2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版.docx

13.2“杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C，C，C是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数(2)在求二项式系数时常用赋值法如1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)(axb)na0a1xa2x2anxn，f(1)a0a1a2an.在解题时要注意审题，恰当赋值1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项式展开式的二项式系数和为CCC.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案(1)(2)(3)2做一做(1)11的展开式中二项式系数最大的项是第_项(2)若(ab)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n_.(3)已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.答案(1)6和7(2)8(3)1解析(1)由n11为奇数，则展开式中第项和第1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n8.(3)展开式的通项为Tr1(1)rCa5rxr，令r2，则a2(1)2Ca380，所以a2.则(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a51.探究杨辉三角的有关问题例1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.解由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)C274.拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)如图数表满足：第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_答案(1)(2)2n132解析(1)由图中数字规律可知，第n行的第2个数是123(n1)11.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n1行；n626163，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究二项展开式的系数和问题例2在(2x3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和解在(2x3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为CCC2101024.(2)奇数项的二项式系数的和为CCC29512，偶数项的二项式系数的和为CCC29512.(3)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*)，各项系数之和即为a0a1a2a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解令(*)中xy1，得各项系数之和为(23)10(1)101.(4)奇数项系数的和为a0a2a4a10，偶数项系数的和为a1a3a5a9.由(3)知a0a1a2a101.令(*)中x1，y1，得a0a1a2a3a10510.得2(a0a2a10)1510，故奇数项系数的和为(1510)；得2(a1a3a9)1510, 故偶数项系数的和为(1510)拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.解(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，(*)所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.与(2)中(*)式联立相减得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)(2)10011001.(5)因为Tr1(1)rC2100r()rxr，所以a2k10(kN*)所以|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.探究求二项展开式中的最大项问题例3已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n.2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第r1 项最大，应用解得r，即得出系数的最大项已知二项式n.(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)由题意，得CC2C，n221n980，n7或n14.当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C423，T5的系数为C32470.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70.当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数为C7273432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.(2)由题意知CCC79，解得n12或n13(舍去)设展开式中第r1项的系数最大，由于1212(14x)12，则9.4r10.4.又r0,1,2，12，r10，系数最大的项为T11，且T1112C(4x)1016896x10.1(2)8展开式中不含x4项的系数的和为()A1 B0 C1 D2答案B解析展开式中x4项的系数为C1.又(2)8展开式中各项系数和为(21)81，展开式中不含x4项的系数的和为0.2在n(nN*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为()A32 B32 C0 D1答案D解析由题意得2n32，得n5.令x1，得展开式所有项的系数之和为(21)51.故选D.3若(12x)2019a0a1xa2019x2019(xR)，则的值为()A2 B0 C2 D1答案D解析(12x)2019a0a1xa2019x2019，令x，则2019a00，其中a01，所以1.4如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，则第n(n3)行第3个数字是_答案(nN*，n3)解析杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形杨辉三角形中第n(n3)行第3个数字是nC，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n3)行第3个数字是.5在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由