高考数学 专题辅导与训练 《坐标系与参数方程》课件 文.ppt

热点考向1伸缩变换在圆锥曲线中的应用 例1 设椭圆 a b 0 的短轴端点分别为a b o为坐标原点 点p在椭圆上 直线pa pb分别交x轴于r q 如图 求证 oq or a2 解题指导 利用伸缩变换公式将直线和椭圆的位置关系变换为直线和圆的位置关系解决 规范解答 由椭圆方程 a b 0 得作伸缩变换于是椭圆在此伸缩变换下化为圆x 2 y 2 b2 设点a b p q r变换后分别为a b p q r 如图 由平面几何知识 易证rt b o q rt r o a 还原到椭圆中去 则 oq or 伸缩变换公式及其应用 设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 1 求曲线经伸缩变换后的曲线方程 一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系 这可以通过上标符号进行区分 2 椭圆通过适当的伸缩变换可以变换为圆 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点 求椭圆的标准方程 解析 方法一 判别式法设椭圆方程为 c 2 a2 b2 4 由得 整理得 由 0 得 即与a2 b2 4联立方程组 解得a2 7 b2 3 所以椭圆的标准方程为 方法二 伸缩变换法设椭圆方程为令则椭圆 a b 0 变换为单位圆直线变换为直线因为直线与椭圆有且仅有一个交点 则直线与单位圆有且仅有一个交点 由题意 得整理得a2 3b2 16 a2 b2 4 解得a2 7 b2 3 所以椭圆的标准方程为 热点考向2极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 在极坐标系中 已知曲线c1 2sin 与c2 cos 1 0 2 求 1 两曲线 含直线 的公共点p的极坐标 2 过点p被曲线c1截得弦长为的直线的极坐标方程 解题指导 1 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标 2 利用数形结合思想 转化为几何性质解决 规范解答 1 由得曲线c1 2sin 与c2 cos 1 0 2 的普通方程分别为x2 y2 2y x 1 联立方程组 解得由得点p 1 1 的极坐标为 2 由上述可知 曲线c1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 如图所示 过p 1 1 被曲线c1截得弦长为的直线有两条 一条过原点o 倾斜角为直线的普通方程为y x 极坐标方程为 r 另一条过点a 0 2 倾斜角为直线的普通方程为y x 2 极坐标方程为 sin cos 2 即 极坐标方程与直角坐标方程的互化互化的前提条件 建立双坐标系 1 极点与原点重合 2 极轴与x轴正半轴重合 3 取相同的长度单位 设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则或 把直角坐标化为极坐标 求极角 时 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出0 2 内的角 利用两种坐标方程的互化 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 如判断点的位置或曲线的形状等 1 直线与圆 2ccos c 0 相切的必要条件为 解析 由得a cos b sin 1 直角坐标方程为ax by 1 圆 2ccos 即 2 2c cos x2 y2 2cx 即 x c 2 y2 c2 若直线与圆相切 则d r 即化简得b2c2 2ac 1 答案 b2c2 2ac 1 2 圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 4cos sin 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过圆o1 圆o2两个交点的直线的直角坐标方程 解析 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 在两种坐标系中取相同的长度单位 1 由 4cos 得 2 4 cos x cos y sin 所以x2 y2 4x 即x2 y2 4x 0为圆o1的直角坐标方程 同理x2 y2 y 0为圆o2的直角坐标方程 2 由 相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x y 0 热点考向3极坐标方程与参数方程的应用 例3 10分 2011 福建高考 在直角坐标系xoy中 直线l的方程为x y 4 0 曲线c的参数方程为 1 已知在极坐标系 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴 中 点p的极坐标为判断点p与直线l的位置关系 2 设点q是曲线c上的一个动点 求它到直线l的距离的最小值 解题指导 1 将点p的极坐标化为直角坐标 然后代入直线l的方程看是否成立 从而判断点p与直线l的位置关系 2 将点q到直线l的距离转化为关于 的三角函数式 然后利用三角函数的知识求最小值 规范解答 1 把极坐标系中的p化为直角坐标 得p 0 4 1分显然点p的直角坐标 0 4 满足直线l的方程x y 4 0 所以p在直线l上 3分 2 因为点q在曲线c上 故可设点q的坐标为 4分从而点q到直线l的距离为 8分由此得 当 10分 1 消去参数的常用方法把直线和曲线的参数方程化为普通方程 需要根据其结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方和 差 消参法 乘法消参法等 2 普通方程化为参数方程要注意两点把曲线c的普通方程f x y 0化为参数方程的关键 一是适当选取参数 二是确保互化前后方程的等价性 常用公式关于直线参数方程中t的几何意义 有以下结论 1 设a b是直线上任意两点 它们对应的参数分别为ta和tb 则 2 线段ab的中点所对应的参数值等于 1 椭圆中心在原点 离心率为点p x y 是椭圆上的点 焦点在x轴上 若的最大值为10 则椭圆的标准方程为 解析 设椭圆的标准方程为 参数方程为 为参数 5c 10 c 2 椭圆的标准方程为答案 2 已知直线l过点p 2 0 斜率为直线l和抛物线y2 2x相交于a b两点 设线段ab的中点为m 求 1 pm 与点m的坐标 2 ab 解析 1 直线l过点p 2 0 斜率为设直线的倾斜角为 则故 直线l的参数方程为 t为参数 直线l和抛物线相交 将直线的参数方程代入抛物线方程y2 2x