维离散型分布 设二维离散型随机变量可能的取值为 记则的联合概率分布律 简称分布律 也可用如下表3 1表示 其中 一 二维离散型随机变量的联合概率分布 定义若二维随机变量的可能取值的全体为有限或可数多个数组 则称为二维离散型随机变量 对二维离散型随机变量 由图3 1知离散型随机变量和的联合分布函数为 2 1 例1一口袋中有三个球 它们依次标有数字1 2 2 从这袋中任取一球后 不放回袋中 再从袋中任取一球 设每次取球时 袋中各个球被取到的可能性相同 以 分别记第一次 第二次取得球上标有的数字 求的概率分布 解可能取的值为数组 1 2 2 1 2 2 下面先算出取每组值的概率 第一次取得1的概率为 第一次取得1后 第二次取得2的概率为1 因此 按乘法定理 得第一次取得2的概率为 第一次取得2后 第二次取得1 2的概率都为 同理可得于是 所要求的概率密度如表3 2 二 二维离散型随机变量的边缘概率分布 二维随机变量作为一个整体 具有分布函数 而和都是随机变量 也分别具有分布函数 记之为 依次称为二维随机变量关于和的边缘分布函数 边缘分布函数可以由的分布函数所确定 事实上即 2 2 同理 2 3 对离散型随机变量 由 2 1 和 2 2 可得 设是二维离散型随机变量 它的概率分布如表3 1所示 那么 同理可得关于的边缘概率分布也是离散的 它的概率分布如表3 4 其中 以后把记作 因此关于的边缘概率分布也是离散的 它的概率分布如表3 3 例2设二维离散型随机变量的概率分布如表3 5 求关于及关于的边缘概率分布 解求得边缘概率分布如表3 6所示 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上 如上表所示 这便是 边缘分布律 这个词的由来 三 二维离散型随机变量的条件概率分布 前面第一章讨论过事件的条件概率 在事件发生的条件下事件发生的条件概率为 这里对二维随机的变量 我们考虑在其中一个变量取固定值的条件下 另一个变量的概率分布 这样得到的或的概率分布叫条件分布 对二维离散型随机变量 设 0 考虑在随机变量取得可能值的条件下 随机变量取它的任一可能值的条件概率由上述随机事件的条件概率公式可得 2 4 易知 上述条件概率满足概率分布的性质 1 2 同理 设 则可得到在时随机变量的条件概率分布为 2 5 且 1 2 例3设二维离散形随机变量的概率分布如表3 7 求时关于的条件概率分布及时关于的条件概率分布 解求得边缘概率分布为 由得的条件概率分布为 由得时关于的条件概率分布为 四 独立性 下面借助于随机事件的相互独立性 引入随机变量的相互独立性的概念 已知任二事件相互独立的充分必要条件是 从而有如下定义 定义设及 分别是二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数 若对所有的有即 2 6 则称随机变量是相互独立的 当为离散型随机变量时 是相互独立的条件 2 6 式等价于 对于的所有可能取值有即 2 7 反之 若存在使得 则称不独立 例4相互独立 填如下表3 8空白处的值 解故 又相互独立 所以 从而所以同理所以从而 例5设表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的次数 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么 二维随机变量概率分布如表3 9所示 问随机变量是不是相互独立 解仔细观察概率分布表及由它算出的边缘概率分布 发现于是有 所以不是相互独立的随机变量 其实 我们从的实际背景容易得出 头两次掷出的正面次数肯定要影响三次掷出的正面次数 故不可能相互独立 例6证明离散型随机变量独立的充分必要条件是 对实数轴上的任意两个点集有 2 8 成立 证明若对任意两个点集有 2 8 成立 则当依次为单点集时 仍有 成立 所以独立 反之 若独立 则成立 从而对实数轴上的任意两个点集有 因为独立 得证 3二维连续型随机变量及其概率密度 与一维随机变量类似 对于二维随机变量 若存在定义域为整个平面上的非负函数 使的分布函数可表为 3 1 则称为二维连续型随机变量 称为二维连续型随机变量的联合概率密度或概率密度 一 二维连续型随机变量 的联合分布 按定义 概率密度具有以下性质 1 2 3 设是平面上的区域 点落在内的概率为 4 若在点连续 则有 由性质 4 和 1 1 如图3 3 在的连续点处有 这表示若在点连续 则当很小时 即落在小长方形内的概率近似地等于 几何上表示空间的一个曲面 由性质 2 知 介于它和平面的空间区域的体积为1 由性质 3 的值等于以为底 以为顶面的曲顶柱体体积 如图3 4 例1若二维随机变量具有概率密度其中为区域的面积 则称服从区域上的均匀分布 特别地 设在以圆点为中心 为半径的圆域上服从均匀分布 求二维联合概率密度 解当时 当时 其中为常数 由密度函数的性质得 所以 由此得二维联合概率密度为 例2设二维随机变量具有概率密度 1 求分布函数 2 求 解 1 即有 2 将看作平面上随机点的坐标 即有 其中为平面上直线及其下方的部分 如图3 5 于是 例3二维随机变量的联合密度为求 1 系数 2 随机变量落在圆内的概率 解 1 由得 用极坐标有 2 二 二维连续型随机变量的边缘分布 与二维离散型随机变量类似 在等式中 令得连续型随机变量的边缘分布函数由此得随机变量的边缘概率密度函数 3 2 同理可得随机变量的边缘分布函数 3 3 的边缘概率密度函数 3 4 例4设二维随机变量在以圆点为中心 为半径的圆域上服从均匀分布 求及的边缘概率密度 在上面例1中 我们已经求出二维联合概率密度所以 按公式 3 2 得的边缘概率密度为同理可得的边缘概率密度为这里值得注意的是 二维随机变量在圆域上服从均匀分布 但是它们的边缘分布都不是均匀分布 例5设二维随机变量的概率密度函数为求边缘概率密度 解对任意 当或时 对任意 可知边缘概率密度为 例6设二维随机变量的联合概率密度为 其中 其中都是常数 且 我们称为服从参数为的二维正态分布 这五个参数的意义将在下一章说明 记为试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解因为于是 将上式代入 令 对微分 看作常数 从而 同理 我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 并且都不依赖于参数 亦即对于给定的不同的对应不同的二维正态分布 它们的边缘分布却都是一样的 这一事实表明 仅由关于和关于的边缘分布 一般来说是不能确定随机变量和的联合分布的 三 二维连续型随机变量的条件分布 设为二维连续型随机变量的概率密度为如何规定这分布在条件下的概率分布呢 由于这时服从连续型分布 因此不能直接利用乘法公式来定义条件分布 对二维离散型随机变量 设 在随机变量取得可能值的条件下 随机变量取它的任一可能值的条件概率由上述随机事件的条件概率公式可得 这就启发我们 对于二维连续型分布 规定在条件下的条件分布为如下连续型分布 定义设二维连续型随机变量的概率密度为关于的边缘密度为 若对于固定的 则称为在的条件下的条件概率密度 记为 3 5 称为在的条件下的条件分布函数 记为或即显然 条件概率密度满足条件 1 2 类似地 规定在条件下的条件分布为一个连续型分布 它的概率密度函数和分布函数分别为 3 6 这里为关于的边缘密度 例7随机变量在矩形域服从均匀分布 求及的条件概率密度 解按题意具有联合概率密度对于任意给定的值 在的条件下 的条件概率密度为对于任意给定的值 在的条件下 的条件概率密度为即均服从均匀分布 例8设二维随机变量在以圆点为中心 为半径的圆域上服从均匀分布 分别求关于及的条件概率密度 解我们有当时 当时 其中为常数 由前面例5得二维联合概率密度为得的边缘概率密度为 同理得的边缘概率密度为所以按式 3 5 及 3 6 即得的条件概率密度及的条件概率密度由此可见 在的条件下的条件概率密度或者在的条件下的条件概率密度都是均匀分布 四 二维连续型随机变量的相互独立性 定义 设及 分别是二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数 若对所有的有即 3 7 则称随机变量是相互独立的 上面 3 7 式两边分别对和各微分一次 即得 3 8 从而 随机变量是相互独立的充分必要条件为 3 8 几乎处处成立 此处 几乎处处成立 的含义是 在平面上除去 面积 为零的集合外处处成立 事实上 如服从区域上的均匀分布 则只有当为矩形区域 时 与分别服从上的均匀分布 且与独立 反之亦然 解易求得具有概率密度 得的边缘概率密度为又得的边缘概率密度为可见 故随机变量和不是独立的 例9设二维随机变量在上服从均匀分布 问与是否相互独立 例10设二维随机变量具有概率密度问随机变量和是否相互独立的 解故有 因而随机变量和是相互独立的 例11二维正态随机变量的概率密度为求证相互独立等价于 作代换便得关于的边缘概率密度为即的分布为同理可得关于的边缘概率密度为即的分布也为 因此 如果 则对于所有的有 因而随机变量和是相互独立的 反之 如果随机变量和相互独立 由于都是连续函数 故对于所有的有 反之 即令 这等式化成 从而 综上所述 得到以下结论 二维正态随机变量 和相互独立充分必要条件为 我们指出 如果随机变量相互独立 则任一变量的条件概率密度等于其边缘概率密度 事实上 这时我们有以上所述关于二维随机变量的一些概念 容易推广到维随机变量的情况 上面说过 对个实数 元函数称为维随机变量的联合分布函数或简称分布函数 它也具有类似于二维随机变量的分布函数的性质 若存在非负函数使对于任意实数有则称为的概率密度函数 设的分布函数为已知 则的维边缘分布函数就随之确定 例如关于 关于的边缘分布函数分别为 又若为的概率密度函数 则关于 关于的边缘密度函数分别为若对于所有的有则称是相互独立的 其中依次为随机变量和的分布函数 则称随机变量和是相互独立的 我们不加证明地给出以下定理 它在数理统计中是很有用的 定理设和相互独立 和相互独立 又若是连续函数 则和相互独立 4两个随机变量的函数的分布 首先我们考虑两个离散型随机变量与的和 显然 它也是离散型随机变量 记作 变量的任一可能值是变量的可能值与变量的可能值的和但是 对于不同的及 它们的和可能是相等的 所以 按概率加法定理 我们有或者也可以写成 4 1 一 的分布 这里求和的范围可以认为是一切的值 如果对于的某一个值 数不是变量的可能值 则我们规定同理可得 4 2 如果与相互独立 则有 4 3 或 4 4 以上两式又称离散卷积公式 在二维离散型随机变量和的概率分布式 4 1 中 将概率换为概率密度 将和 换为积分 则类似的可得到二维连续型随机变量和的概率密度为 4 5 由的对称性 又可写成 4 6 上述两等式是两个随机变量和的概率密度的一般公式 特别 当和相互独立时 设关于的边缘概率密度分别 则上述两等式分别化为 4 7 4 8 这两个公式称为卷积公式 记为 即 例1设 的概率分布如表3 8 求 1 2 的概率分布 解由的概率分布可得表3 9 从而得 1 的概率分布如表3 10 2 的概率分布如表3 11 例2设与相互独立 依次服从泊松分布 求随机变量的概率分布 解的可能取值为0 1 2 故服从泊松分布 即 若与相互独立 依次服从泊松分布 则服从泊松分布 这一性质称为泊松分布的可加性 例3设和是相互独立相互独立随机变量 它们都服从分布 其概率密度分别为 求的概率密度 解 令 即服从分布 一般地 设和是相互独立 且 由 4 7 式经过计算知仍然服从正态分布 且有这一性质称为正态分布的可加性 这个结论还能推广到个独立正态随机变量之和的情况 若 且它们都相互独立 则它们的和仍然服从正态分布 且有 更一般地 可以证明有限个相互独立的正态随机