高考数学 专题辅导与训练 1.5《导数的简单应用》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1利用导数解决曲线的切线问题 例1 12分 2011 重庆高考 设f x x3 ax2 bx 1的导数f x 满足f 1 2a f 2 b 其中常数a b r 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 设g x f x e x 求函数g x 的极值 解题指导 根据导数的定义可求出实数a b的值 从而求出函数的解析式 再求出曲线在 1 f 1 处的切线方程 把函数f x 的导数代入g x 再对函数g x 求导 即可求出极值 规范解答 1 因为f x x3 ax2 bx 1 故f x 3x2 2ax b 1分令x 1 得f 1 3 2a b 由已知f 1 2a 因此3 2a b 2a 解得b 3 2分又令x 2 得f 2 12 4a b 由已知f 2 b 因此12 4a b b 解得a 3分 因此f x x3 x2 3x 1 从而f 1 又因为f 1 2 3 故曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 3 x 1 即6x 2y 1 0 5分 2 由 1 知g x 3x2 3x 3 e x 从而有g x 3x2 9x e x 6分令g x 0 得 3x2 9x 0 解得x1 0 x2 3 7分当x 0 时 g x 0 故g x 在 0 上为减函数 8分当x 0 3 时 g x 0 故g x 在 0 3 上为增函数 9分 当x 3 时 g x 0 故g x 在 3 上为减函数 10分从而函数g x 在x1 0处取得极小值g 0 3 在x2 3处取得极大值g 3 15e 3 12分 求曲线过点p的切线方程的方法 1 判断点p是否在曲线上 2 如果曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 可由切线定义确定切线方程为x x0 3 函数y f x 在点x0处的导数 就是曲线在点p x0 f x0 处的切线的斜率 利用导数求曲线的切线方程 分两步 求出函数y f x 在点x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为y f x0 f x0 x x0 1 求过定点的曲线的切线方程时 要分清定点与曲线的位置关系 2 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 已知函数f x ax3 3x2 6ax 11 g x 3x2 6x 12 和直线m y kx 9 又f 1 0 1 求a的值 2 是否存在k的值 使直线m既是曲线y f x 的切线 又是y g x 的切线 如果存在 求出k的值 如果不存在 说明理由 3 如果对于所有x 2的x 都有f x kx 9 g x 成立 求k的取值范围 解析 1 f x 3ax2 6x 6a 因为f 1 0所以a 2 2 存在k的值满足条件理由如下 因为直线m恒过点 0 9 先求直线m 是y g x 的切线 设切点为 x0 3x02 6x0 12 因为g x0 6x0 6 所以切线方程为y 3x02 6x0 12 6x0 6 x x0 将点 0 9 代入得x0 1 当x0 1时 切线方程为y 9 当x0 1时 切线方程为y 12x 9 由f x 0得 6x2 6x 12 0 即有x 1或x 2 当x 1时 y f x 的切线方程为 y 18 当x 2时 y f x 的切线方程为y 9 y 9是公切线 又由f x 12得 6x2 6x 12 12 x 0或x 1 当x 0时y f x 的切线为y 12x 11 当x 1时y f x 的切线为y 12x 10 y 12x 9不是公切线 综上所述k 0时 y 9是两曲线的公切线 3 由kx 9 g x 得kx 3x2 6x 3 当x 0时 不等式恒成立 k r 当 2 x0时 不等式为k 3 x 6 3 x 6 12 k 12 当x 2时 kx 9 g x 恒成立 则0 k 12 由f x kx 9得kx 9 2x3 3x2 12x 11 当x 0时 9 11恒成立 k r 当 2 x 0时 有k 2x2 3x 12 设h x 2x2 3x 12 2 x 2 当 2 x 0时 2 x 2 为增函数 也为增函数 h x h 2 8 要使f x kx 9在 2 x 0上恒成立 则k 8 由上述过程得只要考虑0 k 8 则当x 0时 f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 当x 0 2 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 k 0时 kx 9 9 f x kx 9一定成立 综上所述0 k 8 热点考向2利用导数解决函数的单调性等问题 例2 12分 2011 北京高考 已知函数f x 1 求f x 的单调区间 2 若对于任意的x 0 都有f x 求k的取值范围 解题指导 求导后 分k 0与k 0两种情况进行分类讨论 规范解答 1 f x 令f x 0 得x k 2分当k 0时 f x 与f x 的情况如下 所以f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 4分 当k 0时 f x 与f x 的情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 6分 2 当k 0时 因为f k 1 所以不会有对于任意的x 0 f x 7分当k 0时 由 1 知f x 在 0 上的最大值是f k 8分所以对于任意的x 0 f x 等价于f k 解得 k 0 10分 故当对于任意的x 0 f x 时 k的取值范围是 0 12分 互动探究 本例中 若把已知函数变为f x x k ex 则第 1 问的答案变为什么 再求此时f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 f x x k ex f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 此时 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由上述知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 f x min 求可导函数f x 单调区间的方法 1 先确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 求方程f x 0在定义域内的所有实数根 4 将函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来 将定义域分成若干个小区间 5 确定f x 在各小区间内的符号 由此确定f x 在每个区间内的单调性 1 当一个函数的递增或递减区间有多个时 不能盲目将它们取并集 2 当f x 不含参数时 也可以通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 设函数f x x ln x 1 讨论函数f x 的单调性 2 若x 0时 恒有f x ax3 试求实数a的取值范围 3 令an n n 试证明 a1 a2 a3 an 解析 1 函数的定义域为r 由f x 1 0 且f x 不恒为0 知f x 是r上的增函数 2 令g x f x ax3 x ln x ax3 则g x 令h x 1 3ax2 1 则h x 当a 时 h x 0 从而h x 是 0 上的减函数 注意到h 0 0 则x 0时 h x 0 也即g x 0 进而g x 是 0 上的减函数 注意到g 0 0 则x 0时 g x 0 也即f x ax3 当00 进而推知 当x 0 时 f x ax3 当a 0时 h x 0 同理可知f x ax3 综上 所求a的取值范围是 3 在 2 中 取a 则x 0 时 x ln x x3 即x3 ln x x 令x 则an a1 a2 a3 an 即a1 a2 a3 an 热点考向3利用导数研究函数的极值 最值 问题 例3 12分 2011 江西高考 设f x x2 2ax 1 若f x 在 上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 当0 a 2时 f x 在 1 4 内的最小值为 求f x 在该区间上的最大值 解题指导 1 要使f x 在 上存在单调递增区间 需f x 在 上恒大于零 即得a的取值范围 2 首先求出f x 在 1 4 内的最小值为f 4 从而求出a的值 进一步求f x 在该区间上的最大值为f 2 规范解答 1 由f x x2 x 2a x 2 2a 1分当x 时 f x 的最大值为f 2a 3分令 2a 0 得a 4分所以 当a 时 f x 在 上存在单调递增区间 5分 a的取值范围是 2 令f x 0 得两根所以f x 在 x1 和 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 6分当0 a 2时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 又f 4 f 1 6a 0 即f 4 f 1 8分 所以f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8a 9分得a 1 x2 2 10分从而f x 在 1 4 上的最大值为f 2 12分 1 求函数y f x 在某个区间上的极值的一般步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右两边的符号 左正右负 f x 在这个根处取极大值 左负右正 f x 在这个根处取极小值 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的一般步骤 1 求函数y f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 2 将y f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 利用导数研究函数的极值和最值时 一般应首先考虑函数的定义域 2 导数值为0的点不一定是函数的极值点 它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 已知函数f x lnx ax2 a 2 x 1 若f x 在x 1处取得极值 求a的值 2 求函数y f x 在 a2 a 上的最大值 解析 1 f x lnx ax2 a 2 x 函数的定义域为 0 f x 2ax a 2 f x 在x 1处取得极值 即f 1 2 1 a 1 0 a 1 2 a20 f x 在 0 上单调递增 在 上单调递减 当0 a 时 f x 在 a2 a 上单调递增 f x max f a lna a3 a2 2a 当即时 f x 在 a2 上单调递增 在 a 上单调递减 f x max f ln2 1 ln2 当 a2 即 a 1时 f x 在 a2 a 上单调递减 f x max f a2 2lna a5 a3 2a2 综上所述 当0 a 时 函数y f x 在 a2 a 上的最大值是lna a3 a2 2a 当时 函数y f x 在 a2 a 上的最大值是当 a 1时 函数y f x 在 a2 a 上的最大值是2lna a5 a3 2a2 热点考向4导数在实际问题中的应用 例4 12分 2011 福建高考 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解题指导 1 根据 销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 可知函数过点 5 11 将其代入可求得a的值 2 利润为f x 每件产品的售价 每件产品的成本 销量 表示出函数解析式后 可借助导数求最值 规范解答 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 所以a 2 4分 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 8分从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 12分 利用导数解决生活中的优化问题 1 在应用题中 如果函数的关系式是三次 更高次或分式 一般可以考虑借助导数求最值 2 由于实际问题中的自变量有一定的范围限制 所以根据条件写出定义域也是重要的环节 若函数的定义域是一个开区间 通常在开区间中所得的极值点就是所求最值的对应点 一定要注意求得函数结果的实际意义 对于不符合实际的值应该舍去 某公司是专门生产健身产品的企业 第一批产品a上市销售 40天内全部售完 该公司对第一批产品a上市后的市场销售进行调研 结果如图 1 2 所示 其中 1 的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系 2 的折线表示的是每件产品a的销售利润与上市时间的关系 1 写出市场的日销售量f t 与第一批产品a上市时间t的关系式 2 第一批产品a上市后的第几天 这家公司日销售利润最大 最大利润是多少 解析 1 设f t a t 20 2 60 由f 0 0可知a 即f t t 20 2 60 t2 6t 0 t 40 t n 2 设销售利润为g t 万元 则 当30 t 40时 g t 单调递减 g 30 2700 当0 t 30时 g t t2 24t 易知g t 在 0 上单调递增 30 上单调递减 而t n 故比较g 26 g 27 经计算 g 26 2839 2 g 27 2843 1 故第一批产品a上市后的第27天这家公司日销售利润最大 最大利润是2843 1万元 分类讨论思想 解答含有参数的问题含参问题主要问题类型 1 含有参数的不等式的求解 2 含有参数的方程的求解 3 含有参数的函数解析式的单调性和最值问题 4 二元二次方程表示曲线类型的判定等 求解时应注意的问题 1 含参问题在求解时要结合参数的意义 对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论 在分类时要本着最简原则 做到分类合理 不重不漏 2 对参数的分类讨论 最后仍然分类写出答案 如果是对所求的字母进行分类求解 最后一般要整理得出并集 典例 12分 2011 陕西高考 设函数f x 定义在 0 上 f 1 0 导函数f x g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 讨论g x 与g 的大小关系 3 是否存在x0 0 使得 g x g x0 0成立 若存在 求出x0的取值范围 若不存在 请说明理由 解题指导 1 先求出原函数f x 再求得g x 然后利用导数判断函数的单调性 单调区间 并求出最小值 2 作差法比较 构造一个新的函数 利用导数判断函数的单调性 并由单调性判断函数的正负 3 存在性问题通常采用假设存在 然后进行求解 注意利用前两问