【优化方案】高中数学 第四讲一数学归纳法课件 新人教A版选修45.ppt

第四讲数学归纳法证明不等式 一数学归纳法 学习目标1 理解并掌握数学归纳法的概念 运用数学归纳法证明等式问题 2 学会运用数学归纳法证明几何问题 证明整除性等问题 课堂互动讲练 知能优化训练 一数学归纳法 课前自主学案 学习目标 课前自主学案 1 数学归纳法适用于证明一个与 有关的命题 2 数学归纳法的步骤是 1 归纳奠基 2 归纳递推 假设当n k k n 且k n0 时命题成立 3 结论 由 1 2 可知 命题对一切n n0的自然数都成立 无限多个正整数 推导n k 1时命题也成立 思考感悟在数学归纳法中的n0是什么样的数 提示 n0是适合命题的正整数中的最小值 有时是n0 1或n0 2 有时n0值也比较大 不一定是从1开始取值 课堂互动讲练 名师点评 运用数学归纳法证明时 两个步骤缺一不可 步骤 1 是证明的归纳基础 步骤 2 是证明的主体 它反映了无限递推关系 变式训练1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 等式右边 2 1 2 等式成立 2 假设n k k n 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 成立 那么n k 1时 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 即n k 1时等式也成立 由 1 2 可知对任何n n 等式均成立 平面上有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 并且每三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成了f n n2 n 2部分 思路点拨 用数学归纳法证明几何问题 主要是搞清楚当n k 1时比n k时分点增加了多少 区域增加了几块 本题中第k 1个圆被原来的k个圆分成2k条弧 而每一条弧把它所在部分分成了两部分 此时共增加了2k个部分 问题就得到了解决 证明 1 当n 1时 一个圆把平面分成两部分 且f 1 1 1 2 2 因此 n 1时命题成立 2 假设n k k 1 时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2部分 如果增加一个满足条件的任一个圆 则这个圆必与前k个圆交于2k个点 这2k个点把这个圆分成2k段弧 每段弧把它所在的原有平面分成为两部分 因此 这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分 即有 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时 f n n2 n 2也成立 根据 1 2 可知n个圆把平面分成了f n n2 n 2部分 名师点评 有关诸如此类问题的论证 关键在于分析清楚n k与n k 1时二者的差异 这时常常借助于图形的直观性 然后用数学式子予以描述 建立起f k 与f k 1 之间的递推关系 则当n k 1时 即增加一条直线l 因为任何两条直线不平行 所以l与k条直线都相交 有k个交点 又因为任何三条直线不共点 所以这k个交点不同于k条直线的交点 且k个交点也互不相同 如此k个交点把直线l分成k 1段 每一段把它所在的平面区域分为两部分 故新增加了k 1个平面部分 用数学归纳法证明 x 1 n 1 x 2 2n 1 n n 能被x2 3x 3整除 思路点拨 证明多项式的整除问题 关键是在 x 1 n 1 x 2 2n 1中凑出x2 3x 3 证明 1 当n 1时 x 1 1 1 x 2 2 1 1 x2 3x 3能被x2 3x 3整除 命题成立 2 假设当n k k 1 时 x 1 k 1 x 2 2k 1能被x2 3x 3整除 那么 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 1 x 2 2k 1 x 1 x 2 2k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2k 1 x2 3x 3 x 2 2k 1 因为 x 1 k 1 x 2 2k 1和x2 3x 3都能被x2 3x 3整除 所以上面的式子也能被x2 3x 3整除 这就是说 当n k 1时 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1也能被x2 3x 3整除 根据 1 2 可知 命题对任何n n 都成立 名师点评 用数学归纳法证明数或式的整除性问题时 常采取加项 减项的配凑法 而配凑的方法很多 关键是凑成n k时假设的形式 变式训练3求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 以上两项均能被a2 a 1整除 故当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 对n n 命题都成立 1 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步中验证n的初始值至关重要 它是递推的基础 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范围内的最小值 2 第二步证明的关键是运用归纳假设 在使用归纳假设时 应分析p k 与p k 1