《矩阵与数值分析》数值实验报告

矩阵与数值分析数值实验报告土木水利学院 李天娇 21306101大连理工大学2013级工科硕士研究生矩阵与数值分析数值实验报告教学班号：04任课教师：金光日所在院系：学 号：姓 名：完成日期：2013年12月20日- 1 -矩阵与数值分析数值实验报告目录一、求数列的前N项和- 1 -题目一、- 1 -1、问题- 1 -2、程序- 1 -3、结果与分析- 1 -二、解线性方程组- 2 -题目一、- 2 -1、问题- 2 -2、程序- 3 -3、结果与分析- 5 -题目二、- 5 -1、问题- 5 -2、程序- 5 -3、结果与分析- 7 -三、非线性方程的迭代解法- 8 -题目一、- 8 -1、问题- 8 -2、程序- 8 -3、结果与分析- 9 -题目二、- 10 -1、问题- 10 -3、结果与分析- 12 -四、数值积分- 12 -题目一、- 12 -1、问题- 12 -2、程序- 12 -3、结果与分析- 13 -五、插值与逼近- 13 -题目一、- 13 -1、问题- 13 -2、程序- 13 -3、结果与分析- 15 -题目二、- 19 -1、问题- 19 -2、程序- 19 -3、结果与分析- 21 -一、 求数列的前N项和题目一、1、问题设，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序分别计算并指出两种方法计算结果的有效位数。2、程序- 21 -（1）从小到大（从2到N）（2）从大到小（从N到2）3、结果与分析（1）从小到大（2）从大到小分析：使用 format long，显示15位双精度。当按照从2到N方法叠加时，anan+1，会出现“大数吃小数“现象，导致有效数字位数损失，有效数字位数少于使用=1000，或N=1000000逆序开始求和。二、 解线性方程组题目一、1、问题分别利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组，其中常向量为维随机生成的列向量，系数矩阵具有如下形式，其中为阶矩阵，为阶单位矩阵，迭代法计算停止的条件为：，给出时的不同迭代步数2、程序（1）Jacobi迭代法（2）Gauss-Seidel迭代法3、结果与分析迭代次数结果比较方法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法n=10520307n=2022901266n=30未求出2899分析：对本题来讲Gauss-Seidel迭代法收敛速度更快。题目二、1、问题用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：2、程序（1）Gauss列主元消去法（2）QR方法3、结果与分析（1）Gauss列主元消去法（2）QR方法分析：QR方法相对于高斯列主元消去法具有数值稳定性。三、 非线性方程的迭代解法题目一、1、问题求方程的根，迭代停止的条件为：。2、程序（1）步骤1，先建立用二分法确定根的范围的m文件f.m。（2）步骤2，用Newton法求出方程的根。3、结果与分析（1）二分法确定根的范围（2）Newton法求解方程的根。分析： Newton法收敛速度快，但求解时，若初值选择不当，则结果偏差较大，所以，用二分法先求根的近似解，再用Newton法迭代求解方程的精确根。题目二、1、问题利用Newton迭代法求多项式的所有实零点，注意重根的问题。2、程序（1）建立m文件newton1.m（2）在command window输入如下命令3、结果与分析分析：所以该方程结果为x1=-2，x2=1（二重跟），x3=3.对于Newton法，根所在的估计区间越准确越好，相差不多的区间也可以引起所求根的剧烈波动。四、 数值积分题目一、1、问题分别用三点Gauss型求积公式计算积分2、程序（1）建立Gauss型求积公式函数的m文件guassl.m。（2） 建立被积函数的m文件guassf.m。3、结果与分析五、 插值与逼近题目一、1、问题给定上的函数，请做如下的插值逼近：（1）构造等距节点分别取，的Lagrange插值多项式；（2）取Chebyshev多项式的零点：，作插值节点构造的插值多项式和上述的插值多项式均要求画出曲线图形（用不同的线型或颜色表示不同的曲线）。2、程序（1）Lagrange插值多项式。（2）取Chebyshev多项式的零点作插值节点构造的插值多项式。3、结果与分析（1）Lagrange插值多项式1）n=52）n=83）n=10（2）取Chebyshev多项式的零点作插值节点构造的插值多项式。（3）总对比图分析：利用拉格朗日插值方法计算，随着n的增大，中间点逼近的越来越好，而两侧却由于拉格朗日构造的多项式次数太大而发散。利用拉格朗日分段线性插值时，由于每次取2个点进行拉格朗日插值，故逼近非常好，但是光滑性不好，利用Chebyshev多项式 的零点够造多项式插值时，结果逼近情况非常好，并且光滑性也很好。题目二、1、问题已知函数值346602和边界条件：求三次样条插值函数并画出其图形2、程序（1）建立三次样条插值(含多种边界条件)的m文件spline3.m。（2） 输入针对本题的已知条件。3、结果与分析Sx1=6+x-3-14.333x-32+7.333x-33 3x4S(x)2=-5.6667x-4+7.6667x-42-2.1667x-43 4x6化简得Sx1=-323.988+