高考数学 专题辅导与训练 4.3《与数列交汇的综合问题》课件 文.ppt

热点考向1数列与新背景 新定义的综合问题 例1 12分 2011 山东高考 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前2n项和s2n 解题指导 1 本题给出数列的背景新颖独特 须先从表格中寻找满足条件的项 易知a1 2 a2 6 a3 18 由等比数列的通项公式写出数列 2 由题意易知数列 bn 为摆动数列 利用分组求和法 可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n项和 规范解答 1 由题意知a1 2 a2 6 a3 18 2分因为 an 是等比数列 所以公比为3 所以数列 an 的通项公式an 2 3n 1 4分 2 bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 nln2 1 n n 1 ln3 7分 所以s2n 2 30 2 31 2 32 2 32n 1 1 1 1 2 1 2n ln2 1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 2n 2n 1 ln3 9n 1 0 ln2 nln3 9n 1 nln3 12分 解决数列与新背景 新定义的综合问题的步骤第一步 通过对新数表 图象 新定义的分析 探究 将问题转化为等差 比 数列的问题 第二步 利用等差 比 数列相关公式 性质求解 解决该类问题关键是读懂新背景 新定义 1 已知f 1 1 1 f m n n m n n 且对任意m n n 都有 f m n 1 f m n 2 f m 1 n 2f m n 给出以下三个结论 1 f 1 5 9 2 f 5 1 16 3 f 5 6 26 其中正确结论的个数是 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 选b 由f 1 5 f 1 4 2 f 1 3 2 2 f 1 2 2 2 2 f 1 1 2 2 2 2 9 f 1 m f 1 1 2 m 1 f 5 1 2f 4 1 2 2f 3 1 2 2 2f 2 1 2 2 2 2f 1 1 25 1f 1 1 16 f 5 6 2f 4 6 16f 1 6 16 f 1 5 2 16 f 1 1 10 26故只有 1 2 正确 2 在直角坐标平面内 已知点列p1 1 2 p2 2 22 p3 3 23 pn n 2n 如果k为正偶数 则向量的纵坐标 用k表示 为 解析 可见所求向量的纵坐标是等比数列求和问题 故的纵坐标是 22 24 2k 2 23 2k 1 答案 热点考向2数列与函数的综合问题 例2 12分 2011 广州模拟 数列 an 中 a1 t a2 t2 其中t 0且t 1 是函数f x an 1x3 3 t 1 an an 1 x 1 n 2 的一个极值点 1 证明 数列 an 1 an 是等比数列 2 求an 解题指导 1 先求f x 再由得到an 1 an的关系 进而证明 an 1 an 是等比数列 2 由 1 的结论 利用迭代法求an 规范解答 1 f x 3an 1x2 3 t 1 an an 1 1分根据已知即tan 1 t 1 an an 1 0 即an 1 an t an an 1 3分 因为t 0且t 1 所以数列 an 1 an 是等比数列 6分 2 由于a2 a1 t2 t t t 1 所以an 1 an t 1 tn 8分所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 t 1 tn 1 t 1 tn 2 t 1 t t 11分所以数列 an 的通项公式an tn n n 12分 几种求通项及求和的方法 1 已知an an 1 f n 求an可用叠加法 即an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 f n f n 1 f 2 a1 2 已知求bn可用叠乘法 3 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 求数列 anbn 的前n项和可用错位相减法 在各项均为负数的数列 an 中 已知点 an an 1 n n 在函数的图象上 且 1 求证 数列 an 是等比数列 并求出其通项 2 若数列 bn 的前n项和为sn 且bn an n 求sn 解析 1 因为点 an an 1 n n 在函数的图象上 所以故数列 an 是公比的等比数列 因为则由于数列 an 的各项均为负数 则 2 由 1 知 所以 热点考向3数列与不等式 解析几何 三角函数的综合问题 例3 2011 太原模拟 已知等差数列 an 满足 an 1 an n n a1 1 该数列的前三项分别加上1 1 3后顺次成为等比数列 bn 的前三项 1 分别求数列 an bn 的通项公式an bn 2 设 n n 若 c n 恒成立 求c的最小值 解题指导 1 首先由条件求出数列 an 的公差 求出其通项 进而求出数列 bn 的通项 2 利用错位相减法求出tn 再求的值 利用不等式放缩来寻找c的最小值 规范解答 1 设d q分别为数列 an bn 的公差与公比 由题知 a1 1 a2 1 d a3 1 2d 分别加上1 1 3后得2 2 d 4 2d是等比数列 bn 的前三项 2 d 2 2 4 2d d 2 an 1 an d 0 d 2 an 2n 1 n n 由此可得b1 2 b2 4 q 2 bn 2n n n 2 当n 1时 当n 2时 得 当n 1时 适合上式 在n 上是单调递增的 满足条件恒成立的c的最小整数值为3 互动探究 本题 2 中 若 c n 恒成立 改为 若关于n的不等式 c n 有解 其他条件不变 如何求解 解析 由本例 2 的解析可知 满足条件 c n 有解的c的最小整数值为3 数列中不等式的放缩问题数列中的不等式问题是近几年高考的热点 在数列求和时 为了证明的需要 需合理变形 常用到放缩法 常见的放缩技巧有 1 2 3 4 利用 1 x n的展开式进行放缩 此类问题综合性较强 要求有较高的知识迁移能力和分析问题 解决问题的能力 将函数在区间 0 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 an n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 2nan 数列 bn 的前n项和为tn 求tn的表达式 解析 1 化简其极值点为它在 0 内的全部极值点构成以为首项 为公差的等差数列 所以 2 得 n n 函数思想 以函数思想解决数列问题数列问题与函数问题的对比 1 求数列的项与函数求值 2 求数列通项公式与函数求解析式 3 数列的单调性与函数单调性 4 数列中求最值问题与函数求最值问题 5 数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题 求解时注意的问题 1 数列是定义在n 或其子集上的特殊函数 自然与函数思想密不可分 因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求 2 解决有关数列的通项公式 单调性 最值及恒成立等问题时要注意项数n的取值范围 典例 2011 日照模拟 已知数列 2n 1 an 的前n项和sn 9 6n 1 求数列 an 的通项公式 2 设设数列的前n项和为tn 求使恒成立的m的最小整数值 解题指导 1 分n 1和n 2两种情况