重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第一章第二节 命题及其关系、充 分条件和必要条件指导课件 新人教A版 .ppt

第二节 命题及其关系 充分条件和必要条件 一 命题 用语言表达的 可以判断真假的叫做命题 其中的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 二 四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 符号或式子 陈述句 判断为真 判断为假 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 三 充分条件 必要条件与充要条件 1 若p 则q 为真命题 记作p q 则的充分条件 的必要条件2 若既有p q 又有q p 记作p q 则的充要条件 q也是p的 1 否命题 是 命题的否定 吗 否命题 与 命题的否定 是两个不同的概念 如果原命题是 若p 则q 那么这个命题的否命题是 若非p 则非q 而这个命题的否定是 若p 则非q 可见 否命题是既否定条件又否定结论 而命题的否定只否定结论 相同 没有关系 p是q q是p p是q 充要条件 2 1 从逻辑推理关系上看 若p q 但q p 则p是q的充分而不必要条件 若q p 但p q 则p是q的必要而不充分条件 若p q 且q p 或p q且p q 则p是q的充要条件 若p q 且q p 则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件 2 从集合与集合之间关系上看 若a b 则a是b的充分条件 若a b 则a是b的必要条件 若a b 则a是b的充要条件 若a b 且b a 则a既不是b的充分条件 也不是b的必要条件 若a b 则a是b的充分不必要条件 若b a 则a是b的必要不充分条件 例如 设甲为0 x 5 乙为x2 4x 5 0 那么甲是乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 解法一 先化简乙 由不等式x2 4x 5 0得 1 x 5 0 x 5 1 x 5 但 1 x 5 0 x 5 甲是乙的充分不必要条件 故选a 解法二 设甲 m 0 5 乙 n 1 5 显然 m n 甲是乙的充分而不必要条件 解析 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 故 1 错 表示以 为元素的集合 2 正确 a 2是素数 但2为偶数 故 3 错 当a 0时 a无意义 4 错 综上只有命题 2 正确 答案 a 2 命题 若a b 则a 2 b 2 的否命题是 a 若a b 则a 2 b 2b 若a b 则a 2 b 2c 若a b 则a 2 b 2d 若a b 则a 2 b 2 解析 若p 则q 的否命题是 若p 则q 故选c 答案 c 3 已知a r 则 a 2 是 a2 2a 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由a2 2a a2 由a 2 a2 2a 但a2 2aa 2 a 2 是 a2 2a 的充分不必要条件 答案 a 4 文 教材改编题 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 解析 若p 则q 的逆否命题是 若q 则p 该命题的逆否命题为 若x y 则x2 y2 理 命题 若ab不为零 则a b都不为零 的逆否命题是 答案 若a b至少有一个为零 则ab为零 解析 三角形的内角和是 即a b c 若b 则a c 2b 即a b c成等差数列 反之 若a b c成等差数列 则a c 2b 又a b c 3b b 5 在 abc中 b 是 a b c成等差数列 的 条件 填 充分 必要 充要 之一 充分条件 必要条件和充要条件 例1 2010年浙江卷 设0 x 则 xsin2x 1 是 xsinx 1 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 思路点拨 根据充分 必要 充要条件的定义去判断 解析 当0 x 时 0 sinx 1 sin2x sinx sin2x xsinx 故当xsinx 1时 由xsin2x xsinx 1知 当xsinx 1成立时 可推得xsin2x 1成立 由xsin2x1 故xsin2x 1是xsinx 1的必要不充分条件 答案 b 变式探究 1 2009年湖南卷 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由a b 0知a与b互为相反向量 从而a b 充分性成立 由a b得a b r 当 1时 a b 0 必要性不成立 答案 a 方法技巧 充分条件 必要条件 充要条件的判定 1 定义法 1 分清条件和结论 哪个是条件 哪个是结论 2 找推式 判断是 p q 还是 q p 3 下结论 根据推式及定义得结论 2 等价转化法 条件或结论带有否定性词语的命题 常转化为其逆否命题来判断 3 集合法 小范围可以推出大范围 大范围不能推出小范围 4 用图示法 用推断符号 例如 已知p是r的充分不必要条件 s是r的必要条件 q是s的必要条件 那么p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 由条件得p q r s之间的关系p r s q 即p q 又r p 则q p 故p是q的充分不必要条件 答案 a 四种命题及其真假判断 例2 文 写出命题 在 abc中 若c 90 则c2 a2 b2 的逆命题 否命题和逆否命题 并指出它们的真假 思路点拨 分清原命题的条件 在 abc中 是大前提 c 90 是小前提 条件 c2 a2 b2 是结论 解 首先 原命题是真命题 逆命题 在 abc中 若c2 a2 b2 则c 90 是真命题 否命题 在 abc中 若c 90 则c2 a2 b2 是真命题 逆否命题 在 abc中 若c2 a2 b2 则c 90 是真命题 变式探究 2 文 2008年山东卷 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图象不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题三个命题中 真命题的个数是 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 原命题与逆否命题等价 而原命题为真 故其逆否命题为真命题 原命题的逆命题为 若y f x 的图象不过第四象限 则函数y f x 是幂函数 显然此命题为假 又因为逆命题与否命题同真假 所以否命题为假 答案 c 例2 理 在平面直角坐标系xoy中 直线l与抛物线y2 2x相交于a b两点 1 求证 如果直线l过点t 3 0 那么 3 是真命题 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 思路点拨 1 设出直线l的方程 注意讨论斜率是否存在 表示出a b两点的坐标 运用 设而不求 法完成第 1 小题 2 运用逆命题的定义及真假命题的判断 正确的给予证明 错误的举出反例 求解 解 1 证明 设过点t 3 0 的直线l交抛物线y2 2x于点a x1 y1 b x2 y2 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 3 此时 直线l与抛物线相交于点a 3 b 3 3 3 3 当直线l的斜率存在时 设l的方程为y k x 3 其中k 0 k 0时 直线l与y2 2x只有一个交点 由 得ky2 2y 6k 0 则y1y2 6 又 x1 x2 x1x2 y1y2 y1y2 2 y1y2 3 综上所述 命题 如果直线l过点t 3 0 那么 3 是真命题 2 逆命题 设直线l交抛物线y2 2x于a b两点 如果 3 那么该直线过点t 3 0 该命题是假命题 提示 写逆命题时 注意命题的大前提 例如 取抛物线上的点a 2 2 b 1 此时 3 直线ab的方程为y x 1 而t 3 0 不在直线ab上 变式探究 2 理 原创 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 对于命题 若a b 0 则f a f b f a f b 1 写出否命题 判定真假 并证明你的结论 2 写出逆否命题 判定真假 并证明你的结论 解 1 否命题 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 若a b 0 则f a f b f a f b 否命题为真命题 证明如下 a b 0 a b b a 又f x 在r上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 2 逆否命题 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 若f a f b f a f b 则a b 0 逆否命题为真命题 证明如下 用反证法 假设a b 0 则a b b a 又f x 在r上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 这与题设条件矛盾 故原命题成立 方法技巧 命题真假判断的常用方法 1 直接法 根据题意 先写出命题 分清条件与结论 然后判断真假 命题为真的要给予证明 命题为假的 要举出反例 2 转化法 判断命题的等价命题的真假 如原命题与其逆否命题等价 应特别注意 当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时 必须保留大前提不变 充要条件的证明 例3 已知数列 an 的前n项和sn pn q p 0 且p 1为常数 求证 数列 an 为等比数列的充要条件是q 1 思路点拨 分两个方面论证 充分性 由q 1 推证数列 an 为等比数列 必要性 由数列 an 为等比数列 证明q 1 证明 充分性 当p 0 p 1 q 1时 sn pn 1 当n 1时 a1 s1 p 1 当n 2时 an sn sn 1 p 1 pn 1 显然n 1时也满足上式 an p 1 pn 1 n n 又 p n 2 an 是等比数列 必要性 当n 1时 a1 s1 p q 当n 2时 an sn sn 1 p 1 pn 1 由于p 0 p 1 当n 2时 数列 an 为公比为p的等比数列 要使 an 是等比数列 当n n 则 p 又a2 p 1 p p p2 p p2 pq p 0 q 1 即由 an 是等比数列 得到q 1 故 an 是等比数列的必要条件是q 1 综上 数列 an 是等比数列的充要条件是q 1 变式探究 3 北京高考题改编 若a与b c都是非零向量 证明 a垂直于 b c 的充要条件是a b a c 方法技巧 关于 充要条件 问题的证明 一般要证两个方面 充分性 必要性 要分清哪个是条件 哪个是结论 由 条件 结论 是证明命题的充分性 由 结论 条件 是证明命题的必要性 a的充要条件是b 的命题的证明 b a 证明了充分性 a b证明了必要性 有时亦可用等价符号 书写 另外 要熟悉充要条件的同义语 如 当且仅当 必须且只需 等价于 反过来 也成立 等 当且仅当 中 当 表示 充分 仅当 表示 必要 必须且只需 中 必须 表示 必要 只需 表示 充分 等 准确地理解和使用文字语言 数学语言 对学好数学是十分重要的 例1 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 1 p a b 2 q 直线x y 0与圆 x a 2 y b 2 2相切 2 p x x q x2 x 0 3 设l m均为直线 为平面 其中l m p l q l m 4 设 p q tan tan 解 1 若a b 2 圆心 a b 到直线x y 0的距离d r 所以直线与圆相切 反之 若直线与圆相切 则 a b 2 a b 2 故p是q的充分不必要条件 2 若 x x 则x2 x x2 x 0成立 反之 若x2 x 0 即x x 1 0 则x 1或x 0 当x 1时 x x x 因此 p是q的充分不必要条件 3 l l m 但l m l m l p是q的必要不充分条件 4 x 时 函数y tanx是增函数 当 且 时 tan tan 反之也成立 p是q的充要条件 例2 2010年广东佛山质检 二 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线x2 4y及直线l y 1 1 求证 过l上点p作抛物线的两条切线 切点为a b 则pa pb 是真命题 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 解 1 证明 由x2 4y得y x2 对其求导得y x 设a x1 b x2 则直线pa pb的斜率分别为kpa x1 kpb x2 由点斜式得pa y x1 x x1 即y x1x pb y x2 x x2 即y x2x 由 可得点p 因为p在l上 所以 1 所以kpa kpb x1 x2 1 所以pa pb 2 1 中命题的逆命题为 过抛物线上a b两点分别作切线交于点p 若pa pb 则p在直线l上 该命题是真命题 事实上 由原命题可知 设a x1 b x2 且pa y x1 x x1 即y x1x pb y x2 x x2 即y x2x 由 可得点p 又pa pb 所以kpa kpb x1 x2 1 即yp 1 从而点p在l上 类型对命题的否定不正确致误 例 已知条件甲 a b 4 条件乙 a 1 且b 3 则甲是乙的 条件 填 充分 必要 充要 既不充分也不必要 之一 正解 当a b 4时 可选取a 1 b 5 故此时a 1且b 3不成立 a 1 同样 当a 1 且b 3时 可取a 2 b 2 有a b 4 得不到a b 4 因此 甲是乙的既不充分也不必要条件 分析 本题易出现以下解法 由原命题与其逆否命题等价知 若a 1 且b 3 则a b 4成立 所以甲是乙的充分不必要条件 出错的原因在于否定时 未对逻辑联结词 且 进行否定 且 的否定为 或 或 的否定为 且 一 选择题 1 2010年天津卷 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 a 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数b 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数c 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数d 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 解析 命题 若p 则q 的否命题为 若p 则q 而 是 的否定为 不是 故选b 答案 b 2 文 2009年北京卷 是 cos2 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由 可得cos2 cos 但由cos2 得2 2k k z 得不到 故选a 答案 a 理 2009年北京卷 2k k z 是 cos2 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由 2k k z cos2 由cos2 得2 2k k z 即 k 故由cos2 不一定得到 2k k z 答案 a 3 设f x g x 是定义在r上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析 应用充分性 必要性分别判断 f x g x 为偶函数 则f x f x g x g x h x g x f x g x f x h x h x 为偶函数 即充分性成立 反之 若h x f x g x 不妨取f x x3 g x x3 则h x 0为偶函数 但f x 与g x 均不是偶函数 故必要性不成立 故选b 答案 b 4 文 2008年广东卷 命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数b 若loga20 a 1 在其定义域内不是减函数 c 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数d 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数 答案 a 理 2010年安庆模拟 有下列四个命题 其中真命题有 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 则x2 x q 0有实根 的逆命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆否命题 a b c d 解析 的逆命题是 若x y互为相反数 则x y 0 为真命题 可改为 若两个三角形全等 则它们的面积相等 其否命题为 若两个三角形不全等 则它们的面积不相等 为假命题 的逆命题为 若x2 x q 0有实根 则q 为真命题 事实上 方程x2 x q 0有实根 则 1 4q 0 q 故应选c 答案 c 5 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知 如果m为平面 内的一条直线 m 则有 反过来则不一定 可有m 或m与 斜交 是 m 的必要不充分条件 答案 b 二 填空题 6 2010年江苏苏州调研 命题 若x 0 则x2 0 的否命题是 命题 填 真 或 假 解析 其否命题为 若x 0 则x2 0 是假命题 答案 假 7 已知p是q的充分条件 q既是r的必要条件 也是s的充分条件 r是s的必要条件 则p是r的 条件 s是q的 条件 填 充分 必要 充要 之一 解析 根据题设p q r s之间的关系如图所示 从而有p q s r s q 答案 充分充要 8 给出下列命题 三角形一定是平面图形 互相平行的三条直线都在同一平面内 梯形一定是平面图形 四边都相等的四边形是菱形 其中真命题的序号是 解析 三角形是平面图形 正确 由于梯形有两边平行 可确定一平面 即它一定是平面图形 因此 正确 互相平行的三条直线可不在同一平面内 如三棱柱 空间四边形的四边也可以相等 但它不是菱形 均是假命题 真命题是 答案 9 文 已知p 2 x 10 q 1 m x 1 m m 0 若p是q的必要而不充分条件 则实数m的取值范围为 解析 p q p q 即 p是q的充分不必要条件 故 m 9 答案 9 理 2010年江苏苏州中学高三阶段测试 一 下列各小题中 p是q的充要条件的是 填写正确命题的序号 p m6 q y x2 mx m 3有两个不同的零点 p 1 q y f x 是奇函数 p cos cos q tan tan p a b a q ub ua 解析 若y x2 mx m 3有两个不同的零点 则 0即m2 4 m 3 0 解得 m6 故 正确 对于 函数f x sinx是