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曲线的极坐标方程 1 5 2曲线的极坐标方程在极坐标系中 用 0表示曲线的方程 一些基本曲线的方程 r 0 0 0 R ox ox 0 0 r o o x x o P P 2 P 2 3 2 2 3 2 o o o o x x x x c a 0 c a 2 c a c a 2 P P P P 2acos 2acos 2acos 2acos 3 2 2asin 2asin 3 x x x x P P P P o o o o a a a a asec acsc asec 3 2 acsc asec asec 4 c 0 0 r a P P 余弦定理 r2 2 02 2 0cos 0 正弦定理 sin a sin asin sin o o x x 5 P47三种圆锥曲线的统一的极坐标方程动点M到定点 焦点 F与到定直线 准线 L的距离的比为e 求点M的极坐标方程 分析 以焦点F为极点 如图建立极坐标系 F到L的离 FK p M 为轨轨上的任一点 把条件 e 用极坐标表示 e解出 K F H M x MF MH P cos ep 1 ecos 6 上述方程统一表示椭圆 双曲线 抛物线 F L x L F x x F L 当0 e 1时 方程表示椭圆 F是左焦点 L是左准线 当1 e时 方程表示双曲线 F是右焦点 L是右准线 当e 1时 方程表示抛物线 F是焦点 L是准线 开口向右 7 圆锥曲线极坐标方程的应用例5 1 以抛物线y2 5x的焦点为极点 对称轴向右的方向为极轴的正方向 且x轴与极轴的长度单位相同 求抛物线的极坐标方程 分析 设所求的抛物线的极坐标方程为 基中e 1 p是焦点到准线的距离 p 代入上式得所求的抛物线 ep 1 ecos 5 2 1 cos 1 2 5 2 2cos 5 8 2020 2 6 9 2 以椭圆 1的左焦点为极点 长轴向右的方向为极轴的正方向 且x轴与极轴的长度单位相同 求椭的极坐标方程 分析 根据已知条件 可设所求的椭圆的极坐标方程为 由椭圆的直角坐标方程求得a 5 b 4 c 3 e p 3 代入上式 x2 y2 16 25 ep 1 ecos 3 5 3 25 3 16 3 5 16 3 1 3 5 cos 16 5 3cos 10 例6通过抛物线y2 8x的焦点F 作一条倾斜角为 4的直线 交抛物线于A B两点 求焦点弦 AB 的值 分析 可用以往学过的方法求焦点弦的长 也可建立极坐标系解决 点F为极点 x轴正半轴为极轴 它的极坐标方程为 1 2 AB 1 2 16 oFx A B y 4 1 cos 1 2 4 1 cos 4 4 1 cos5 4 11 P525 3极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系xoy的原点为极点 x轴的正方向为极轴 点M的直角坐标为 x y 它的极坐标为 根据三角函数定义 同一点M的两种坐标有下面关系x cos y sin 2 x2 y2 tg x 0 一般 根据M所在象限 取最小的正角 o x y M y x 12 公式的应用例把点M的极坐标 5 化成直角坐标直接代入公式计算x cos 5cos 6 5 2 3y sin 5sin 6 5 2点M的直角坐标是 例把点M的直角坐标 3 1 化为极坐标极径取正值 2极角 tg 6 M o x y 5 3 5 2 2 o x y M 3 3 7 6 13 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化P54例3化圆的直角坐标方程x2 y2 2ax 0为极坐标方程 解题时 应用公式 注意整体替代 把x2 y2 2 x cos 代入直角坐标方程得 2 2a cos 0 2acos 0所示的极坐标方程是 0或 2acos 0 0是极点 2acos 表示以 a 0 为圆心 a为半径 且过极点的圆 所以 0不必写出来 o x a 0 14 例5化 4sin cos 为直角坐标方程解题注意整体替代 把原极坐标方程两边同乘 2 4 sin cos 2 x2 y2 cos x sin y 它的直角坐标方程是x2 y2 4y x x 2 y 2 2 在直角坐标系xoy中方程表示的是以 2 为圆心 为半径的圆 1 2 4 17 o x y 1 2 2 14 15 把极坐标方程 2sin2 2tg 化为直角坐标方程解 把原方程化为 sin cos tg x cos y sin tg 它的直角坐标方程是xy y x2 1 0 y x 1 x 1 0从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线是什么 化为直角坐标方程后知道它表示的是三条直线 y 0或x 1或x 1 x y y x 16 P54例4化圆锥曲线的极坐标方程 为直角坐标方程 解 把原极坐标方程化为 e cos ep e cos p x2 y2 x