1—7章概率论课后习题及答案.doc

第一章 随机事件及其概率1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题: 以下命题正确的是 （ ）.； .；.； .某学生做了三道题，以表示“第题做对了的事件”，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） .； .； .； .2. 、为三个事件，说明下述运算关系的含义： ； ； ； ； ； .3. 一个工人生产了三个零件，以与分别表示他生产的第个零件为正品、次品的事件.试用与表示以下事件： 全是正品； 至少有一个零件是次品； 恰有一个零件是次品； 至少有两个零件是次品.1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题: 下列命题中,正确的是 （ ）.；.；.；. 若事件与相容，则有 （ ） .； .； .； . 事件与互相对立的充要条件是 （ ） . ； .； .； . .2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：() 恰有三个邮筒各有一封信；（）第二个邮筒恰有两封信；（）恰好有一个邮筒有三封信6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛求上一届分别为第一、 二名的两个队被分在同一小组的概率1.5 条件概率1. 多项选择题: 已知且,则（ ）成立.； .； .； . . 若且，则（ ）成立.；.；.相容；.不相容.2. 已知，求3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率： 将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件； 从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为 男:女=0.502:0.498)6.袋中有只黑球，只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.1.6 独立性1. 多项选择题 ： 对于事件与，以下命题正确的是( ).若互不相容,则也互不相容；.若相容,则也相容； .若独立，则也独立； .若对立，则也对立. 若事件与独立，且， 则（ ）成立.；.；.相容；.不相容.2. 已知互相独立，证明也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为，求此射手每次射击的命中率.*4. 设为互相独立的事件，求证都与独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率第二章 一维随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其概率分布1填空题： 当 时是随机变量的概率分布， 当 时是随机变量的概率分布； 当 时是随机变量的概率分布； 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则的分布律为 ； 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是 射中了就停止射击且至多只射击次. 以表示射击的次数，则的分布律为 ； 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷次，以表示此次抛掷中落地后正面向上的次数，则的分布律为 . 2设在只同类型的零件中有只是次品，从中取次，每次任取只，以表示取出的只中次品的只数. 分别求出在 每次取出后记录是否为次品，再放回去； 取后不放回，两种情形下的分布律.3一只袋子中装有大小、质量相同的只球,其中只球上各标有个点,只球上各标有个点,只球上标有个点.从袋子中任取只球，以表示取出的只球上点数的和. 求的分布律； 求概率.4某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5袋子中装有只白球，只黑球，从中任取只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数的分布律.2.2 连续型随机变量及其概率分布1多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( ). ； . ；. ； .01231 / 163 / 161 21 / 42设随机变量的概率分布律如右,求的分布函数及.3设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以表示取得的球上所标有的数字.求的分布律与分布函数.4设连续型随机变量的概率密度如右，试求： 系数； 的分布函数； .5设连续型随机变量的分布函数如右，试求： 系数； 的概率密度； .6设连续型随机变量的分布函数为，试求： 系数与； 的概率密度； 在区间内取值的概率.2.3 随机变量的函数的分布1 62 61 62 6 1设离散型随机变量的分布律如右，求的分布律. 2设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度.3设随机变量在区间上服从均匀分布，求： 随机变量的概率密度； 随机变量的分布函数与概率密度.4设连续型随机变量的概率密度为,求的密度.*5设与分别为两个随机变量的分布函数，证明：当且时，可以作为某个随机变量的分布函数.2.4 一维随机变量的数字特征1一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2设随机变量的概率密度为求. 3设随机变量的概率密度为求与.4某路公汽起点站每分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的分钟内均匀分布. 求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5某工厂生产的设备的寿命(以年计)的概率密度为，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换. 若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. *6某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量1设随机变量只取下列数组中的值：、且相应的概率依次为、.求随机变量的分布律与关于、的边缘分布律.2一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以与表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求与的联合分布律与关于、的边缘分布律.3设随机变量的概率密度 试求： 常数； 的分布函数； .4设随机变量的概率密度为求关于、的边缘概率密度.5设随机变量在上服从均匀分布，其中由轴、轴及直线所围成，试求： 的概率密度； 求关于、的边缘概率密度.*6设某班车起点站上车的人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为乘客中途下车与否相互独立，并以表示在中途下车的人数.求： 在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率； 的分布律.3.2 随机变量的独立性1设随机变量与相互独立, 右表给出二维随机变量的分布律及边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.123122设随机变量分布律如右: 、为何值时与相互独立？写出的分布律与边缘分布律.3设随机变量在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量在中等可能地取一个整数.求：2时的条件分布律；1时的条件分布律.4设随机变量的概率密度为. 求； 求； 说明与的独立性.*5 箱子中装有只开关(其中只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下： ； ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于与的条件分布律，并说明与的独立性.* 6设随机变量的概率密度为求参数与条件概率密度.3.3 多元随机变量的函数的分布012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.051. 设的分布律如右,求； 的分布律； 的分布律； 的分布律.2设与是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为、的泊松分布. 证明服从参数为的泊松分布.3设随机变量与相互独立,且都服从参数为的两点分布，记随机变量为求与的联合分布律与.4设随机变量与相互独立，其概率密度分别为求随机变量的概率密度.5某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为. 设各周的需求量是相互独立的，试求： 两周； 三周的需求量的概率密度.6设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过小时的概率。 7设随机变量且,求随机变量的概率密度.8设随机变量与相互独立，且都在上服从均匀分布，求二次方程有实根的概率.3.4 多元随机变量的数字特征1单项选择题： 设与的相关系数为0，则 ( ).与相互独立; .与不一定相关; .与必不相关; .与必相关. 设与的期望与方差都存在,且,则以下不正确的是( ).; .;.与不相关;.与相互独立.2填空题： 设随机变量的概率密度为 ，则 ， ， ， . 设随机变量与互相独立，且则 ， .3把看似完全相同的钥匙，只有一把能开保险柜的门锁，用它们去试开保险柜. 假设取到每把钥匙的可能性是等同的，且每把钥匙只试开一次，求试开次数的数学期望与方差. 求在以下两种方法下求试开次数的数学期望与方差： 先写出的分布律； * 不写出的分布律。4设在区域上服从均匀分布，其中由轴、轴及直线围成. 求； 判断随机变量与的独立性.5设随机变量的概率密度为求.6设连续型随机变量的概率密度为偶函数，且求并说明与的相关性.* 7设随机变量的概率密度为时;其它时。 求; 说明与的相关性与独立性; 若求。第四章 正态分布与极限定理4.1-2 一、二维正态分布1. 单项选择题： （1）设则 ( ). 0.2 ； .0.3 ； .0.5 ； .0.7. （2）设则概率会随的增大而 （ ）. 增大 ； . 减小 ； . 保持不变 ； . 不定.2. 填空题： （1）设则 ， . ; . （2）设且则 , . （3）设随机变量与相互独立,则的概率密度为 . 3. 设,（1）确定, 使得; （2）设满足 问至多为多少4. 设试确定使得：（1）; （2）.5. 设，（1）求的概率密度；（2）求的概率密度6. 已知随机变量与的相关系数为.（1）求随机变量的数学期望和方差 ；（2）求随机变量与的相关系数. 7. 设服从二维正态分布，且相关系数（1）试写出的联合概率密度 ；（2）试求.4.3-4 切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理1. 在每次试验中，事件发生的概率为0.5 ,利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中，事件发生的次数在之间的概率.2. 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次独立射击中有180发到220发炮弹命中目标的概率3设有30个同类型的电子器件，若的使用寿命服从参数为的指数分布，令为30个器件各自正常使用的总计时间，求4在天平上重复称量一件物品,设各次称量结果相互独立且服从正态分布，若以表示次称量结果的平均值，问至少取多大，使得 5由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% 为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率6某单位设置的电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用7计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数). 设所有的取整误差相互独立且都服从区间上的均匀分布. (1) 求在个数相加时，误差总和的绝对值超过的概率.(2) 欲使误差总和的绝对值小于的概率不小于，最多能允许几个数相加？第五章 统计量及其分布5.1、2、3 总体、样本、统计量( 附注: 以下各章的习题中 都表示样本方差，不在赘述。)1填空题： 设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 = ； 在总体中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值落在4与6之间的概率 = ； 设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到，则 .2设是总体的一个样本，其中已知而未知，则以下的函数： ； ； ； ； ； ； 中哪些为统计量？为什么？3在总体中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值落在50.8与53.8之间的概率.4设是总体的一个样本，与分别为其样本均值与样本方差，求与.5. 设是总体的一个样本，求: 样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率; .5.4 来自正态分布的抽样分布1填空题： 设为总体的一个样本，则 ; 设为总体的一个样本，且服从分布，这里，则 . 2设是来自正态总体的样本，证明统计量服从分布，这里 .3设是来自正态总体的样本， ， ，证明统计量服从自由度为2的分布4已知，求证 *5设，是总体的容量为2的样本，其样本均值为，试求统计量的数学期望及方差 第六章 参数估计6.1 统计量及其性质1填空题： 设是来自总体的一个样本，且则下面的估计量中为的无偏估计量的是 ，其中方差最小的估计量是 . . ； . ；. ； . . 设为来自总体的一个样本，为的无偏估计，则常数 .2设是来自泊松分布的样本，试求的无偏估计量.3设是参数为的无偏估计量，且，证明：不是的无偏估计量.4设是来总体的样本，记 ()证明:总是总体均值的无偏估计量，且.5设;是分别来自总体和的样本，其中已知. 求常数，使为的无偏估计量，并使其方差最小.6设为来自正态总体的样本，其中已知，试证明是未知参数的一个无偏和一致估计量.6.2、3 参数的矩估计法与极大似然估计法1使用同一台仪器对某个零件的长度作了12次独立的测量，结果如下(单位:):232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.45, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30试用矩估计法估计测量值的真值与方差(设仪器没有系统误差).2设为正整数，为其子样，求的矩估计量.3设总体服从几何分布，它的分布律为是来自总体的一个样本，求的矩估计量与极大似然估计量.4设是来自总体的一个样本，求未知参数、的矩估计量与极大似然估计量. 5设服从指数分布，其概率密度为 ，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.6设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.6.4 区间估计1某批钢球的重量从中抽取了一个容量为的样本且测得（单位:），试在置信度下，求出的置信区间.2从某种炮弹中随机地取9发作试验,测得炮口速度的样本标准差(米/秒). 设炮口速度服从,求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的置信区间(取).3设有一组来自正态总体的样本观测值：0.497、0.506、0.518、0.524、0.488、0.510、0.510、0.515、0.512 已知，求的置信区间；未知，求的置信区间(置信度取0.95)； 求的置信区间(置信度取0.95).4设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命的标准差(小时).求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.5从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多少？6假定每次试验时，事件出现的概率相同(但未知). 如果在60次独立试验中，事件出现了15次，试求的置信水平为95%的置信区间.7设总体与相互独立,从中抽取的样本,得=82；从中抽取的样本,得. 试求的置信水平为95%的置信区间.8设总体与相互独立，从中抽取的样本，得；从中抽取的样本，得，试求两总体方差比的置信水平为90%的置信区间.*9 设，总体的一组样本观测值为：0.50、1.25、0.80、2.00. 求（记作）； 参数的置信水平为95%的置信区间； 利用上述结果求的置信水平为95%的置信区间.第七章 假 设 检 验7.1、2 假设检验问题、正态总体参数的假设检验1已知某炼铁厂生产的铁水的含碳量在正常情况下服从正态分布. 现在测定了9炉铁水，测得其平均含碳量为4.484, 若方差没有变化，可否认为现在生产的铁水的平均含碳量仍为4.55(取)?2从一批灯泡中抽取的样本,测得其使用寿命的样本均值为小时，样本标准差为小时. 可否认为这批灯泡的平均使用寿命为2000小时(取)?3在某批木材中随机地抽出100根，测得胸径的平均值为，已知胸径的标准差为. 能否认为这批木材的胸径在以下(取)?4五个小组彼此独立地测量同一块土地, 测得的面积分别是:(单位:)测量值服从正态分布.依这批数据在以下两种情形下检验:这块土地的实际面积为. 总体方差为已知, 总体方差为未知.5有一批枪弹，出厂时测得枪弹射出枪口的初速度服从(单位:).在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假设储存后的枪弹射出枪口的初速度仍服从正态分布，可否认为储存后的枪弹射出枪口的初速度已经显著降低(取)?6某批导线的电阻(单位:)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差.可否认为这批导线电阻的标准差仍为(取)？7从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取容量分别为9与8的样本进行测试，且测得含锌量的样本均值与样本方差如下，东支:；西支: .假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，那么东、西两支矿脉的含锌量的均值能否看作是一样的(取)？8对取自两个正态总体的样本,:-4.4、4.0、2.0、-4.8；:6.0、1.0、3.2、-4.0. 检验这两个样本是否来自方差相同的正态总体(取)； 能否认为这两个样本来自同一正态总体(取)？7.4、5 假设检验的两类错误、非参数假设检验1对总体用U检验法检验假设:(取). 若参数的真值为1.3. 试求： 当样本容量时，此U检验法犯第二类错误的概率； 若要求犯第二类错误的概率不超过0.1，样本容量至少应取多大？呼唤次数0123456频 数816171062102某电话台在1小时内接到的呼唤次数按每分钟记录得右表. 能否认为此电话台每分钟接到的呼唤次数服从泊松分布(取)？区间频数61820363从总体中抽取容量为80的样本，得到如右的频数分布表。据此，可否认为的概率密度为(时)(取)？参 考 答 案（习题册说明：标有*号的习题为综合与提高题，可作为选作题。）1-1、2 1. ； . 2. 发生；与都不发生；发生且与都不发生；都不发生； 中至少有一个发生；中至少有一个不发生 .3.；.1-3、4 1. ； ； . 2. 3/11 . 3. 0.777 . 4. 8/15 . 5. 3/8；（2）9/64；（3）1/16 6. 9/19.1-5 1. ； . 2. 0.75. 3. 0.875. 4. 0.3 ； 0.3125 . 5. 0.067 . 6. 都为.1-61. ； . 3. 2/3. 5. 0.458. 6. 丙. 7. （1）0.4；（2）0.4856 2-1 1. (1)1,0 ; (2) ; (3); (4); (5).2. (1) (2) .34567 PX 0.05 0.30.3 0.30.053. .4. 0.71. 5. .2-2 1. . 2. .-123 PX 1/6 1/21/33. . 4. (1) 3 ; (2) ; (3) 0.342 . 5. (1) 1 ; (2) ; (3) 0.5 .6. (1) ; (2) ; (3). -1012PU1/62/61/62/6-6-4-20PV1/62/61/62/6139 PW1/62/31/6.2-3 1. 2. 3. . 4. 时,; 时, . 5. 提示：从证明满足分布函数的性质入手证明 .2-41. 0.3 , 0.319 , 0.5649 . 2. 0 , 2 . 3. 1/3 , 1/18. 4. 2.5. 5. 33.64. 6. 2231. XY123101/61/121/421/61/61/61/231/121/601/41/41/21/4XY01/31-101/121/35/1201/6001/625/12005/127/121/121/33-11. 2. 3. .4. .5. .6. (1) 否则;(2)否则.3-212311/61/91/1821/32/91/9(其余的略去)1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/311. 2. 3.12340.50.50012340.480.240.160.124. 时; 时; 与独立.015/61/6015/61/65. 放回抽样 019/112/110110/111/11 不放回抽样 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样