非线性方程实根的加速法.doc

山东师范大学数学科学学院实验报告实验课程： 非线性方程（组）的解法 实验项目： 非线性方程实根的加速法 姓名 郭新国 学号：200708020244 班级： 二班 专业： 信计 指导教师： 朱爱玲 完成日期： 2010-6-20 实验目的:掌握解非线性方程实根的简单迭代法的加速法、牛顿法加速法（下山法）与重根求解方法的上机编程运算.实验内容：问题分析和算法设计问题：1. 1. 用加权法加速技术求方程x = e-x在0.5附近的一个根 . 问题分析 ： 假设g(x)=exp(-x)，加权加速方法为迭代 x(k+1) = g(x(k)， 修正 x(k+1) = (x(k+1)-L*x(k)/(1-L)，其中L=dg/dx|(x_star)，x_star = 0.5迭代4次就可以使得精度达到1e-4.主要程序代码：#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,L,G,err; double g(double x); double dg(double x); k = 0; xk = 0.5; L = dg(xk); G = 1 - L; err = 1; while(err 0.0001) x = g(xk); / 迭代 x = (x - L*xk) / G; / 修正 err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout g(x)= setprecision(12) g(x) endl; return 0;double g(double x) return (exp(-x);double dg(double x) return (-exp(-x);运行结果和总结运行结果：2. 用埃特金迭代法求方程x2=x3-1在x0=1.5附近的根./* 问题2 用Aitken Method迭代法求方程x2=x3-1在x0=1.5附近的根. (根所在的区间为1,2)方程等价于 x = (x2+1)(1/3)，简单迭代法适用其上Aitken Method：x(k+3) = x(k) - (x(k+1)-x(k)2/(x(k+2)-2x(k+1)+x(k)，首两项可用简单迭代法给出*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk0,xk1,xk2,err; double f(double x); k = 0; xk0 = 1.5; xk1 = f(xk0); xk2 = f(xk1); err = 1.0; while(err 0.00001) / 迭代序列 xk0,xk1,xk2,x. x = xk0 - pow(xk1 - xk0),2)/(xk2 - 2*xk1 + xk0); xk0 = xk1; xk1 = xk2; xk2 = x; err = fabs(xk2 - xk1); k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; return 0;double f(double x) return cbrt(pow(x,2) + 1.0); / cbrt 立方根函数运行结果：3. 用Steffenson算法求方程x3 x 1=0在(1,1.5)内的根 ./* 问题3 用Steffenson算法求方程x3 x 1=0在(1,1.5)内的根Steffenson Method：yk = f(x(k), zk = f(yk), x(k+1) = x(k) - (yk - x(k)2/(zk - 2yk + x(k);*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,yk,zk,err; double f(double x); k = 0; xk = 1.5; yk = f(xk); zk = f(yk); err = 1.0; while(err 0.0001) / 迭代序列 xk,x. x = xk - pow(yk - xk),2)/(zk - 2*yk + xk); yk = f(x); zk = f(yk); err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; return 0;double f(double x) return (pow(x,3) - 1.0); 运算结果：4. 分别用牛顿法与牛顿加速法（下山法）法求方程在附近的一个根./* 问题4 分别用牛顿法与牛顿加速法（下山法）法求方程x3 x 1=0在1.5附近的一个根f(x) = x3 - x - 1仅考虑牛顿加速法(下山法)：x(k+1) = x(k) - tk * f(x(k)/f (x(k)初值选为0.6*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,fxk,t,direction,err; double f(double x); double df(double x); k = 0; xk = 0.6; err = 1.0; while(err 0.000001) / 迭代序列 xk,x. t = 1.0; fxk = f(xk); direction = fxk/df(xk); while ( true ) x = xk - t*direction; if (fabs(f(x) fabs(fxk) break; else t = t/2.0; continue; err = fabs(x - xk); xk = x; k+; / 每步迭代过程 cout K-th iteration: k endl; cout t = t endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; cout endl; return 0;double f(double x) return (pow(x,3) - x - 1.0); double df(double x) return (3.0*pow(x,2) - 1.0);运算结果：5. 已知是方程的二重根，用牛顿切线法和重根修正公式求解./* 问题5. 已知x=sqrt(2)是方程f(x)=x4-4*x2+4=0 的二重根，用牛顿切线法和重根修正公式求解仅考虑重根修正公式：x(k+1) = x(k) - m*f(x(k)/f (x(k), m为根的重数*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,m,err; double f(double x); double df(double x); k = 0; m = 2.0; xk = 1.5; err = 1.0; while (err 0.0001) / 迭代序列 xk,x. x = xk - m*f(xk)/df(xk); err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setpreci