湖南省高中数学 5.3柯西不等式与排序不等式配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节柯西不等式与排序不等式 三年1考高考指数 1 了解下列柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意义并会证明 1 柯西不等式的向量形式 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 3 通常称为平面三角不等式 2 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形 3 会用向量递归方法讨论排序不等式 4 会用上述不等式证明一些简单问题 能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值 1 利用柯西不等式 排序不等式证明不等式 求特定代数式的最值 以及解决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点 2 常与函数 不等式 数列 向量等知识进行综合考查 是本节的难点 重点 1 柯西不等式 1 二维形式的柯西不等式 代数形式若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当 时 等号成立 ad bc ac bd 2 向量形式设是两个向量 则 当且仅当 或 时 等号成立 三角形式设x1 y1 x2 y2 r 那么 是零向量 存在实数k 使 2 三维形式的柯西不等式设a1 a2 a3 b1 b2 b3 r 则 当且仅当 或 时 等号成立 b1 b2 b3 0 存在一个数k 使得a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 3 一般形式的柯西不等式设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 当且仅当 或 时 等号成立 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 bi 0 i 1 2 3 n 存在一个数k 使得ai kbi i 1 2 3 n 即时应用 1 思考 在二维形式的柯西不等式的代数形式中 取等号的条件可以写成吗 提示 不可以 当b d 0时 柯西不等式成立 但不成立 2 思考 不等式 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是柯西不等式吗 提示 不是 因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系 对谁与谁组合是有顺序的 不是任意的搭配 因此要仔细体会 加强记忆 3 若2x 3y 1 则4x2 9y2的最小值为 解析 4x2 9y2 12 12 2x 3y 2 1 答案 2 排序不等式 1 顺序和 乱序和 反序和的概念设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则称ai与bi i 1 2 n 按相同顺序相乘所得积的和 为顺序和 和 为乱序和 按相反顺序相乘所得积的和 为反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则 当且仅当 时 反序和等于顺序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an或b1 b2 bn 即时应用 1 顺序和 反序和 乱序和的大小关系是 2 已知两组数1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一个排列 则1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 3 设正实数a1 a2 a3的任一排列为a 1 a 2 a 3 则的最小值为 解析 1 由排序原理可知 反序和 乱序和 顺序和 2 由反序和 乱序和 顺序和知 顺序和最大 反序和最小 故最大值为32 最小值为28 3 不妨设0 a1 a2 a3 则 其反序和 3 则由乱序和不小于反序和知 3 的最小值为3 答案 1 反序和 乱序和 顺序和 2 3228 3 3 利用柯西不等式比较大小 方法点睛 利用柯西不等式的解题方法 1 柯西不等式的一般结构为 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 在利用柯西不等式证明不等式 或比较大小 时关键是正确构造左边的两个数组 从而利用题目的条件正确解题 2 使用柯西不等式时 既要注意它的数学意义 又要注意它的外在形式 当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时 就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小 例1 设a b c为正数 且不全相等 则与的大小关系为 解题指南 根据题目条件 可构造两组数据然后利用柯西不等式解决 规范解答 构造两组数由柯西不等式得 即 由柯西不等式知 中等号成立 a b b c c a a b c 而题设中a b c不全相等 故 中等号不能成立 答案 反思 感悟 本题 1 由a b c构造成的新数和不但需要较高的观察能力 而且应从所给的数学式中看出 变式训练 设a1 a2 a3均为正数 且a1 a2 a3 m 则与的大小关系为 解析 a1 a2 a3 当且仅当a1 a2 a3 时 等号成立 答案 利用柯西不等式求最值 方法点睛 利用柯西不等式求最值的技巧 1 先变形凑成柯西不等式的结构特征 这是利用柯西不等式求解的先决条件 2 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上常数项或和为常数的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是应用柯西不等式解题的技巧 3 有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在运用过程中 每运用一次 前后等号成立的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 提醒 在使用柯西不等式时 要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 例2 1 设正数x y z满足x y z 1 函数 2x2 3y2 z2的最小值为 2 函数的最大值为 解题指南 1 由x y z 1以及 2x2 3y2 z2的形式 可以构造柯西不等式解决问题 2 关键是构造再利用柯西不等式求解 规范解答 1 根据已知条件和柯西不等式 我们有1 故 而等号成立的条件是 即代入条件x y z 1得 此时 故当时 函数 2x2 3y2 z2取得最小值 2 由柯西不等式 得f x 故当且仅当即时 f x 取得最大值为答案 1 2 互动探究 若例题 1 条件不变 的最大值为 解析 由柯西不等式 得 3 4 x y z 3 21 当且仅当x y z 时 取等号 的最大值为 答案 反思 感悟 1 利用柯西不等式求最值的一般结构为 2 在利用柯西不等式求最值时 不但要注意等号成立的条件 而且要善于构造 技巧如下 1 巧拆常数 2 重新安排某些项的次序 3 改变结构从而达到可以使用柯西不等式的目的 4 添项 变式备选 求函数y 2cosx 的最大值 解析 y 2cosx 2cosx 当且仅当即tanx 时 函数有最大值 排序不等式的应用 方法点睛 排序不等式的应用技巧 1 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题 能构造的和按数组中的某种 搭配 的顺序被分为三种形式 顺序和 反序和 乱序和 对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的 次序 即可 2 在解答数学问题时 常常涉及一些可以比较大小的量 它们之间并没有预先规定大小顺序 那么在解答问题时 可用排序原理的思想方法 将它们按一定顺序排列起来 继而利用不等关系来解题 例3 已知a b c为任意正数 则的最小值为 解题指南 题目中没有给出a b c的大小顺序 且a b c在不等式中的地位是均等的 不妨设a b c 再利用排序不等式等号成立时求最小值 规范解答 不妨设a b c 则a b a c b c 由排序不等式得 两式相加 则2 3 即当且仅当a b c时 取最小值答案 反思 感悟 1 应用排序不等式解题 要先构造有序数组 从而构造顺序和 乱序和以及反序和 当已知数组位置对称 没有大小顺序时 可讨论指定一个次序 然后再利用排序不等式 2 构造有序数组是正确利用排序不等式的前提条件 当做出a b c的假设后 所用的两个数组就可以完全确定了 但要注意a b c三者的 地位 必须对等 否则不成立 变式训练 已知a b c为正数 且a b c则与的大小关系