高中数学 412 数学归纳法应用举例(习题课)课件 新人教A版选修45.ppt

第2课时数学归纳法应用举例 习题课 课标要求 1 进一步理解数学归纳法原理 2 会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题 核心扫描 1 利用数学归纳法证明整除问题 注意 添项 与 减项 等变形技巧 难点 2 证明几何问题时 要正确分析由n k到n k 1时几何图形的变化规律 难点 题型一用数学归纳法证明整除性问题 例1 已知数列 an 满足a1 0 a2 1 当n n 时 an 2 an 1 an 求证 数列 an 的第4m 1项 m n 能被3整除 思维启迪 数学归纳法证明整除问题的方法与其证明等式和不等式的方法一样 当由n k到n k 1的证明时要注意分解成几个含除式的多项式的和差变化 证明 1 当m 1时 a4m 1 a5 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a2 a1 2a2 a1 3a2 2a1 3 0 3 即当m 1时 第4m 1项能被3整除 2 假设当m k时 a4k 1能被3整除 则当m k 1时 a4 k 1 1 a4k 5 a4k 4 a4k 3 2a4k 3 a4k 2 2 a4k 2 a4k 1 a4k 2 3a4k 2 2a4k 1 显然 3a4k 2能被3整除 又由假设知a4k 1能被3整除 3a4k 2 2a4k 1能被3整除 即当m k 1时 a4 k 1 1也能被3整除 由 1 和 2 知 对于n n 数列 an 中的第4m 1项能被3整除 规律方法本题若从递推式入手 设法求出通项公式 会相当困难 这时 可转向用数学归纳法证明 变式1 用数学归纳法证明 x 1 n 1 x 2 2n 1 n n 能被x2 3x 3整除 证明 1 当n 1时 x 1 1 1 x 2 2 1 x2 3x 3 显然命题成立 2 假设n k k 1 时 命题成立 即 x 1 k 1 x 2 2k 1能被x2 3x 3整除 则当n k 1时 x 1 k 2 x 2 2k 1 x 1 k 2 x 1 x 2 2k 1 x 2 2k 1 x 1 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2k 1 x 2 2k 1 x2 3x 3 由假设可知上式可被x2 3x 3整除 即n k 1时命题成立 由 1 2 可知原命题成立 题型二探索问题 思维启迪 由几个简单的特殊形式找出a的最大值 然后用数学归纳法进行证明即可 规律方法利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 先通过观察 判断 猜想出结论 然后用数学归纳法证明 这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的 特别是在求解存在性或探索性问题时 变式2 已知f n 2n 7 3n 9 是否存在正整数m 使得对任意n n 都能使m整除f n 如果存在 求出m最大的值 并证明你的结论 若不存在 说明理由 解f 1 36 f 2 108 f 3 360猜想 能整除f n 的最大整数是36 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 f 1 2 1 7 3 9 36 能被36整除 2 假设n k k 1 时 f k 能被36整除 即 2k 7 3k 9能被36整除 则当n k 1时 f k 1 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由归纳假设3 2k 7 3k 9 能被36整除 而3k 1 1是偶数 18 3k 1 1 能被36整除 当n k 1时 f n 能被36整除 由 1 2 可知 对任意n n f n 能被36整除 题型三用数学归纳法证明几何问题 例3 平面上有n个圆 每两圆交于两点 每三圆不过同一点 求证这n个圆分平面为n2 n 2个部分 思维启迪 先由n 1 2 3时找出是否遵循n2 n 2的特点 再找出每增加一个圆分割平面增加的特点 然后用数学归纳法进行证明 一定要结合图形进行分析 证明 1 当n 1时 n2 n 2 1 1 2 2 而一圆把平面分成两部分 所以n 1命题成立 2 设n k时 k个圆分平面为k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 这2k个交点分第k 1个圆为2k段 每一段都将原来所在的平面一分为二 故增加了2k个平面块 共有 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 对n k 1也成立 由 1 2 可知 这n个圆分割平面为n2 n 2个部分 规律方法如何应用归纳假设及已知条件 其关键是分析k增加 1 时 研究第 k 1 个圆与其他k个圆的交点个数问题 通常要结合图形分析 方法技巧用数学归纳法证明整除问题 示例 求证 二项式x2n y2n n n 能被x y整除 思路分析 由题目可获取以下主要信息 与正整数有关的命题 直接对x2n y2n进行分解得出因式x y有困难 解答本题可采用数学归纳法 x2k y2k与x2 y2都能被x y整除 x2 x2k y2k y2k x2 y2 能被x y整除 即n k 1时 x2k 2 y2k 2能被x y整除