湖南省高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(四)配套课件 理 新人教A版 .ppt

热点总结与强化训练 四 热点1空间几何体的三视图及其表面积 体积1 本热点在高考中的地位柱 锥 台 球及其简单组合体 三视图 直观图等内容是立体几何的基础 是研究空间问题的基本载体 也是高考对立体几何考查的一个重要方面 其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点 从近几年的新课标高考来看 对三视图的考查每年都有 主要以选择题 填空题的形式考查三视图 几何体的表面积 体积的计算 且难度有逐年加大的趋势 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看 对三视图的考查每年都有所变化 主要有以下几种方式 1 由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别 2 由三视图还原几何体 主要考查对空间几何体的认识及空间想象能力 3 借助于三视图研究几何体 将三视图与几何体的表面积 体积的计算结合在一起进行考查 另外 此类问题也可能以解答题的形式进行综合考查 以三视图的形式给出几何体的特征 进一步考查空间中的位置关系 1 识与画三视图的关键点 1 要牢记三视图的观察方向和长 宽 高的关系 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从物体的正前方 正左方 正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形 反映了一个几何体各个侧面的特点 正视图反映物体的主要形状特征 是三视图中最重要的视图 俯视图要和正视图对正 画在正视图的正下方 侧视图要画在正视图的正右方 高度要与正视图平齐 2 要熟悉各种基本几何体的三视图 2 空间几何体的表面积和体积 1 柱体 锥体 台体的侧面积就是各个侧面积之和 表面积就是各个面的面积之和 即侧面积和底面积之和 2 圆柱 圆锥 圆台 球的表面积和体积公式 3 几何体的表面积及体积问题求解技巧 1 求几何体的表面积和体积问题 可以多角度 多方位考虑 熟记公式是关键所在 求三棱锥的体积 等体积转化是常用的方法 转换原则是其高易求 底面放在已知几何体的某一面上 2 求不规则几何体的体积 常用分割或补形的思想 将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解 平时的备考中要从对空间几何体的整体观察入手 遵循从整体到局部 从具体到抽象的原则认识空间图形 通常采用直观感知认识空间图形 培养和发展空间想象能力及几何直观能力 同时对于几何体的表面积 体积的求法要加大训练 培养准确运算的能力 1 2011 广东高考 如图 某几何体的正视图 主视图 是平行四边形 侧视图 左视图 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 a 6 b 9 c 12 d 18 解析 选b 由三视图得 几何体为一平行六面体 底面是边长为3的正方形 高 所以几何体的体积故选b 2 2011 浙江高考 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 解析 选d 由三视图的概念容易判断a b的正视图应是正方形 c的俯视图不含从正方形的顶点到一边中点的斜线 故d正确 3 2012 济南模拟 一个几何体的三视图如图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 a 80 16 cm2 b 84cm2 c 96 16 cm2 d 96cm2 解析 选a 由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组合 s表面积 42 5 4 80 16 cm2 4 2012 揭阳模拟 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧棱长和底面边长均为4 且侧棱aa1 底面abc 其正视图是边长为4的正方形 则此三棱柱的侧视图的面积为 a 16 b c d 解析 选d 由题意知该三棱柱的侧视图是长为4 宽为的矩形 故其面积为 5 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积与体积分别为 a 7 3 b 8 3 c 7 d 8 解析 选c 由几何体的三视图可得 此几何体是四棱柱 底面是梯形 其表面积为s 2 1 2 1 12 12 1 2 1 7 体积为 6 2012 潍坊模拟 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a和b的线段 则a b的最大值为 a b c 4 d 解析 选c 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图 设长方体的长 宽 高分别为m n k 由题意得 n 1 a2 1 b2 1 6 a2 b2 8 a b 2 a2 2ab b2 8 2ab 8 a2 b2 16 即a b 4 当且仅当a b 2时取等号 7 2012 福州模拟 一几何体的三视图如图所示 1 画出它的直观图 并求其体积 2 你能发现该几何体的哪些面互相垂直 试一一列出 解析 1 几何体的直观图如图 棱锥p abc 其中pc 平面abc abc 90 abc斜边ac上的高为cm pc 6cm ac 5cm 2 互相垂直的面分别有 平面pac 平面abc 平面pbc 平面abc 平面pbc 平面pab 热点2点 线 面的位置关系及空间向量在立体几何中的应用1 本热点在高考中的地位点 直线 平面的位置关系主要包括空间点 直线 平面之间的位置关系及线面 面面平行 垂直 的判定和性质 是解决立体几何中推理和计算问题的基础 而空间向量在立体几何中主要用于证明空间线面间的位置关系及计算空间角 它们都是高考的必考内容 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度高考对本部分内容考查的题型比较稳定 以空间线面关系的推理证明与二面角的求解为主 难度中等 1 以选择题 填空题的形式考查空间中的位置关系 且这种题型常与充要条件及命题结合在一起 有时也以此类题型考查空间角的求法 2 解答题考查空间角的求法以及线线 线面 面面的垂直与平行等 第一问一般为空间线面关系的证明 第二问一般是二面角的求法 并且根据几何体很容易建立空间直角坐标系 将二面角的求解转化为空间向量的有关运算 1 直线 平面平行的判定与性质利用线线平行 线面平行 面面平行的相互转化 解决平行关系的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而应用性质定理时 其顺序正好相反 但也要注意其转化的方向 要依题目的具体条件而定 不可过于模式化 2 直线 平面垂直的判定与性质 1 线面垂直的判定和性质实质体现了线线垂直与线面垂直的相互转化 判定定理中的两条相交直线必须保证 在平面内相交 这一条件 而且已知线面垂直 则直线与平面内任一直线垂直的性质又为我们提供了证明线线垂直的依据 2 要证面面垂直 可以考虑利用面面垂直的定义即证这两个平面所成的二面角是直二面角 也可先证线面垂直 即设法先找到其中一个平面的一条垂线 再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行 而见到面面垂直时要首先想到在其中一个平面内找 或作 出交线的垂线 此直线与另一个平面垂直 3 向量法证明线面位置关系的常用依据设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 a4 b4 c4 1 线线平行 l m a b a kb a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 2 线线垂直 l m a b a b 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 3 线面平行 l a a 0 a1a3 b1b3 c1c3 0 4 线面垂直 l a a k a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 5 面面平行 k a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 6 面面垂直 0 a3a4 b3b4 c3c4 0 4 巧用 向量法 求解 空间角 1 向量法求异面直线所成的角若异面直线a b的方向向量分别为a b 异面直线所成的角为 则 2 向量法求线面所成的角求出平面的法向量n 直线的方向向量a 设线面所成的角为 则 3 向量法求二面角求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量n1 n2 若二面角 l 所成的角 为锐角 则若二面角 l 所成的角 为钝角 则 1 熟练掌握立体几何的基本概念 公理 定理是基础 解题步骤要规范 注重通性通法的运用 2 从高考的考查形式看 命题的载体以柱体 锥体为主 但同时也逐步趋向不规则几何体 因此要有意识地加强对空间几何体结构特征的认识和空间想象能力的培养 3 重视空间直角坐标系的建立方法及对向量计算的训练 4 注重数学方法 加强学法指导 转化与化归的思想贯穿立体几何的始终 是处理立体几何问题的基本思想 另外还要注意提高识图 理解图 应用图的能力 解题时应多画 多看 多想 这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力 1 2011 新课标全国卷 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 证明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 解题指南 1 利用勾股定理证明bd ad 从而证明pd 平面abcd 再证bd 平面pad即可 2 建立空间直角坐标系 求出平面pab和平面pbc的法向量 利用向量求解 解析 1 因为 dab 60 ab 2ad 由余弦定理得bd ad 从而bd2 ad2 ab2 故bd ad 又pd 底面abcd 可得bd pd 又因为pd ad d 所以bd 平面pad 故pa bd 2 如图 以d为坐标原点 ad的长为单位长 射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz 则a 1 0 0 b 0 0 c 1 0 p 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 设平面pab的一个法向量为n x y z 由 得令y 1 得同理可得平面pbc的一个法向量为所以由图形知 二面角a pb c为钝角 故二面角a pb c的余弦值为 2 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc 1 cc1 2 点d e分别是aa1 cc1的中点 1 求证 ae 平面bc1d 2 证明 平面bc1d 平面bcd 3 求cd与平面bc1d所成角的正切值 解析 1 在矩形acc1a1中 由c1e ad c1e ad 得四边形aec1d是平行四边形 所以ae dc1 又ae 平面bc1d c1d 平面bc1d 所以ae 平面bc1d 2 直三棱柱abc a1b1c1中 bc cc1 ac bc cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 而c1d 平面acc1a1 所以bc c1d 在矩形acc1a1中 dc dc1 cc1 2 从而dc2 dc12 cc12 所以c1d dc 又dc bc c 所以c1d 平面bcd 而c1d 平面bc1d 所以平面bc1d 平面bcd 3 方法一 由 2 可知平面bc1d 平面bcd 所以 斜线cd在平面bc1d的射影在bd上 bdc即为直线cd与平面bc1d所成的角 又由 2 可知 bc 平面acc1a1 所以 bc cd 所以 三角形bcd是直角三角形 bc 1 cd 所以所求值为 方法二 以c1为原点 射线c1a1 c1b1 c1c为x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系 则c 0 0 2 d 1 0 1 c1 0 0 0 b 0 1 2 则 1 0 1 1 0 1 0 1 2 设平面bc1d的一个法向量为n x y 1 由 得x 1 0 由 得y 2 0 由以上两式解得x 1 y 2 n 1 2 1 设n与的夹角为 则即cd与平面bc1d所成角的正弦值为 故所求值为 3 如图 矩形abcd所在的平面与平面aeb垂直 且 bae 120 ae ab 4 ad 2 f g h分别为be ae bc的中点 1 求证 直线de与平面fgh平行 2 若点p在直线gf上 且二面角d bp a的大小为 试确定点p的位置 解析 1 取ad的中点m 连接mh mg f g h分别是be ae bc的中点 mh ab gf ab mh gf mg 平面fgh 又mg de 且de 平面fgh de 平面fgh 2 如图 在平面abe内 过a作ab的垂线 记为ai 则ai 平面abcd 以a为原点 ai ab ad所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系axyz a 0 0 0 b 0 4 0 d 0 0 2 e 2 2 0 g 1 0 f 1 0 0 2 0 0 4 2 5 0 设 0 2 0 则设平面pbd的一个法向量为n1 x y z 则取y 得z 2 x 5 2 又平面abp的一个法向量为n2 0 0 1 解得 1或4 故或 点p与f点重合或 4 4 已知某几何体的三视图如图所示 其中p p 分别是该几何体的一个顶点p在三个投影面上的投影 a b c d 分别是另四个顶点a b c d的投影 1 从 两个图中选择出该几何体的直观图 2 求直线pa与平面pbc所成角的正弦值 3 设平面pa