福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第四章第三节 三角函数的图象与性质课件 文 新人教A版.ppt

第三节三角函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 1 三角函数的周期 1 若t是函数y f x 的周期 则必须是对于定义域内的每一个x值都具有f x t f x t 0 2 周期和最小正周期的区别 有周期的周期函数不一定有最小正周期 如y c c为常数 任何非零实数都是它的周期 显然无最小正周期 而三角函数的周期一般指最小的正周期 3 函数的图象在每一个周期内是重复出现的 4 常见周期函数的周期 y asin x y acos x 若a 为常数 若 0 则t y atan mx b m 0 a b m为常数 则t y asinx bcosx ab 0 则y sin x t 2 y sin2 x 0 则y sin2 x 1 cos2 x t y sinx t 2 求三角函数的值域或最值的方法 1 形如y asinx b 可利用有界性 需注意对字母的讨论 2 形如y asin x bcos x 一般先将其化为y 再利用有界性 3 形如y asin2x bsinxcosx ccos2x d 可先降幂 化为第 2 种类型 1 下列函数中 在 上是增函数的是 a y sinxb y cosxc y sin2xd y cos2x答案 d2 设函数f x sin 2x x r 则f x 是 a 最小正周期为 的奇函数b 最小正周期为 的偶函数c 最小正周期为的奇函数d 最小正周期为的偶函数 解析 y sin 2x cos2x 周期t 且为偶函数 b正确 答案 b3 函数y sin x 的图象的一个对称中心是 解析 y sinx的对称中心为 k 0 k z 4 函数y 5 3cos x 的最大值为 此时x 解析 当cos x 1 即x 2k 1 x 2k k z 时 ymax 8 答案 82k k z 5 文 比较大小 cos751 cos 722 解析 cos751 cos 720 31 cos31 cos 722 cos722 cos 720 2 cos2 答案 理 教材改编题 比较大小 求函数的定义域 例1 求函数y lg 2sinx 1 的定义域 思路点拨 根据对数 偶次根式的性质 建立不等式组 对于三角不等式 组 可利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线求解 在 0 2 内 不等式组的解为 x 故所求函数的定义域为 x 2k x 2k k z 变式探究 1 求函数y lg sinx cosx 的定义域 解 法一 利用图象 在同一坐标系中 画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x值为 再结合周期性 得所求函数的定义域为 法二 法二 利用三角函数线 如图 设mp sinx cosx om 要使sinx cosx 即mp om 则 x 在 0 2 内 故定义域为 2k 2k k z 法三 由sinx cosx sin x 0 得2k x 2k k z 解得2k x 2k k z 所以定义域为 x 2k x 2k k z 方法技巧 1 求三角函数的定义域 既要注意一般函数定义域的原则 又要注意三角函数本身的特有属性 如题中出现 tanx 则要注意隐含条件 x k k z2 解三角不等式 组 通常使用三角函数线 三角函数图象等 三角函数的最值 或值域 方法技巧 求解涉及三角函数的值域 最值 的题目一般常用以下方法 1 利用sinx cosx的值域 2 形式复杂的函数应化为y asin x k的形式 并由条件中x的取值范围 分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出y asin x 的值域 3 换元法 通过换元 化为代数函数求最值 或值域 问题 但要注意转元的范围 三角函数的单调性 方法技巧 1 准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础 2 求形如y asin x a 0 0 的函数的单调区间时 可先利用诱导公式把x的系数变为正数 得到y asin x 再将 x 看作一个整体 由解得函数的减区间 由解得到函数的增区间 对于函数y acos x y atan x 的单调区间的求法与y asin x 的单调区间的求法相同 三角函数的周期性 解析 先将函数f x 运用辅助角公式化为单一函数由y f x 的图象与直线y 2的两个相邻交点的距离为 得函数f x 的周期为 例1 2010年漳州一中高中毕业班质量检查 已知函数y asin x m的最大值为4 最小值为0 最小正周期为是其图象的一条对称轴 则下面各式中符合条件的解析式是 例2 福建南安一中2010届高中毕业班期末质量检测 设函数f x p q 其中向量p sinx cosx sinx q 2cosx cosx sinx x r 1 求的值及f x 的最大值 2 求函数f x 的单调递增区间 解 1 p sinx cosx sinx q 2cosx cosx sinx f x p q sinx cosx sinx 2cosx cosx sinx 2sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x 又f x sin2x cos2x 函数f x 的最大值为 k z 时 函数f x 取得最大值为 类型忽视复合函数单调性规律导致失误 例 求函数y sin 2x 的单调递增区间 正解 法一 先将函数变形为y sin 2x 由复合函数的单调性得解得 故函数的递增区间为 分析 本题在求解过程中 极易忽视 2 0 列式 去求单调递增区间 这种求法 求的是单调递减区间 因此要利用这种代换 前提是要保证x的系数为正 方可实施 一 选择题1 2009年四川卷 已知函数f x sin x x r 下面结论错误的是 a 函数f x 的最小正周期为2 b 函数f x 在区间 0 上是增函数c 函数f x 的图象关于直线x 0对称d 函数f x 是奇函数解析 f x sin x cosx t 2 f x 在 0 上是增函数 图象关于y轴对称 故选d 答案 d 2 下列函数中 既是以 为周期的偶函数 又在区间 0 上是增函数的是 y sinx y cosx y sin x y tanx a b c d 解析 y sin x 是偶函数 从其图象知 该函数不是周期函数 故首先排除b c选项 而y cosx 在 0 上是减函数 又排除a 故选d 答案 d 4 文 函数y sin 2x 图象的对称轴方程可能是 解析 y sinx的对称轴经过y sinx的最值点 理 2009年全国 卷 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点 0 中心对称 那么 的最小值为 得 的最小值为 故选a 答案 a5 文 当0 x 时 函数的最小值是 理 在 abc和 a1b1c1中 若则 a b c b1 c1b b c b1 c1 c b c b1 c1d b c b1 c1 二 填空题6 2010年泉州模拟 函数y cos x 1的最小正周期为 解析 答案 47 函数y lgsinx 的定义域为 解析 要使函数有意义 则 8 福州三中2010 2011学年度高三第二次月考 定义式子运算为 将函数的图象向左平移n n 0 个单位 所得图象对应的函数为偶函数 则n的最小值为 9 2010年江苏省苏北四市模拟题 已知直线x 是函数y asinx bcosx图象的一条对称轴 则函数y bsinx acosx图象的一条对称轴为 三 解答题10 求下列函数的值域 1 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 y 3 y 11 文 2010年安徽省