【导学教程】高考数学专题复习 专题八第2讲 数形结合思想课件 .ppt

第2讲数形结合思想 1 2011 山东 不等式 x 5 x 3 10的解集是a 5 7 b 4 6 c 5 7 d 4 6 真题感悟 自主学习导引 解析令y x 5 x 3 则函数对应的图象为 令y 10 即 x 5 x 3 10 得x 4或x 6 结合图象可知 x 5 x 3 10的解集为 4 6 答案d 答案b 高考试题中数形结合思想方法的应用具体体现在函数零点个数与范围的判定 不等式的求解 函数性质的研究 参数范围的求解等考察方向上 应用数形结合的方法 可以化抽象为具体 化间接为直观 实现数与形的转化 考题分析 1 数形结合的思想所谓数形结合 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系 既分析其代数含义 又揭示其几何意义 使数量关系和空间形式巧妙 和谐地结合起来 并充分利用这种 结合 寻找解题思路 使问题得到解决 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从形的直观和数的严谨两方面思考问题 拓宽了解题思路 是数学的规律性与灵活性的有机结合 方法突破 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来 关键是代数问题与图形之间的相互转化 它可以使代数问题几何化 几何问题代数化 2 数形结合思想解决的问题常有以下几种 1 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 2 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围 3 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 4 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式 5 构建立体几何模型研究代数问题 6 构建解析几何中的斜率 截距 距离等模型研究最值问题 7 构建方程模型 求根的个数 8 研究图形的形状 位置关系 性质等 3 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧 特别是在解选择题 填空题时发挥着奇特功效 具体操作时 应注意以下几点 1 准确画出函数图象 注意函数的定义域 2 用图象法讨论方程 特别是含参数的方程 的解的个数是一种行之有效的方法 值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 有时可能先作适当调整 以便于作图 然后作出两个函数的图象 由图求解 4 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时 需做到以下四点 1 要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 2 要恰当设参 合理用参 建立关系 做好转化 3 要正确确定参数的取值范围 以防重复和遗漏 4 精心联想 数 与 形 使一些较难解决的代数问题几何化 几何问题代数化 以便于问题求解 高频考点突破 考点一 数形结合思想在解决方程的根 不等式问题中的应用 例1 2012 惠州质检 定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x2 则函数y f x log5 x 1 的零点个数是a 8b 9c 10d 11 审题导引 利用函数的性质作出函数f x 与y log5 x 1 的图象 两图象交点的个数即为零点的个数 规范解答 由题意知偶函数f x 的周期t 2 在同一坐标系下作出函数f x 及函数 x log5 x 1 的图象如图所示 结合图象可知函数零点的个数为10 故选c 答案 c 规律总结 数形结合思想在解决函数 不等式问题中的应用 1 用函数的图象讨论方程 特别是含参数的指数 对数 根式 三角等复杂方程 的解的个数是一种重要的思想方法 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 不熟悉时 需要作适当变形转化为两熟悉的函数 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象 图象的交点个数即为方程解的个数 2 解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题 往往可以避免繁琐的运算 获得简捷的解答 3 函数的单调性经常联系函数图象的升 降 奇偶性经常联系函数图象的对称性 最值 值域 经常联系函数图象的最高 最低点的纵坐标 变式训练 解析作出函数f x 的图象如图所示 考点二 数形结合思想在求参数 代数式取值范围中的应用 例2 实系数一元二次方程x2 ax 2b 0有两个根 一个根在区间 0 1 内 另一个根在区间 1 2 内 求 1 点 a b 对应的区域的面积 审题导引 由条件求得a b所满足的线性约束条件 并作出可行域 根据其几何意义求解 规律总结 代数式或等式几何意义的妙用如果等式 代数式的结构蕴涵着明显的几何特征 就要考虑用数形结合的思想方法来解题 即所谓的几何法求解 比较常见的对应有 变式训练 2 当x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax恒成立 则a的取值范围为a 2 3 b 4 c 1 2 d 2 4 解析设y1 x 1 2 y2 logax 则y1的图象为如图所示的抛物线 要使对一切x 1 2 y1 y2恒成立 显然a 1 并且只需当x 2时 logax 1 a 2 1 a 2 故选c 答案c 考点三 数形结合思想在解析几何中的应用 审题导引 应用抛物线的定义 数形结合可求 规律总结 数形结合的思想在解析几何中的应用技巧 变式训练 答案c 名师押题高考 解析因为y cos x是偶函数 图象关于y轴对称 所以 本题可转化成求函数y log3x与y cos x图象的交点个数的问题 作函数图象如图 可知它们有三个交点 即函数f x 图象上关于y轴对称的点有3对 答案d 押题依据 应用数形结合的