高考数学第1轮总复习 12.5导数的应用（第1课时）课件 理（广西专版）.ppt

第十二章极限与导数 导数的应用 第讲 5 第一课时 1 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为 如果f x 0 则f x 为 如果在某个区间内恒有 则f x 为常数 2 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有 就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 增函数 减函数 f x 0 f x f x0 如果对x0附近的所有的点 都有 就说f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为 3 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 f x f x0 极值 极大值 极小值 4 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的 2 将f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b 极值 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 故选d d 2 若函数在x 1处取极值 则a 解 由解得a 3 3 题型1利用导数判断函数的单调性及简单证明 1 求函数y 2x3 9x2 12x 3的单调区间 解 函数的定义域为r y 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 令y 0 得x1 1 x2 2 x1 x2将定义域分成三个区间 1 1 2 2 可列表讨论如下 所以函数y 2x3 9x2 12x 3的单调增区间为 1 2 单调减区间为 1 2 点评 利用导数判断函数在区间 a b 上的单调性 其步骤是 先求导函数f x 然后判断导函数f x 在区间 a b 上的符号 而求函数的单调区间 则先求导 然后解方程f x 0 得出不等式f x 0的解的区间 即递增区间 或f x 0的解的区间 即递减区间 若没有指定区间 应先求出函数的定义域 题型2利用导数讨论函数的单调性 2 设a为实常数 试讨论函数f x lg 10 x 1 ax的单调性 解 1 因为10 x 1 10 x 0 所以故当a 1时 2 当0 a 1时 1 a 0 令f x 0 则即令f x 0 则即 3 当a 0时 综上分析 当a 0时 f x 是增函数 当a 1时 f x 是减函数 当0 a 1时 f x 在 上是减函数 在 上是增函数 点评 含参数的函数的单调性问题 在求导后判断f x 的符号时 需要根据参数的取值情况进行分类讨论 已知函数f x e2x 2t ex x x2 2t2 1 证明 1 当t 时 g x 在r上是增函数 2 对于给定的闭区间 a b 总存在实数k 当t k时 g x 在闭区间 a b 上是减函数 证明 1 由题设得g x e2x t ex 1 x 则g x 2e2x tex 1 又由2ex e x 且t 得t 2ex e x 即g x 2e2x tex 1 0 由此可知 g x 为r上的增函数 2 证法1 因为g x 0是g x 为减函数的充分条件 所以只要找到实数k 使得t k时 g x 2e2x tex 1 0 即t 2ex e x在闭区间 a b 上成立即可 因为y 2ex e x在闭区间 a b 上连续 故在闭区间 a b 上有最大值 设其为k 于是在t k时 g x 0在闭区间 a b 上恒成立 即g x 在闭区间 a b 上为减函数 证法2 因为g x 0是g x 为减函数的充分条件 所以只要找到实数k 使得t k时 g x 2e2x tex 1 0在闭区间 a b 上成立即可 令m ex 则g x 0 x a b 当且仅当2m2 tm 1 0 m ea eb 而上式成立只需 取2ea e a与2eb e b中较大者记为k 易知当t k时 g x 0在闭区间 a b 上恒成立 即g x 在闭区间 a b 上为减函数 2e2a tea 1 0 2e2b teb 1 0 即 t 2ea e a t 2eb e b 成立 3 已知f x ex ax 1 1 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 2 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 题型3利用导数求单调函数中参数的取值范围 解 f x ex a 1 因为f x 在r内单调递增 所以f x 0在r上恒成立 所以ex a 0 即a ex在r上恒成立 所以a ex min 又因为ex 0 所以a 0 故a的取值范围为 0 2 解法1 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 所以a ex在 0 上恒成立 因为g x ex在 0 上为增函数 所以当x 0时 ex取得最大值1 所以a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 即a ex在 0 上恒成立 所以a 1 所以a 1 解法2 由题意知 x 0为f x 的极小值点 所以f 0 0 即e0 a 0 所以a 1 点评 由可导函数在某指定区间上是单调的 可得此函数在区间上的导函数的符号是确定的 再由此得到相应的不等式有解 或恒成立 可求得参数的取值范围 设函数试推断是否存在正常数k 使f x 在 1 2 上是减函数 在 2 上是增函数 解 f x 4k2x3 2x2 2kx 2 依据题意 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 又f x 为连续函数 所以f 2 0 即32k2 8 4k 2 0 即16k2 2k 3 0 所以k 或k 舍去 当k 时 f x x3 2x2 x 2 x 1 x 1 x 2 所以当1 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 符合题意 故存在常数k 满足条件 1 利用导数判定函数的单调性原理 可以结合曲线的切线的斜率的几何性质加以理解 斜率为正 曲线上升 函数单调递增 斜率为负 曲线下降 函数单调递减 2 在区间d内f x 0 是 f x 在区间d上是增函数 的充分非必要条件 因为若f x 在区间d上是增函数 则有可能存在x0 d 使f x0 0 同时 如果函数f x 在闭区间 a b 上具有单调性 则f x 在区间端点处的导数可能为0 3 求可导函数在定义域内的单调区间的一般步骤是 1 求f x 令f x 0 求此方程在定义域内的所