一次函数(1)(教师教案).doc

八年级.一次函数（1）（ 教师教案 ）10一次函数(1)(教师教案)第一段开课介绍: 函数部分是初中数学各章节中最重要的一部分，是中考必考的内容。学好一次函数部分内容是学好反比例函数、二次函数的保障。对于函数部分，很多同学学习有些茫然，其实一次函数问题类型并不多，我们将它分为5类。一、一次函数的基本概念二、一次函数的图像第一类问题 求一次函数解析式学习用“待定系数法”求k、b 的值，进而确定一次函数y=kx+b （k0）的解析式解题时要注意“数形结合”求一次函数的解析式，关键是求得k、b的值因为有k、b两个未知数，通常需要给出两个已知条件一般的，通过下面几种形式给出条件：1常见的是直线经过已知两点（或易求出这两点），求解析式这样的题目，只需把两点的坐标代入y=kx+b ，得到关于k、b的二元一次方程组，解之即可2所求直线y=kx+b经过已知点并且与另外一条已知直线平行这样的题目，相当于已知了k，那么把已知点的坐标和k值代入y=kx+b就求出了b3已知所求直线与y轴的截距，且经过一个已知点这样的题目，相当于已知了b，那么把已知点的坐标和b值代入y=kx+b就求出了k4也有一些题目，所给的条件比较隐蔽，我们把它归入综合题里面下面，我们就通过具体的例题来学习如何求一次函数的解析式1已知两点坐标求解析式例题 已知一次函数的图像经过P（5，1）、Q（-1，-5）两点，求这个一次函数的解析式解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k0）把点P和点Q的坐标代入上式，得：解得 所以所求函数解析式为y=x-42已知一点坐标和一条与所求函数图像平行的直线求解析式例题 已知一次函数的图像与直线y=2x+1没有交点，且图像经过点（1，-3），求这个一次函数的解析式解：函数图像与直线y=2x+1没有交点，可设其解析式为y=2x+b图像经过点（1，-3），-3=2+b, 解得 b=-5所求函数的解析式为y=2x-53已知一点坐标和截距求解析式例题 已知一次函数在y轴上的截距为-3,且图像经过点（2，3），求这个函数的解析式解：设这个函数的解析式为y=kx-3函数图象经过点（2，3），把x=2,y=3代入解析式得 3=2k-3，解得 k=3所求函数的解析式为y=3x-34已知其他条件求解析式有些题目，所给的求k、b的两个条件比较隐蔽，需要我们仔细挖掘下面我们给同学们举几个例子，同学们在学习中遇到这一类题目，也可以补充到这里供复习使用例题 已知直线：y=3a（x+1）+b与直线：2x+y-b=0无交点，且在y轴的截距为3，求这两条直线的解析式。分析：一次函数中，k表示斜率、b表示截距是在一次函数解析式的校准形式y=kx+b（k0）下定义的。注意到题目中给出的解析式都不是一次函数解析式的标准形式，所以先把它们化成标准形式！解：直线y=3a（x+1）+b就是y=3ax+（3a+b）直线2x+y+1=0就是y= -2x-1两直线无交点，3a= -2,直线的截距是3，3a+b=3 。即直线的解析式为y= -2x+33a= -2 ，3a+b=3， b=5.直线的解析式为y= -2x-5。例题 已知一次函数y=kx+b的图像与直线y= -2x+3平行，且经过直线y=4x-5与y= -3x+2的交点P，求它的解析式。分析：根据“一次函数y=kx+b的图像与直线y= -2x+3平行”这个条件，可以得到k= -2。但是另外一个条件就比较隐蔽了。根据“一次函数y=kx+b的图像经过直线y=4x-5与y= -3x+2的交点P”我们可以求出点P的坐标，这就是第二个条件！求两个函数的交点坐标，只需要联立这两个函数的解析式得到方程组即可。解：一次函数y=kx+b的图像与直线y= -2x+3平行，k= -2。联立直线y=4x-5与y= -3x+2的解析式，得方程组 ，解得 点P的坐标是（1，-1）。点P在一次函数y=kx+b的图像上，把点P的横坐标、纵坐标和k= -2代入，可得b=1所求函数的解析式为y= -2x+1例题 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于P、Q两点，点P的横坐标与点Q的纵坐标分别为5、-5求这个一次函数的解析式分析：两个函数的交点，具有同时满足这两个函数解析式的特点所以，可以通过反比例函数的解析式，求出点P、Q的坐标，再把坐标代入到一次函数的解析式即可解：把点P的横坐标代入得y=1，点P的坐标是（5，1）；把点Q的纵坐标代入得x=1，点P的坐标是（1，5）设一次函数的解析式是y=kx+b，把P、Q点的坐标代入得解得 所求函数的解析式为y=-2x+6例题 已知一次函数的图像经过点（1，2），图像与y轴的交点到原点的距离等于5，求这个一次函数的解析式分析：“截距”与“距离”是两个不同的概念通常所说的一次函数在y轴上的截距，是指直线y=kx+b（k0）与y轴交点的纵坐标，它可以取正值、负值和零而“距离”从数值上来看是非负数本题的关键是对条件“图像与y轴的交点到原点的距离等于5”的理解，由这个条件可得 b=5，所以有两解解：设一次函数的解析式为y=kx+b，则它的图像与y轴的交点坐标为（0，b），这个交点到原点的距离为|b|由已知条件可得|b|=5，b=5又图像经过点（1，2），当时，k= -3；当-时，k=7所求一次函数的解析式为y= -3x+5或y=7x-5例题 已知一次函数的图像经过点P（1，1）、Q（4，7）两点，判断点M（-1，-5）是否在这个函数的图像上分析：从几何角度说，这道题是判断点M是否在由P、Q两点确定的直线上；从代数角度说，是检验点M的坐标（-1，-5）是否满足由P、Q两点的坐标确定的一次函数解析式从几何角度来解这道题，过于依赖图形的准确性，虽直观但不够严谨我们从代数的角度来解它过程如下：第一步，用待定系数法求出由P、Q两点确定的一次函数的解析式；第二步，检验点M是否满足所求的解析式注意从下面的解答中体会检验的方法解：设一次函数的解析式为y=kx+b函数图象经过点P（1，1）和Q（4，7）两点， 解这个方程组，得 k=2，b= -1这个函数的解析式为y=2x-1当x= -1时，y=2(-1)-1= -3 -5，点M（-1，-5）不在这个函数的图像上第二类问题 一次函数的图像一次函数的图像，涉及到图像所经过的象限与k、b符号之间的关系，图像与坐标轴的交点等问题下面我们从这几个方面通过例题来学习1.图像所经过的象限与k、b符号之间的关系的问题对这类题目，一定要理解二者之间的关系，牢记一次函数y=kx+b中k、b取不同符号时对应的象限（为了方便学习，我们在知识点归纳里面用表格帮同学们做了总结，忘记了的同学去拿来看看）例题 如果ab0，ac=0，那么直线ax+by+c=0通过 ( )A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二、三象限 D第一、二、四象限分析：要判断直线经过哪些象限，就要先把直线的解析式化成一次函数的标准形式y=kx+b，再根据自变量x的系数（即斜率k）和常数项（即截距b）的符号来判断解：把ax+by+c=0化成标准形式得ab0，0，0ab0，a0,ac=0，c=0，=0这是一个正比例函数，经过第一、三象限，选（A）注意：这就是一道一次函数图像与经过的象限关系的题目，要注意先把解析式化成标准形式，根据k、b的符号来确定直线经过的象限也有的题目，已知直线经过的象限，判断k、b符号的，例如下面这道题：若一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、三象限，则ab 0（填“”、“”或“”）分析：一次函数的图像经过第一、二、三象限，a0，b0，则ab02.一次函数的图像与坐标轴交点的问题直线与坐标轴的交点是这样得到的：对于一次函数y=kx+b，图像与x轴的交点的纵坐标为0，即0=kx+b，此时，所以图像与x轴的交点坐标为（，0）；图像与y轴的交点的横坐标为0，即y=k0+b，此时y=b，所以图像与y轴交点坐标为（0，b）在填空题和选择题中，可以根据上述分析直接写出与坐标轴的交点坐标；在解答题中，我们可以根据上面的过程和方法求出与坐标轴的交点坐标例题 一次函数y= -2x+3与x轴的交点是 ，与y轴的交点是 ，两交点之间的距离是 ，与两坐标轴围成的三角形的面积是 分析：当y=0时，所以直线与x轴的交点是（，0）；当x=0时，y=3，所以直线与y轴的交点是（0，3）；有了交点坐标，我们就可以画出这条直线了从图中可知，两个交点与原点组成一个直角三角形，所以两交点之间的距离为从图中可知，两个交点与原点组成一个直角三角形，所以与两坐标轴围成的三角形的面积是3=例题 直线y=x+2关于y轴对称的直线是什么？关于x轴对称的直线是什么？分析：1也要画图结合图形来做；2注意关键点的坐标，对一次函数来说，它的图像的关键点就是与坐标轴的两个交点，“两点确定一条直线”，有了这两个交点的坐标，我们就能画出直线了以直线y=x+2关于y轴对称的直线的解析式为例，具体思路如下：第一步，找到直线y=x+2与坐标轴的两个交点的坐标：与x轴交点是（-2，0），与y轴交点是（0，2）；第二步，确定直线y=x+2与坐标轴的两个交点关于y轴的对称点的坐标：点（-2，0）关于y轴的对称点是（2，0），点（0，2）在y轴上，所以它关于y轴的对称点是它本身；第三步，根据两个对称点的坐标，用待定系数法求出解析式：设所求直线的解析式为y=kx+b，把点（2，0）和点（0，2）的横坐标、纵坐标代入，求出k、b即可。在进行上面“三部曲”的分析中，注意结合图形，边分析边画图。解：设直线y=x+2关于y轴对称的直线是y=kx+b。直线y=x+2与x轴的交点是（-2，0），这个点关于y轴的对称点是（2，0）。点（2，0）和（0，2）在直线y=kx+b上， ，解得 即所求直线为y =-x+2 。设直线y=x+2关于x轴对称的直线是y=kx+b 。直线y=x+2与y轴的交点是（0，2），这个点关于x轴的对称点是（0，-2）。点（-2，0）和点（0，-2）在直线y=kx+b上， ，解得 即所求直线为y =-x-2 。 中考链接2某游乐场每天的盈利额y（元）与售出的门票数x（张）之间的函数关系如图所示： y 2000 1500 1000 500 0 100 200300 x -500 -1000（1）当，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 当且x为整数时，y关于x的函数的解析式为 （2）要使游乐场一天的盈利额超过1000元，试问：该天至少应售出多少张门票？（3）请思考并解释图象与y轴的交点（0，1000）的实际意义。（4）根据图象，请你再提供两条信息。（2005年，江苏镇江）分析：（1）由图象可知，过点（0，-1000）、（200，1000），过点（200，500）、（300，2000），故可求出解析式。（2）每天盈利要超过1000元即（3）理解实际意义即不出售门票公园要亏损（由于要支付员工工资及设备维护等）（4）要求理解题意，关心生活。第二段快题训练1 如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积关于m的函数关系的图象大致为答案 D2三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间,水库水位由106米升至135米,高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升,那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(米)随时间表t（天）变化的是（ ）.选B.抓住“水位从106米升至135米”.3一次函数图像经过点P(2,4)、Q(-1,5),则其函数解析式为 . 答案解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k0),直线经过点P(2,4),Q(-1,5),解得所求函数解析式为y=-x+.4、一次函数与x轴成75度角，与y=-1交于y轴，求其过哪三个象限解：函数图像与x轴成75度角，a0 且在y轴下半部有交点，及交于x轴下方，b0 直线过一三四象限收获：再次强调牢记方框内容，可以节省很多时间，不用每一步都画图分析了6、直线过点（4，-5）且在y轴上的截距为-1，则它的解析式为 .答案:y=-x-17、某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-1,0)和(0,2),则这个一次函数的解析式为 .答:y=2x+28、如果一次函数的图像与y轴交于点(0,4),且它与x=-2的交点在x轴上,那么这个函数的解析式为 .答:y=2x+49、一次函数y=kx-3.当x=5时,y=4.则k= .答:k=10、根据下面的表格回答问题:x(站)123456789101112y(元)111223334455表中x表示乘坐某路公交汽车的站数，y表示应付的票价(元).()y是x的函数吗？为什么？()x是y的函数吗？为什么？答案：正确回答：()y是x的函数，因为对于自变量x在表中取的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应;()x不是y的函数，因为对于自变量y，并不是它的每一个值，x都有唯一的值与它对应，例如对于y=1时，x有三个值和它对应：x=1,x=2,x=3.启迪：函数概念中的两个变量x和y之间的对应关系非常严格：对于x的每一个允许取的值,y都有唯一的值与它对应，这里“唯一”有两意思：有一个且只有一个.但是，要说明y不是x的函数，只要x有一个值，它对应的y值至少有两个就行了.本题的两个小题，实质上是从正反两方面来加深对函数概念的理解.11、一次函数的图象过点M(3，2)，N(1，6)两点(1)求函数的表达式；(2)画出该函数的图象解：(1)设函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得3k+b=2k+b=6由得b=23k 由得b=k6所以z3k=