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文档简介
1 1变化率与导数 一 创设情景为了描述现实世界中运动 过程等变化着的现象 在数学中引入了函数 随着对函数的研究 产生了微积分 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 播放 暂停 停止 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10的图像 结合图形可知 所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 直线ab的斜率 a b 例 1 计算函数f x 2x 1在区间 3 1 上的平均变化率 2 求函数f x x2 1的平均变化率 1 解 y f 1 f 3 4 x 1 3 2 2 解 y f x x f x 2 x x x 2 练习 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点a 1 2 及临近一点b 1 x 2 y 则 y x a 3b 3 x x 2c 3 x 2d 3 x d 3 求y x2在x x0附近的平均变化率 a 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率
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