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构造法在角平分线中的应用角的平分线在几何当中有着重要的作用，因此，当题目中有角的平分线时，可以进行如下构造，从而使问题得到解答。一、过角平分线上一点作两边的垂线段构造全等三角形例1 如图1，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此，我们联想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段AGCHDEF图1B证明：过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，作EGBC，垂足为G，作EHCD，垂足为HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，FAE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90 在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=D AFEDHEAE=ED二、以角的平分线为对称轴构造对称图形例2 如图2，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连结DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了证明：在AB上截取AE=AC，连结DEBACDE图2AD平分BAC，EAD=CAD 在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CDAB=AE+BE，AB=AC+CD三、延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例3 如图3，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECDABDCEF图3分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEAFEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECDABDEC图4四、利用角的平分线构造等腰三角形如图4，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例4 如图5，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等ABCDFE12345图5证明：过点D作DFAB交BC于点FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=
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