高考数学 专题辅导与训练 4.1《等差、等比数列的概念与性质》课件 文.ppt

热点考向1等差 比 数列的基本运算 例1 12分 2011 福建高考 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解题指导 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公差d的方程 代入a1求出d 然后利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d n 1 n n 2分由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 4分从而 an 1 n 1 2 3 2n 6分 2 由 1 知an 3 2n所以 7分进而由sk 35可得2k k2 35 8分即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 10分又k n 故k 7为所求结果 12分 互动探究 若本例条件不变 试判断 27是数列 an 的第几项 解析 由 1 知an 3 2n 令3 2n 27 则n 15即 27是此数列的第15项 等差 比 数列项与和运算的注意点 1 在等差 比 数列中 首项a1和公差d 公比q 是两个最基本的元素 2 在进行等差 比 数列项与和的运算时 若条件和结论间的联系不明显 则均可化成关于a1和d q 的方程组求解 但要注意消元法及整体计算 以减少计算量 等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q 1和q 1两种情况讨论 1 已知数列 1 a1 a2 4成等差数列 1 b1 b2 b3 4成等比数列 则的值为 解析 选a 由条件可知 2 在等比数列 an 中 若则公比q a1 a2 an 解析 从而答案 2 热点考向2等差 比 数列的性质 例2 1 2011 大庆模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a4 9 a6 11 则s9等于 a 18 b 90 c 72 d 10 2 2011 济南模拟 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3 a7 4a42 a2 2 则a1 a 1 b c 2 d 解题指导 1 利用需求出a1 a9 由条件结合等差数列的性质即可求出a1 a9 a4 a6 20 然后可解 2 利用等比数列性质 由a3 a7 a52 进而求出公比 再求a1 规范解答 1 选b a1 a9 a4 a6 9 11 20 2 选a 设数列 an 的公比为q q 0 由a2 0 知a4 0 a5 0 由于a3 a7 a52 所以a52 4a42 从而a5 2a4 q 2 故 等差 比 数列的性质盘点 1 等差数列的性质 若m n p q n 且m n p q 则am an ap aq sm s2m sm s3m s2m 仍成等差数列 am an m n d d m n n a2n 1 b2n 1分别为数列 an bn 的前2n 1项和 2 等比数列的性质 若m n p k n 且m n p k 则am an ap ak 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列 当q 1时 连续n项之和仍为等比数列 在等比数列 an 中 公比为q q 1 sn是其前n项和 则数列sn s2n sn s3n s2n 仍成等比数列 且公比为qn 灵活应用性质特别是等差数列的性质 可以提高解题速度 1 正项等比数列 an 的前n项和为sn 且满足a1a5 64 s3 14 那么 an 的公比为 解析 选c 显然q 1 得a32 64 即a3 8 a1q2 8 由 解得q 2或 舍去 2 在等差数列 an 中 若a2 a2012为方程x2 10 x 16 0的两根 则a1 a1007 a2013 a 10 b 15 c 20 d 25 解析 选b 由题意知 a2 a2012 10 所以a1007 5 所以a1 a1007 a2013 3a1007 3 5 15 热点考向3等差与等比数列的判断与证明 例3 12分 2011 烟台模拟 已知数列 an 的前n项和sn满足条件2sn 3 an 1 其中n n 1 求证 数列 an 为等比数列 2 设数列 bn 满足bn log3an 若cn anbn 求数列 cn 的前n项和 解题指导 1 利用an sn sn 1求出an与an 1之间的关系 进而用定义证明数列 an 为等比数列 2 由 1 的结论得出数列 bn 的通项公式 求出cn的表达式 再利用错位相减法求和 规范解答 1 由题意得 n 2 2分所以an 3an 1 故有 4分又解得a1 3 所以 数列 an 为等比数列 6分 2 由 1 得an 3n 则bn log3an log33n n 8分故有cn anbn n 3n 设tn 1 31 2 32 3 33 n 1 3n 1 n 3n3tn 1 32 2 33 3 34 n 1 3n n 3n 1 10分则 2tn 31 32 33 3n n 3n 1所以 12分 等差与等比数列的判断与证明方法由已知条件求出an或得到an 1与an的递推关系 再确认an 1 an d d为常数 或 q为常数 是否对一切正整数均成立 一定要注意an sn sn 1成立的条件是 n n 且n 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 an 1 2an 2n 即有bn 1 bn 1 所以 bn 是以1为首项 1为公差的等差数列 2 由 1 知bn n 从而an n 2n 1 sn 1 20 2 21 3 22 n 1 2n 2 n 2n 12sn 1 21 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n两式相减 得sn n 2n 1 20 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 1 2n 1 函数与方程思想 等差 比 数列基本元素的计算等差 比 数列项与和的计算问题 1 等差 比 数列求通项公式和前n项和公式 2 由通项公式和前n项和公式求首项 公差 比 项数及项 3 由前n项和求通项 求解时注意的问题 1 等差 比 数列中各有5个基本量 在建立方程组进行 知三求二 时 注意消元的方法及整体代换的运用 2 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数 数列的通项公式即为相应的函数解析式 因此在解决数列问题时 应有函数的思想求解 典例 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 满足s5s6 15 0 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范围 解题指导 本题中注意 an 为等差数列 特别是 s5s6 15 0 这一重要条件 在第 1 题中结合所给的条件列方程组求解 第 2 题直接用a1 d表示s5 s6 得到关于a1和d的二次三项式 再求解 规范解答 1 由题意知所以a6 3