线性代数的几何含义.ppt

线性代数的软件实践 线性代数概念的几何含义及MATLAB绘图演示 西安电子科技大学杨威2010 7 一 线性方程组解的几何含义 二 向量及向量运算的几何含义 四 行列式的几何含义 五 线性变换的几何含义 特征向量 六 二次型的几何含义 基本内容 三 向量组线性相关性的几何含义 一 进一步理解线性代数抽象概念的几何含义 二 掌握MATLAB软件实现线性代数基本运算的命令 基本目标 三 灵活应用MATLAB软件的绘图功能演示线性代数概念的几何含义 一 线性方程组解的几何含义 1 二元方程组 例1求下列非齐次线性方程组的解 并用MATLAB绘出解的情况 解 用MATLAB解线性方程组Ax b的方法有 用MATLAB绘制直线的简单方法为 1 求逆法 A为方阵 x inv A b 或x A 1 b 2 初等行变换法 rref A b 3 左除法 x A b ezplot 单引号内为直线方程 在MATLAB命令窗口中运行程序g01 m 可以得到图形 一 线性方程组解的几何含义 2 三元方程组 例2求下列线性方程组的解 并用MATLAB绘出解的情况 1 2 3 4 解 用MATLAB的rref命令可以解得 用MATLAB绘制平面的简单方法为 方程组 1 有唯一解 方程组 2 有无穷组解 方程组 3 和 4 无解 ezmesh 单引号内为平面方程 在MATLAB命令窗口中运行程序g02 m 可以得到图形 一 线性方程组解的几何含义 3 用MATLAB解矛盾方程的近似解 例3下表给出平面坐标系中5个点的坐标 求过这5个点的圆心坐标 并用MATLAB绘出该圆 解 设圆心坐标为 x y 根据圆心到已知5点的距离相等 列方程 进行化简 可以得到以下线性方程组 在MATLAB命令窗口中运行程序g03 m 可以得到图形 二 向量及向量运算的几何含义 1 向量的几何含义 二维 三维 向量可以理解为平面坐标系 空间坐标系 中一个有方向的线段 其起点在坐标原点 如下图所示 二 向量及向量运算的几何含义 2 向量加法的平行四边形法则 如图所示 3 负向量与向量减法 u v u v 二 向量及向量运算的几何含义 4 向量的数乘 设u 1 2 3 T 那么2u 2 4 6 T 如图所示 可知2u与u共线 它们的长度是2倍关系 二 向量及向量运算的几何含义 5 向量的线性表示举例 例4已知向量 请用向量 u和v来线性表示向量w 并用MATLAB绘制出线性表示情况 解 求解方程组 解得 在MATLAB命令窗口中运行程序g04 m 可以得到图形 三 向量组线性相关性的几何含义 1 若两个向量的夹角不为零 不共线 则这两个向量线性无关 2 若两个向量的夹角为零 共线 则这两个向量线性相关 3 若三个向量不共面 则这三个向量线性无关 4 若三个向量共面 则这三个向量线性相关 三 向量组线性相关性的几何含义 5 三个3维向量线性相关性的判断 例5分析向量组 的线性相关性 并用MATLAB绘制其图形 解 设A u v w 计算A的行列式 A 可以判断其线性相关性 在MATLAB命令窗口中运行程序g05 m 可以得到图形 四 行列式的几何含义 1 行列式的几何含义 设u v为二维列向量 以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵A u v 的行列式 A 的绝对值 设u v w为三维列向量 以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵A u v w 的行列式 A 的绝对值 四 行列式的几何含义 2 行列式几何含义的应用举例 例6 1 已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为 1 2 3 3 4 1 计算该三角形的面积 2 已知凸九边形九个顶点的坐标分别为 0 8 5 3 7 6 0 3 4 1 5 5 3 7 0 5 6 3 8 计算该九边形的面积 3 在平面坐标系中画出以上三角形和九边形 解 1 如图所示 三角形ABC的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半 其中 解 2 如图所示 凸九边形面积是由9 2 7个三角形面积组成 在MATLAB命令窗口运行程序g06 m 即可以算出三角形和九边形面积 同时可以得到图形 五 线性变换的几何含义 1 线性变换几何含义举例 例7已知向量 请分析经过线性变换 后 向量与向量的几何关系 其中分别为 在MATLAB命令窗口运行程序g07 m 可以得到图形 五 线性变换的几何含义 2 特征向量几何含义的举例 例8已知矩阵 MATLAB分析特征向量的几何含义 求它们的特征值和特征向量 并用 解 用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为 用MATLAB演示矩阵A的特征向量几何含义的命令为 1 r eig A 列向量r为矩阵A的特征值 2 V D eig A 对角矩阵D的对角线元素为矩阵A的特征值 矩阵V的列向量为矩阵A的特征向量 eigshow A 在MATLAB命令窗口运行程序g08 m 可以分别得到图形 五 线性变换的几何含义 3 线性变换应用举例 刚体的平面运动 例9用下列数据表示一个 A 形状的刚体 利用线性变换 对该刚体进行以下平面运动 1 向上移动15 向左移动30 2 先逆时针转动90 然后向上移动30 向右移动20 3 先向上移动30 向右移动20 然后逆时针转动90 解 用3 n的矩阵X来表示刚体图形 其中第3行全为1 设平移矩阵为 平移变换为 转动矩阵为 转动变换为 在MATLAB命令窗口运行程序g09 m 可以得到图形 六 二次型的几何含义 1 利用正交变换化二次型为标准形的几何含义 例10用正交变换 把下列二次型化为标准形 并讨论变换前后所对应的二次曲线及 解 用MATLAB命令eig可以算出二次型矩阵的特征值分别为 4 3820 6 6180和3