高考数学 专题辅导与训练 3.3《解三角形的综合问题》课件 文.ppt

热点考向1三角形中的求值与证明 例1 12分 2011 山东高考 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知 1 求的值 2 若 abc的周长为5 求b的值 解题指导 1 本题可由正弦定理直接转化已知式子 然后再由三角恒等变换及诱导公式求的值 2 应用正 余弦定理及第一问结论求值 规范解答 1 由正弦定理得a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 所以 2分即sinbcosa 2sinbcosc 2sinccosb sinacosb 4分即有sin a b 2sin b c 即sinc 2sina 所以 6分 2 由 1 知所以有即c 2a 又因为 abc的周长为5 所以b 5 3a 8分由余弦定理得b2 c2 a2 2accosb 即解得a 1或a 5 舍去 10分所以b 2 12分 互动探究 在题设不变的情况下若b 2 求 abc的面积 解析 即c 2a 又因为b 2 所以由余弦定理得b2 c2 a2 2accosb 即解得a 1或a 1 舍去 所以c 2 又因为所以故 abc的面积 正 余弦定理 推论及其应用 应用正弦定理解 已知两边和其中一边的对角 求其他的边和角 时注意解的不定性 在 abc中 a b c分别为角a b c的对边 若 1 求角a 2 当时 求边长b和角b的大小 解析 1 2 1 cos b c 即又 0 a 2 由a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 bc b c 2 3bc 得 b c 2 9 b c 3 由 解得b 2 c 1或b 1 c 2 当b 2时 当b 1时 b a 热点考向2三角形形状的判定 例2 2011 苏州模拟 在 abc中 a b c分别是三内角a b c对应的三边 已知b2 c2 a2 bc 若判断 abc的形状 解题指导 先应用余弦定理及条件b2 c2 a2 bc求角a 再利用求角b c 最后判断 abc的形状 规范解答 在 abc中 b2 c2 a2 2bccosa 又 1 cosb 1 cosc 1 cosb cosc 1 0 b abc为等边三角形 判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状主要围绕三角形的边角关系考虑 解题思路主要有以下两种 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的对应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此种方法应注意应用三角形内角和a b c 这一结论 一般地 两种方法中若有等式变形 为防止漏解一般两边不约去公因式 而应移项提取公因式 已知函数的图象经过且 abc内角a b c的对边长分别为a b c 若b 1 且a b 试判断 abc的形状 并说明理由 解析 方法一 0 b 即由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosb 即a2 3a 2 0 故a 1 不合题意 舍 或a 2 又b2 c2 1 3 4 a2 所以 abc为直角三角形 方法二 0 b 由正弦定理得 0 c 当 不合题意 舍 所以 abc为直角三角形 热点考向3解三角形应用举例 例3 12分 如图 a b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解题指导 解三角形abd得bd 解三角形bcd得cd即可 规范解答 由题意知海里 dba 90 60 30 dab 45 adb 105 3分在 abd中 由正弦定理得 6分又 dbc 180 60 60 60 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2 bd bc cos60 cd 30 海里 10分 该救援船到达d点需要的时间为 12分 解三角形应用题的一般步骤 第一步 建模 1 准确理解题意 分清已知和未知 准确理解应用题中的有关名称 术语 如视角 仰角 俯角 方位角 坡度 象限角 方向角等 2 根据题意画出图形 3 把要求解的问题归结到一个或几个三角形中 合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型 第二步 解模 正确求解 注意 运算要准确 第三步 还原说明 得出应用题的答案 如图 在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物 现在需要测量其高度ab 由于雨季河宽水急不能涉水 只能在此岸测量 现有的测量器材只有测角仪和皮尺 现在选定了一条水平基线hg 使得h g b三点在同一条直线上 请你设计一种测量方法测出建筑物的高度 并说明理由 测角仪的高为h 解析 如图 测出 ace的度数 测出 ade的度数 测量出hg的长度 即可计算出建筑物的高度ab 理由如下 设 ace ade hg s 在 adc中 由正弦定理得所以在直角三角形aec中 所以 建筑物的高 数学建模思想 三角函数的工具性1 数学建模是一种重要的数学思想方法 是运用数学的语言和方法 通过抽象 简化 能近似刻画并 解决 实际问题的一种强有力的数学手段 数学建模的过程 1 模型准备 了解问题的实际背景 明确其实际意义 掌握对象的各种信息 用数学语言来描述问题 2 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的 对问题进行必要的简化 并用精确的语言提出一些恰当的假设 3 模型建立 在假设的基础上 利用适当的数学工具来表达各变量之间的数学关系 建立相应的数学结构 尽量用简单的数学工具 4 模型求解 利用获取的数据资料 计算 估计 模型中的所有参数 5 模型分析 对所得的结果进行数学上的分析 6 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较 以此来验证模型的准确性 合理性和适用性 如果模型与实际较吻合 则要对计算结果给出其实际含义 并进行解释 如果模型与实际吻合较差 则应该修改假设 再次重复建模过程 7 模型应用 应用方式因问题的性质和建模的目的而异 2 应用三角函数建立函数模型时 突出了对三角函数工具性的考查 建模时注意相关角的范围 典例 2011 泉州模拟 如图 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 abcd 的池底水平铺设污水净化管道 rt fhe h是直角顶点 来处理污水 管道越长 污水净化效果越好 设计要求管道的接口h是ab的中点 e f分别落在线段bc ad上 已知ab 20米 ad 米 记 bhe 1 试将污水净化管道的长度l表示为 的函数 并写出定义域 2 若求此时管道的长度l 3 当 取何值时 污水净化效果最好 并求出此时管道的长度 解题指导 1 借助直角三角形的边角关系建立污水净化管道的长