专升本 高数第四讲 导数的应用 (详细).pptx

第四讲导数的应用 复习考试要求 1 熟练掌握用洛必达法则求 00 0 型未定式的极限的方法 2 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增 减区间的方法 会利用函数的单调性证明简单的不等式 3 理解函数极值的概念 掌握求函数的驻点 极值点 极值 最大值与最小值的方法 会解简单的应用题 4 会判断曲线的凹凸性 会求曲线的拐点 5 会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 一 洛必达法则求极限 导数的应用 例 计算 例 例 例 使用洛必达法则求 型或 型极限时的注意事项 1 使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是 型或 型 如果不是则不能使用洛必达法则 例 不能运用洛必达法则 直接代入求极限即可 2 洛必达法则可多次连续使用 也就是说 如果使用一次洛必达法则后算式仍然是 型或 型 则可再次使用洛必达法则 依此类推 3 洛必达法则是求 型或 型未定式极限的一种有效方法 但最好能与其他求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简便 例如 求可先用进行无穷小的等价替换 然后再用洛必达法则 故 4 如果求极限的式子中含有非零因子 则可以对该非零因子单独求极限 即可以先求出这部分的极限 然后再利用洛必达法则 以便简化运算 例如 从第二步到第三步的过程中 分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x当x 0时极限均为1 故可先求出这两部分的极限以便化简运算 5 当洛必达法则的条件不满足时 所求极限不一定不存在 也即是说 不存在时 等于无穷大的情况除外 仍可能存在 例如 的极限是不存在的 但是原极限是存在的 1求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 求 解 原式 原式 最后的极限不存在 不满足洛必达法则的条件 实际上 零点 f x 0的时候 x的值 曲线过x轴 驻点 f x 0的时候 x的值 拐点 f x 0的时候 x y 点 极值点导数为0 导数为0的不一定是极值点 在导数为0的点的两侧若函数单调性一致 则此点不是极值点 二阶导数为0 而三阶导数不为0 该点就是拐点呢 例 不求导数 判断函数的导数有几个零点 这些零点分别在什么范围 恰好有三个零点 分别在区间 1 2 2 3 3 4 二 利用导数研究函数的图形与性质 定理2 5设函数f x 在 a b 内可导 则 1 如果有f x 0 f x 在 a b 内严格单调增加 2 如果有f x 0 f x 在 a b 内严格单调减少 1 函数的单调性 利用导数判定函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求出函数的导数y f x 3 令f x 0 求在其定义域内所有驻点x驻点将定义域划分成若干子区间 在每个子区间内讨论f x 的正负符号 从而确定函数的单调增减区间 列表讨论 一般来说 用导数为零的点来划分单调区间 有时 导数不存在的点也可用来划分单调区间 求下列函数的单调区间 1 解 因 令 得 用x1 x2将函数的定义域R分成三个区间 1 1 2 2 其讨论结果如下表所示 由上表可得 函数的单调递增区间为 1 和 2 单调递减区间为 1 2 当x 0时导数不存在 将函数定义域分成两个区间 0 和 0 讨论结果如下表所示 2 解 函数的定义域为 所以函数的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 2 函数的极值 1 函数极值的定义定义设函数f x 在 a b 内有定义 x0是 a b 内的某一点 若存在点x0的一个邻域 使得对此邻域内任一点x x x0 恒有f x f x0 函数f x 有f x0 极小值 x0极小值点 极大值和极小值统称为函数的极值 极大值点和极小值点统称函数的极值点 2 极值存在的必要条件 定理2 6设函数f x 在点x0处具有导数 且在点x0取得极值 则必有f x0 0 一般地 称f x 0的点x为函数f x 的驻点 注意 极值点的导数存在 则极值点必定是驻点 反之驻点不一定是极值点 设f x x3 f x 3x2令f x 0 得驻点x 0设f x x2 f x 2x令f x 0 得驻点x 0当x0时 f x 0 x 0为f x 的极小值点 3 极值存在的充分条件 极值点有 个4 区间内任一点x处 f x 正负符号相同 那么f x0 不是极值 x0不是极值点 设函数f x 在点x0连续 且在点x0的某一空心邻域内可导 f x 可以等于0或不存在 定理2 8 第二充分条件 设函数f x 在点x0处有二阶导数 且f x0 0 f x0 0 则 当f x0 0时 则f x0 为极小值 当f x0 0时 则不能判定x0是否为极值点 对可导函数来说 极值点必为驻点 而驻点不一定是极值点 利用导数求函数极值的步骤 1 先求导数f x 令f x0 0 求出其定义域内的所有驻点及导数不存在的点xi i 1 2 k 2 若函数在点xi的去心邻域内可导 则利用极值的第一充分条件判定 即f x 在点xi的两侧异号时 f x 为极值 xi为极值点 若f x 在点xi的两侧同号时 f xi 不是极值 xi不是极值点 3 f x 易求且f xi 存在 则可以极值的第二充分条件判定 即f xi 0时 则f xi 为极小值 xi为极小值点 当f xi 0时 则f xi 为极大值 xi为极大值点 若f xi 0 则应改用极值的第一充分条件f x 判定f xi 是否为极值 xi是否为极值点 例函数y ln 1 x2 在 内 A 单调增加B 单调减少C 不单调D 不连续 令y 0 得x 0 当x0时 y 0 函数y ln 1 x2 单调增加 故选C 例求函数y xe x的单调增减区间和极值 解 函数的定义域为 y e x x e x 1 x e x令y 0 得驻点x 1又当x0 当x 1时 y 0 所以 函数y的单调增加区间为 1 函数y的单调减少区间为 1 函数y的极大值为y 1 e 1 且有 解 函数的定义域为 令 得驻点x 1 当X 0 不存在 驻点X 1及不可导点x 0 求下列函数的极值 由上表可得 函数的极大值为f 0 0 极小值为f 1 1 2 例3 0614 函数极值点为x x 0为的极小值点 3 曲线的凹向和拐点 1 曲线的凹向定义如果在 a b 内 曲线弧总位于其上任一点处的切线的上方 则称曲线弧在 a b 内是向上凹的 简称上凹 也称凹 如果在 a b 内 曲线弧总位于其上任一点处的切线的下方 则称曲线弧在 a b 内是向下凹的 简称下凹 也称凸 2 曲线凹向的判别法定理2 9设函数y f x 在开区间 a b 内具有二阶导数 如果在 a b 内的每一点x 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内是向上凹 凹 的 如果在 a b 内的每一点x 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内是向下凹 凸 的 定义若连续曲线y f x 上的点P x y 是曲线上凹与下凹的分界点 则称P点是曲线y f x 的拐点 求曲线y f x 的拐点的步骤 求出二阶导数f x 求出使二阶导数等于0或二阶导数不存在的点xi i 1 2 k 对于以上的连续点 检验各点的两侧二阶导数是否异号 如是 则该点就是拐点的横坐标 求出拐点的纵坐标 例2 求y x4 2x2 3的凹向区间 解 列表考察的符号 曲线的凹向与拐点 凹 凹 凸 故凸区间为 上 凹区间为 从左图可以看出 曲线上有两点为曲线从上凹转为下凹和从下凹转为上凹的分界点 由于在这些点处曲线拐弯 故称这种点为曲线的拐点 例2曲线y x3 3x 1的拐点是 解 定义域D f Y 3x2 3 y 6x令y 6x 得x 0当x0时 y 0 x 0带入 求得y 1所以曲线y y3 3x 1的拐点是 0 1 例求函数y x3 3x2 1的单调增减区间 极值及其曲线的凹凸区间和拐点 解 定义域D f 求导y 3x2 6x y 6x 6令y 0 得x 0 x 2 令y 0 得x 1列表得 所以函数的单调增加区间为 0 U 2 单调减少区间为 0 2 极大值为f 0 1 极小值为f 2 5 曲线的凸区间为 1 凹区间为 1 拐点为 1 3 4 曲线的渐近线 定义如果曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时 点P与某一固定直线L的距离趋于零 则称直线L为曲线C的渐近线 2 水平渐近线 1 垂直渐近线 例1求下列函数曲线的渐近线 解 1 直线x 1是曲线的垂直渐近线 直线y 0是曲线的水平渐近线 直线y 0是曲线的水平渐近线 2 3 y x是斜渐近线 例2描绘曲线y xe x 解函数非奇非偶函数 且无对称性 D y 0水平渐近线 拐点 极大 列表确定函数的性态 取点 1 e 例4 解 无奇偶性及周期性 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点 拐点 极大值 极小值 三 函数的最大 小 值 1 函数的最值设f x 在 a b 上是连续的 则f x 在 a b 上一定存在着最大值M和最小值m 且f x 在 a b 上的最值只能在 a b 内的极值点和区间端点中求得 注意 在开区间内连续的函数不一定有最大值和最小值 2 求连续函数f x 在区间 a b 上的最大值的解题步骤 求出函数f x 在 a b 内的所有驻点以及导数不存在点xi i 1 2 k 计算以上各点的函数值f x1 f x2 f xk 以及区间的两个端点的函数值f a f b 比较以上的k 2个函数值 其中最大的函数值就是最大值M 最小的函数值就是最小值m 注意 如果f x 在区间 a b 内只有一个极大值而没有极小值 则这个极大值就是f x 在区间 a b 内的最大值 同理如果f x 在区间 a b 内只有一个极小值而没有极大值 则这个极小值就是f x 在区间 a b 内的最小值 如果f x 在区间 a b 上为单调连续函数 则最大 小 值在区间端点取得 2 最大 小 值的应用问题 求解最大 小 值的应用问题的步骤 1 认真审题 弄清题意 列出函数解析式 2 对这个函数求极值 3 判定最大 小 值 4 答题 例将边长为a的一块正方形铁皮 四角各截去一个大小相同的小正方形 然后将四边折起做一个无盖的方盒 问截去的小正方形的边长为多少时 所得方盒的容积最大 最大容积为多少 解 设小正方形的边长为x 则方盒底面的边长为a 2x 又设方盒的容积为V 则 则 令 得驻点 其中不合题意 应舍去 当时 当时 所以为惟一的极大值点 即最大值点 亦即当小正方形的边长为a 6时 所得方盒的容积最大 为 求函数在区间 3 4 上的最值 解 因为 令 得 计算f 3 23 f 2 34 f 1 7 f 4 142 比较上述结果可知 最大值为f 4 142 最小值为f 1 7 求下列曲线的凹凸区间和拐点 当x 0时 f x 和f x 均不存在 但在区间 0 内 f x 0 故曲线在 0 上是凹的 在区间 0 内 f x 0 故曲线在 0 上是凸的 所以曲线的凹区间为 0 凸区间为 0 拐点为 0