高中数学 函数的表示法（5）课件 新人教A版必修1.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 1 设a b是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的 在集合b中都有的元素y与之对应 那么就称对应为从集合a到集合b的一个映射 2 由映射的定义可以看出 映射是概念的推广 是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合a b必须是 任意一个元素x 唯一确定 f a b 函数 函数 非空数集 学点一判断对应是否为映射 判断下列对应是否构成映射 1 a 1 2 3 b 7 8 9 f 1 f 2 7 f 3 8 2 a z b 1 1 当n为奇数时 f n 1 当n为偶数时 f n 1 3 a b 1 2 3 f x 2x 1 4 a b x x 1 f x 2x 1 分析 判断一个对应f是否为从a到b的映射 主要从映射的定义入手 看集合a中的任意一个元素 在对应关系f之下 在集合b中是否有唯一的对应元素 解析 对于 1 集合a中的元素在集合b中都有唯一的对应元素 因而能构成映射 对于 2 集合a中的任一元素x在对应关系f之下在b中都有唯一元素与之对应 因而能构成映射 对于 3 由于当x 3时 f 3 2 3 1 5 在集合b中无对应元素 因而不满足映射的定义 从而不能构成映射 对于 4 满足映射的定义 因而能构成映射 评析 判定两个集合能否构成映射 一般从映射的定义入手 若满足映射定义就能构成映射 若不满足映射的定义 只要举一反例 即说明集合a中的某一元素在b中无对应元素即可 在下列各题中 哪些对应法则是集合a到集合b的映射 哪些不是 1 a r b y y 0 f x y x2 2 a x x 3 b y y 0 f x y 3 a n b r f x y 1 是映射 因为对任意x a 在f x y x2下 在集合b中都有唯一确定的元素和它对应 2 是映射 因为对任意x a 在f x y 下 在集合b中都有唯一确定的元素和它对应 3 不是映射 因为集合a中的元素0在f x y 下 在集合b中没有元素和它对应 学点二映射中的象与原象 分析 明确本题映射f a b的两个集合为有序实数对组成的集合 即点集 明确本题对应法则为f x y 3x 2y 1 4x 3y 1 已知映射f a b中 a b x y x r y r f a中的元素 x y 对应到b中的元素 3x 2y 1 4x 3y 1 1 求a中元素 1 2 在f的作用下与b中对应的元素 2 若a中的元素在f的作用下 在b中与之对应的元素为 1 2 求a中的这个元素 解析 1 x 1 y 2 3x 2y 1 3x 1 2 2 1 3 4 1 6 4x 3y 1 4 1 3 2 1 4 6 1 1 所求的b中元素为 6 1 3x 2y 1 1x 04x 3y 1 2 y 1 所求的a中元素为 0 1 评析 由映射中一个集合的元素 求出与之对应的另一个集合中的元素 应紧扣映射定义 注意映射的对应法则 2 设集合a b x y x r y r f是a到b的一个映射 并满足f x y xy x y 1 求b中元素 3 4 在a中的原象 2 试探索b中元素满足什么条件时在a中存在原象 3 求b中元素 a b 在a中有且只有一个原象时 a b所满足的关系式 xy 3x 1x 3x y 4 y 3y 1 所以b中元素 3 4 在a中的原象为 1 3 和 3 1 1 由题意知 解得 或 2 设任意 a b b 则它在a中的原象 x y 应满足 xy a x y b 由 得y x b代入 式化简 得x2 bx a 0 当且仅当b2 4a 0时 方程 有实根 所以 只有当b中元素 a b 满足b2 4a 0时 在a中才有原象 3 由以上 2 的解题过程可知 只有当b中元素 a b 满足b2 4a时 它在a中有且只有一个原象 学点三映射与函数 分析 映射是一种特殊的对应 函数是一种特殊的映射 要判断是否是映射 函数 应从定义入手 下列对应是否是从a到b的映射 能否构成函数 1 a r b r f x y 2 a a a n n n b b b n n f a b 3 a 0 b r f x y2 x 解析 1 因为当x 1时 y的值不存在 所以不是映射 更不是函数 2 是映射 也是函数 因为a中所有的元素的倒数都是b中的元素 3 因为当a中的元素不为零时 b中有两个元素与之对应 所以不是映射 更不是函数 评析 函数是一种特殊的映射 只有当构成映射的两个集合都是非空数集时 该映射才能构成函数 给出下列四个对应关系 能构成函数的是 填序号 a n b z f x y 2x 3 a 1 2 3 4 5 6 b y y n y 5 f x y x 1 a x x 2 b y y x2 4x 3 f x y x 3 a n b y n y 2x x n f x y 2x 1 由函数定义知f是a到b的函数 当x 1时 由f x y x 1 知y 0 b 不是a到b的函数 b y y x 2 2 1 y y 1 由f x y x 3知是a到b的函数 b 偶数 而f x y 2x 1为奇数 f不是a到b的函数 已知a a b c b 2 0 2 映射f a b满足f a f b f c 求满足条件的映射的个数 1 当a中三个元素都对应0时 则f a f b 0 0 0 f c 有一个映射 2 当a中三个元素对应b中两个时 满足f a f b f c 的映射有4个 分别为2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 3 当a中三个元素对应b中三个元素时 满足f a f b f c 的映射有2个 分别为 2 2 0 2 2 0 满足条件的映射共有7个 学点四映射的应用 分析 建立a到b的映射 需a中每一元素在f下都有唯一的元素与之对应 评析 求解含有附加条件的映射问题 必须按映射的定义处理 必要时要进行分类讨论 已知a 1 2 b a b 可以建立多少个从a到b的映射 由定义 映射f使a中每一元素在b中都有元素和它对应 故所有的对应关系有以下几组 1 a1 a1 b1 b2 a2 b2 b2 a 建立的a到b的映射有4个 1 映射是一种特殊的对应 对应有一对多 一对一 多对一等 2 映射定义中的两个集合a b是有先后次序的 a到b的映射与b到a的映射一般是截然不同的 3 映射是由集合a b以及从a到b的对应关系f所确定的 4 一个映射中 在对应关系f的作用下 集合a中的任何一个元素a对应着集合b中的元素b b具有唯一性 但与b中元素b对应的a中元素可以不唯一 5 在一个映射中 集合a b可以是数集 也可以是点集或其他集合 集合a b也可以是同一集合 但在确定的映射中 集合a b的地位一般是不要求对等的 1 怎样理解映射的概念 2 怎样判定一个对应是映射 按照定义 一个对应是一个从a到b的映射 需满足 1 a中元素在b中都有元素和它对应 且唯一 2 对应是一对一或多对一 1 判断某个对应是否为映射 必须严格根据定义 而说明一种对应关系不是映射 只需找到一个反例即可 映射实质上是 多对一 或 一对一 的对应 但不包括