尚德--成考专本数学串讲讲义2014.pdf

1 高等数学高等数学 考前串讲考前串讲 成人高考 专升本 前 言 对于准备升学考试的考生们 高等数学这门课 临考前如何复习呢 一定要按照考试大纲的要求 先全面复习 练习 再重点复习 练习 要立足于 基本概念 基本理论和基本方法 要重点复习基础知识和往年常考的知识 要多练基 本题型和往年常考的题型 只有经过一而再 再而三的复习 练习 才能逐步加深对 基本概念的理解 才能熟记计算时所用的基本公式和运算法则 才能掌握解题的思路 方法与关键步骤 若不然 对基本概念基本概念还不清楚 对基本公式 法则基本公式 法则 还不熟悉 对 基本方法基本方法还没掌握 就想解题达到举一反三 触类旁通 手到擒来 事半功倍以至无 师自通的地步是不可能的 可以说 学习任何一门文化课所涉及的知识以及掌握的程度 通俗地讲 由浅入 深可分为以下四个阶段 第一个阶段是经过看 听以及笔录看 听以及笔录等肤浅肤浅的学习 可由不不认知到任 知 认知到任 知 了 这 对于每位学生来说都能做到 第二个阶段是经过动脑筋琢磨动脑筋琢磨 并动手动笔 较深层次 较深层次 的学习 就能由不领会不领会 不理解到领 会 理解不理解到领 会 理解了 这得肯于付出一定的努力肯于付出一定的努力才能做到的 参加考试只能做最 容易的题 第三个阶段是继续动脑筋琢磨动脑筋琢磨 动手动笔等 动手动笔等 更深层次更深层次 的复习练习 就能由不不 熟练达到 熟 练熟练达到 熟 练的程度了 这就得 付出更大的努力 付出更大的努力 了 没有意志的人是做不到没有意志的人是做不到 的的 参加考试就会得心应手 轻松自如了 可以做较难的试题了 第四个阶段是刻苦努力地精雕细刻地刻苦努力地精雕细刻地复习练习 就能由不灵巧到灵 巧 不灵巧到灵 巧 了 这 就更难上加难了 俗话说 熟中生巧 不熟就提不上巧 如此学到的知识永远不会忘 永远是自己的 参加考试 多难的试题都会做 参加考试 多难的试题都会做 不然 认知学会的知识还会生疏淡忘 甚至忘的一干二净 就跟从来没学过似的 2 复习达到 熟 的程度参加成人高考 才能考好 复习达不到 熟 的程度 想 顺利考好 考上大学是不可能的 复习过程千万不要走过场 不要投机取巧 不要有 指望押题 猜题考好的侥幸心理 从 1994 年 2013 年 已 20 年了 近十年北京的最低录取分数线 列表如下 0304050607080910111213 290288229170155144132150120100100 270210204128140120105130120118100 经管 理工 注 一 试卷的题型 题量 分值 分别如下 1 选择题 是客观性的试题 有选项 其答案的对与错明确具体 起点低 比较容 易入手 考查比较低的理解能力和运算能力 得分率偏高 有 10 道小题 每小题 4 分 共 40 分 2 填空题 也是客观性的试题 但没有选项的提示作用 也起点低 比较容易入手 考查比较低的理解能力和运算能力 得分率偏高 有 10 道小题 每小题 4 分 共 40 分 3 解答题 是主观性试题 考查所学知识的综合运用能力和分析解决实际问题的能 力 有 5 道 每小题 8 分 常规性的计算题 还有 3 道 每小题 10 分 应用 题 有一定的难度 不易得满分 二 试卷的难易比例 容易题 占 30 合 45 分 得满分的几率可为 100 较容易题 占 50 合 75 分 得满分的几率至多 70 较难题 占 20 合 30 分 得满分的几率至多 30 三 试卷的知识结构如下 分析2011 2013年年近三年的试题 所涉及的知识 理工类有八部分 经管类有 五部分 其中有四部分是相同的 在 2013 年的试卷中 理工类的试卷有 23 题 合 114 分 经管类的试卷有 26 题 合 138 分 列表如下 3 由以上分析 我们由以上分析 我们应该把学习 复习 练习的重点放在以上四部分内应该把学习 复习 练习的重点放在以上四部分内容容 如果能将试卷中 最容易 的选择题选对 填空题填对 最容易 的选择题选对 填空题填对 就可得 45 分 至少分 至少 35 分了分了 这对于上中学时初等数学没学好全忘了 上大专时高等数学又没学的考生 上中学时初等数学没学好全忘了 上大专时高等数学又没学的考生 只 要课上能专心听我讲的知识 紧跟我考虑解决数学问题的思路 课下还能用两倍的课课上能专心听我讲的知识 紧跟我考虑解决数学问题的思路 课下还能用两倍的课 上学习时间 及时认真地复习课上学过的最容易接受的知识 练习课上跟着我做过的上学习时间 及时认真地复习课上学过的最容易接受的知识 练习课上跟着我做过的 最容易的试题 肯定至少得最容易的试题 肯定至少得 35 分 已经超过这两年录取最低分数线的单科分 34 分了 如果还能将试卷中 较容易 的选择题选对 填空题填对 较容易 的选择题选对 填空题填对 解答题按步骤解对答对 一部分 至少能再增加至少能再增加 45 分分吧 这对于上中学时学过的初等数学没全忘 有一定的基 础 上大专时又学过高等数学 并且学会一部分高等数学的考生 只要能把我讲的较 容易的知识学会 就应该能达到的目标 对于初等数学和高等数学 都有一定的基础 考前这几个月 又肯于用大量的时间 刻苦努力地复习 练习 考试的数学成绩取得百分以至百分以上 都是完全可以的 祝考生们复习好 考好 考上自己向往的大学 2014年9月27日于北京 姚唐生 分类 内容 理工类 经管类 2011 年 2012 年 2013 年 2011 年 2012 年 2013 年 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 一 极限与连续 3 12 3 12 3 16 4 20 4 16 4 16 二 一元微分学 8 40 10 52 9 44 10 56 9 50 9 50 三 一元积分学 6 34 6 34 8 38 7 38 9 46 9 50 四 多元微分学 5 20 3 16 3 16 5 24 4 22 4 22 累计 22 106 22 116 23 114 26 138 26 134 26 138 其它部分 6 44 6 34 5 36 2 12 2 16 2 12 总计 28 150 28 150 28 150 28 150 28 150 28 150 4 注注 在各部分各考点所涉及的例题 或在各部分各考点所涉及的例题 或据题型据题型 如选择题 填空题和计算题如选择题 填空题和计算题 或据 或据 类型类型 如无穷小量的高阶 同阶 低阶三大类 在如复合函数的乘方 如无穷小量的高阶 同阶 低阶三大类 在如复合函数的乘方 开方 指数 开方 指数 对数 三角 反三角六大类对数 三角 反三角六大类 各引用一题为例 各引用一题为例 第一部分第一部分 一元函数的极限与连续一元函数的极限与连续 共 28 128 题 约 3 4 题 合 12 20 分 题型一 考查是否会确定题型一 考查是否会确定n 时 数列的极限时 数列的极限 设数列 n a 即 123 n a a aa 若数列的每一项 n a随着项数n的无限增大 可愈来愈接近一个常数A 则A为数列 n a的极限 记作Aan n lim 若 n a随着项数n的无限增大 不能愈来愈接近一个常数A 或无限增大 则数列 n a的极限不存在 可记作 n n alim 2 常用数列的已知极限常用数列的已知极限 1 数列 n 1 即 1 4 1 3 1 2 1 1 n 当 n时 0 1 n 记作0 1 lim n n 2 常数列 c 即 cccc 当 n时 cc 记作cc n lim 注注 数列 n 即1 2 3 n 当 n时 其极限不存在 可记作 n n lim 3 常用数列的和差积商的极限常用数列的和差积商的极限 即数列的加减乘除四则运算法则即数列的加减乘除四则运算法则 若Aan n lim Bbn n lim 则加减 lim nn n ba n n a lim n n b lim BA 乘 lim nn n ba n n a limBAbn n lim 特别的lim lim nn nn cbcbcB lim lim mmm nn nn aaA 除 n n n b a lim B A b a n n n n lim lim 0 B 5 4 确定数列极限的主要思路如下确定数列极限的主要思路如下 1 作计算题 若分子分母的极限都不存在 不能用极限的除法法则 应先将分子分母约分 化 n n lim为0 1 lim n n 即可求极限 2 作填空题和选择题 可直接据如下结论确定极限 1 0110 1 0110 0 lim nn nn mm x mm nm a xa xaxaa nm b xb xbbb nm 代表性试题代表性试题 共共 3 4 题题 例例 1 1 2 1 23 lim 3 n n nn 1998年高数二 填填 2 1 例例 2 2 求 12 3 lim 2 n nn n 2001年高数二 答答 2 1 例例 3 3 32 1 lim n n n 2007年高数二 选选B A0 B 1 2 C1 D2 题型二 考查是否会确定题型二 考查是否会确定x 时 函数的极限时 函数的极限 1 常用函数的已知极限常用函数的已知极限 1 常函数cy 当 x时 cc 记作cc x lim 2 幂函数xy 当 x时 其极限不存在 可记作 x x lim x y 1 当 x时 0 1 x 记作0 1 lim x x 3 指数函数 x ey 当x 时 0 x e 记作lim0 x x e 当x 时 x e 记作lim x x e 4 对数函数lnyx 当x 时 lnx 记作lim ln x x 6 5 三角函数 sinyx 当 x时 xsin无极限但有界 xycos 当 x时 xcos无极限但有界 6 反三角函数arctanyx 当x 时 arctan 2 x 记作lim arctan 2 x x 当x 时 arctan 2 x 记作lim arctan 2 x x arccotyx 当x 时 arccot0 x 记作lim arccot0 x x 当x 时 arccot x 记作lim arccot x x 2 函数和 差 积 商的极限函数和 差 积 商的极限 即函数的加减乘除四则运算法则即函数的加减乘除四则运算法则 若Axf x lim Bxg x lim 则加减 limxgxf x limxf x limxg x BA 乘 limxgxf x limxf x BAxg x lim lim limxgcxcg xx 除 B A xg xf x x lim lim 0 B 3 3 确定确定 x时 有理分式函数的极限时 有理分式函数的极限 1 1 作计算题作计算题 若分子分母的极限都不存在若分子分母的极限都不存在 不能用极限的除法法则不能用极限的除法法则 应将分子分母约分 化应将分子分母约分 化 x x lim为为0 1 lim x x 即可求极限 即可求极限 2 2 对填空题和选择题 可直接据如下结论确定极限对填空题和选择题 可直接据如下结论确定极限 1 0110 1 0110 0 lim nn nn mm x mm nm a xa xaxaa nm b xb xbbb nm 3 3 若属若属 型未定式 还可用洛必达法则确定极限型未定式 还可用洛必达法则确定极限 代表性试题代表性试题 共共 3 7 题题 7 例例 1 1 求 34 12 lim 2 2 xx xx x 2004年高数一 答答 2 1 例例 2 2 43 12 lim x x x 2008年高数二 选选 C C A 1 4 B0 C 2 3 D1 例例 3 3 5 3 lim 2 x x x 2010年高数二 填填 0 0 题型三 考查是否会确定题型三 考查是否会确定 0 xx 时 时 函数的极限的极限 1 常用函数的已知极限常用函数的已知极限 1 常函数cy 当 0 xx 时 cc 记作 0 lim xx cc 2 幂函数xy 当 0 xx 时 可记作 0 0 lim xx xx x y 1 当0 x 时 1 x 记作 0 1 lim x x 3 指数函数 x ey 1 0 e 当0 x时 1 x e 记作1lim 0 x x e 4 对数函数xyln 01ln 当1 x时 0ln x 记作0lnlim 1 x x 5 三角函数xysin 00sin 1 2 sin xycos 10cos 0 2 cos 当0 x时 sin0 x 记作 0 limsin0 x x 当 2 x时 sin1x 记作 2 limsin1 x x 当0 x时 1cos x 记作1coslim 0 x x 当 2 x时 0cos x 记作0coslim 2 x x 2 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 若Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 8 则加减 lim 0 xgxf xx lim 0 xf xx lim 0 xg xx BA 乘 lim 0 xgxf xx lim 0 xf xx BAxg xx lim 0 lim lim 00 xgcxcf xxxx 除 lim 0 xg xf xx B A xg xf xx xx lim lim 0 0 0 B 3 3 确定确定 0 xx 时 函数的极限时 函数的极限 1 若有理分式的分式的分子和分母的极限均为零 不能用极限的除法法则 先用乘法公式或十字相乘或提取公因式 将分子或分母分解因式 并约去极限为 零的因子 才可求极限 2 若无理分式的分子和分母的极限均为零 不能用极限的除法法则 先用共轭根式和平方差公式 将分子或分母有理化 并约去极限为零的因子 才 可求极限 3 属 0 0 型未定式 也可用洛必达法则确定极限 代表性试题代表性试题 共共 3 17 题题 例例 1 1 xx xx x 3 34 lim 2 2 3 2009年高数二 填填 3 2 例例 2 2 1 1 lim 2 1 x x x 2011年高数二 选选C A0 B1 C2 D3 例例 3 3 求 x x x 11 lim 2 0 2007年高数一 答答 0 题型四 考查是否会确定分段函数在分段点处的极限题型四 考查是否会确定分段函数在分段点处的极限 函数函数 f x在点在点 0 x极限存在的充要条件极限存在的充要条件 0 lim xx f xA 与 0 lim xx f xA 均存在且相等 0 lim xx f xA 9 代表性试题代表性试题 共共 3 11 题题 1 分段函数在分段点处的极限分段函数在分段点处的极限 1 单单 左或右左或右 侧的极限侧的极限 例例 1 1 设函数 xf 0 1ln 012 xx xx 则 lim 0 xf x 2003年高数二 填填 1 2 双侧双侧 既左又右既左又右 侧的极限侧的极限 例例 2 2 函数 2 210 cos0 xx f x xx 则 0 lim x f x 2004年高数二 填填 1 2 据极限存在的充要条件 确定分段函数式中的待定常数据极限存在的充要条件 确定分段函数式中的待定常数 例例 3 3 函数 xf 0 01 2 xax xx 在0 x处的极限存在 则a 2010年高数二 填填 1 题型五 考查是否会利用两个重要极限确定极限题型五 考查是否会利用两个重要极限确定极限 第一个重要极限第一个重要极限 当0 x时 三角函数 xf x xsin 的极限为 1 即1 sin lim 0 x x x 其变形是 当 x时 三角函数 xf x x 1 1 sin 的极限为 1 即1 1 sinlim x x x 注 1 做计算题 用换元法可化为1 sin lim 0 u u u 用拼凑法可化为1 sin lim 0 x x x 2 做填空题或选择题 可用 b a bx ax x sin lim 0 确定极限 3 属 0 0 型未定式 也可用洛必达法则确定极限 第二个重要极限第二个重要极限 当0 x时 幂指函数 xf xx 1 1 的极限为 e 即ex x x 1 0 1 lim 其变形是 10 当 x时 幂指函数 xf x x 1 1的极限为 e 即e x x x 1 1 lim 注 1 做计算题 可利用指数乘法法则指数乘法法则 n mnm aa 用换元法化为 c c u u eu 1 0 1 lim 或用拼凑法化为 c c x x ex 1 0 1 lim 2 做填空题和选择题 可用 0 lim 1 b ab x x axe lim 1 ax ab x b e x 代表性试题代表性试题 共共 3 29 题题 例例 1 1 0 sin2 lim 3 x x x 2008年高数二 填填 2 3 例例 2 2 x x x 1 0 1 lim 2006年高数一 选选B Ae B 1 e C 1 e De 例例 3 3 x x x 3 1 1 lim 2009年高数二 填填 3 1 e 题型六 考查是否会判定无穷小量 会利用无穷小的运算性质 会比较阶题型六 考查是否会判定无穷小量 会利用无穷小的运算性质 会比较阶 定义定义 称极限为零的变量为无穷小 量 注 常数 0 是特殊的无穷小 量 运算性质运算性质 1 两个以至有限个无穷小的代数和仍是无穷小 2 两个以至有限个无穷小的乘积仍是无穷小 3 无穷小 量 与有界变量之积仍是无穷小 量 阶的比较阶的比较 当 0 xx 时 变量 xf xg均为无穷小 即0 lim 0 xf xx 0 lim 0 xg xx 1 若0 lim 0 xg xf xx 则 xf是 xg的高阶无穷小量 2 若 lim 0 xg xf xx 则 xf是 xg的低阶无穷小量 11 3 若c xg xf xx lim 0 则 xf与 xg是同阶的无穷小量 特别的 若1 lim 0 xg xf xx 则 xf与 xg是同阶等价的无穷小量 利用无穷小量的等价性简化求极限利用无穷小量的等价性简化求极限 要熟悉掌握以下常用的等价无穷小量 1 当0 x 时 1 x e 与x ln 1 x 与x sinx与x tanx与x arcsinx与x 均等价 即 0 1 lim1 x x e x 0 ln 1 lim1 x x x 0 sin lim1 x x x 0 tan lim1 x x x 0 arcsin lim1 x x x 计算极限时 可在乘除运算结构的式子中用x替换与之等价的无穷小量1 x e ln 1 x sinx tanx arcsinx 2 当 0g x 时 1 g x e 与 g x ln 1 g x 与 g x sin g x与 g x tan g x与 g x arcsin g x与 g x 均等价 即 0 1 lim1 g x g x e g x 0 ln 1 lim1 g x g x g x 0 sin lim1 g x g x g x 0 arcsin lim1 g x g x g x 计算极限时 可在乘除运算结构的式子中用 g x替换与之等价的无穷小量 1 g x e ln 1 g x sin g x tan g x arcsin g x 代表性试题代表性试题 共共 6 22 题题 1 确定无穷小量的确定无穷小量的 例例 1 1 当0 x时 下列 是无穷小量 2001年高数一 选选B A x xsin Bxxsin 2 C x x 1ln D12 x 2 用无穷小量的运算性质的用无穷小量的运算性质的 例例 1 1 x x x 3 2sin lim 2009年高数一 选选A 12 A 0 B 3 2 C 1 D 2 3 3 比较无穷小量阶的比较无穷小量阶的 例例 1 1 当0 x时 2 x与sin x相比较是 的无穷小量 1995年高数二 选选A A高阶 B同阶 C等价 D低阶 例例 2 2 当0 x时 xxsin 2 与x相比较是 的无穷小量 2000年高数二 选选B A 高阶 B 同阶 C 等价 D 低阶 例例 3 3 当0 x 时 ln 1 xx 与相比较是 的无穷小量 2002年高数二 选选C A 高阶 B 同阶 C 等价 D 低阶 2010年高数二 填填 1 4 利用等价的无穷小量简化求极限利用等价的无穷小量简化求极限 1 1 0 x 例例 1 1 2 0 sin lim x x x 2007年高数一 选选D A2 B1 C 1 2 D0 2 2 0g x 例例 2 2 求 0 ln 1 3 lim sin2 x x x 1997年高数二 答答 3 2 题型七 考查是否会确定函数在一点连续或间断题型七 考查是否会确定函数在一点连续或间断 函数在一点处的连续性 定义定义 1 若 xf在点 0 x处的极限与函数值均存在且相等 即 0 0 lim xx f xf x 则称函数 xf在点 0 x处连续连续 2 若 xf在点 0 x处的极限不存在或函数值不存在或均存在但不相等 即 lim 0 xf xx 不存在 或 0 xf不存在 或 lim 0 xf xx 0 xf 13 则称函数 xf在点 0 x处不连续 不连续 或称间断间断 连续性的应用连续性的应用 1 求初等函数 xf在连续点 0 x的极限 lim 0 xf xx 只要求函数值 0 xf即可 2 求连续函数 xgf在点 0 x处的极限 可先求 xg在点 0 x处的极限 0 0 lim xx g xg x 再求函数值 0 xgf 即 lim lim 0 00 xgfxgfxgf xxxx 代表性试题代表性试题 共共 7 38 题题 1 确定函数在一点间断确定函数在一点间断 即不连续即不连续 的的 例例 1 1 函数 2 10 01 21 xx f xxx xx 1994年高数二 选选B A 01xx 在与处均间断 B 01xx 在处间断 在处连续 C01xx 在与处均连续 D01xx 在处连续 在处间断 例例 2 2 函数 3 1 2 x x xf的间断点是 0 x 2008年高数一 填填 3 2 利用连续性确定函数在一点处的函数值或极限利用连续性确定函数在一点处的函数值或极限 1 初等函数初等函数 xf在连续点在连续点 0 x的极限的极限 lim 0 xf xx 即函数值 即函数值 0 f x 例例 1 1 1 lim 2 0 x x 2010年高数一 选选 C A3 B2 C1 D0 例例 2 2 3 1 2 lim 3 x x x 2013年高数二 填填1 2 求复合函数求复合函数 xgf在连续点在连续点 0 x处的极限时 处的极限时 先求里层函数先求里层函数 xg在点在点 0 x处的极限处的极限 0 0 lim xx g xg x 再求外层函数值再求外层函数值 0 xgf 即 即 lim lim 0 00 xgfxgfxgf xxxx 例例 1 1 2 0 lim x x e 2008年高数一 选选B 14 A0 B1 Ce D 2 e 3 初等函数初等函数 xf在连续点在连续点 0 x的函数值的函数值 0 f x 即极限 即极限 lim 0 xf xx 例例 1 1 设 2 2 1 cos x f x x 在点0 x 处连续 则常数 0 f 1999年高数一 选选C A1 B0 C1 D2 3 据函数在一点连续 确定分段函数式中的待定常数据函数在一点连续 确定分段函数式中的待定常数 例例 1 1 设 2 231 1 xxx f x ax 在1x 处连续 求常数a 2013年高数一 答答 2 第二部分第二部分 一元函数微分学一元函数微分学 共 68 190 题 约 8 10 题 合 40 56 分 第第 1 节节 导导 函函 数与微分数与微分 共 44 123 题 15 题型一 考查是否熟记基本初等函数的导题型一 考查是否熟记基本初等函数的导 函函 数数 导数的基本公式导数的基本公式 即六类六类 19 个个基本初等函数的导 函 数公式 常数的0 c 基本幂函数的 1 aa axx1x x x 2 1 2 1 1 xx 基本指数函数的aaa xx ln xx ee 基本对数函数的 ax x a ln 1 log x x 1 ln 基本三角函数的 sin cosxx 2 tan secxx sec sec tanxxx xxsin cos xx 2 csc cot xxxcotsec csc 基本反三角函数的 2 1 1 arcsin x x 2 1 1 arccos x x 2 1 1 arctan x x 2 1 1 cot x xarc 代表性试题代表性试题 共共 4 10 题题 1 基本幂函数的导数基本幂函数的导数 例例 1 1 2 yx 则 y 2012年高数一 选选D A 3 x Bx C 1 2 x D2x 2 基本指数函数的导数基本指数函数的导数 例例 2 2 设 y x 5 则 y 2010年高数一 选选C A 1 5 x B x 5 C5 ln5 x D 1 5 x 3 基本对数函数的导数基本对数函数的导数 例例 3 3 设 yxln 则 y 2008年高数二 选选A A x 1 B x 1 Cxln D x e 16 4 基本三角函数的导数基本三角函数的导数 例例 4 4 设 f x xcos 则 2 f 2012年高数一 选选A A1 B 1 2 C0 D1 题型二 考查是否能熟练用导数的公式及四则运算法则求简单函数的导数题型二 考查是否能熟练用导数的公式及四则运算法则求简单函数的导数 1 简单的初等函数简单的初等函数 指由基本初等函数仅经过有限次加减乘除四则运算而构成的函 数 2 求简单初等函数的导 函 数 即基本初等函数的和 差 积 商的导 函 数 要用如下的运算法则运算法则 设 xuu 和 xvv 都是基本函数 显然都可导 则 vuvu vuvuuv 特别的 uccu 2 v vuvu v u 特别的 c u c u 2 v vc v c 代表性试题代表性试题 共共 7 35 题题 1 和函数的导数和函数的导数 例例 1 1 设 y 2 arcsinex 则 y 2003年高数一 填填 2 1 1x 2 差函数的导数差函数的导数 例例 2 2 设ln3 x ye 则 dy dx 2013年高数二 选选A A x e B 1 3 x e C 1 3 D 1 3 x e 3 积函数的导数积函数的导数 例例 3 3 设xey x ln 则 1 y 2009年高数二 选选C A0 B1 Ce D2e 17 例例 4 4 设xxysin 求 y 2009年高数一 答答xxxcossin 4 商函数的导数商函数的导数 例例 5 5 设 y x e x 则 y 2009年高数一 填填 2 x exe xx 5 四则混合函数的导数四则混合函数的导数 例例 6 6 设 3 6yxx 则 0 x y 2007年高数一 填填 6 例例 7 7 设 y x x sin 1 求 y 2011年高数二 答答 x xxx 2 sin cos 1 sin 题型三 考查是否会求复合函数的导题型三 考查是否会求复合函数的导 函函 数数 1 复合函数的运算结构可分为如下六类复合函数的运算结构可分为如下六类 1 乘方 含开方 的结构 记作 a yg x 2 开方结构的 记作 n yg x 常用的是开平方 yg x 3 指数形式的运算结构 记作 g xg x yaye 常用的是 4 对数形式的运算结构 记作 ln a ylog g xyg x 常用的是 5 三角形式的运算结构 记作sin yg x s yco g x n ytag x 6 反三角形式运算结构 记作arcsin yg x arcs yco g x arctan yg x 注 将以上六类结构理解为里外两层 外层都是基本函数 里层是基本函数或简单函 数 2 对以上六类复合函数求导的链式法则如下对以上六类复合函数求导的链式法则如下 先用基本初等函数的导数公式 求外层函数的导数 再用导数公式以及导数的四则运 算法则 求里层函数的导数 再将两个导数相乘即可 链式法则即由此得名 1 对乘方结构的复合函数 求导的链式法则是 1 n y gx 求导的链式法则是 1 n yngxg x a yg x 1 a ya g xg x 18 或 1 n n yg x gx 1 y g x 求导的链式法则是 2 1 yg x gx 2 对开方结构的复合函数 n yg x 求导的链式法则是 1 11 n yg xg x n 或 1 1 n n yg x n gx 对开平方结构的复合函数 yg x 求导的链式法则是 1 2 yg x g x 3 对指数结构的复合函数 求导的链式法则是 对指数结构的复合函数 g x ye 求导的链式法则是 g x yeg x 4 对对数结构的复合函数 求导的链式法则是 5 对三角结构的复合函数 求导的链式法则是 对三角结构的复合函数 求导的链式法则是 对三角结构的复合函数 求导的链式法则是 6 对反三角结构的复合函数 求导的法则是 对反三角结构的复合函数arccos yg x 求导的法则是 2 1 1 yg x gx 对反三角结构的复合函数 求导的法则是 代表性试题代表性试题 共共 9 23 题题 1 求乘方结构的复合函数求乘方结构的复合函数 a yg x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则 1 a a g xg x 例例 1 1 设 2 3 yx 则y 2013年高数一 填填2 3 x g x ya ln g x yaa g x ln yg x 1 yg x g x sin yg x s yco g xg x cos yg x sin yg xg x tan yg x 2 sec yg xg x arcsin yg x 2 1 1 yg x gx arcn ytag x 2 1 1 yg x gx 19 2 对开方结构的复合函数对开方结构的复合函数求导 用链式法则求导 用链式法则 例例 2 2 设yxx 求 y 2003年高数二 答答 11 1 2 2 x xx 3 求指数结构的复合函数求指数结构的复合函数 g x ya 的导数 用链式法则的导数 用链式法则 ln g x aa g x 例例 3 3 设3 x y 则y 2007年高数二 选选A A3l n 3 x B 3 l n 3 x C 3 l n 3 x D3l n 3 x 求复合函数求复合函数 g x ye 的导数 用链式法则的导数 用链式法则 g x eg x 例例 4 4 设 2x ye 则 1x y 2011年高数一 填填 2 2e 4 求对数结构的复合函数求对数结构的复合函数ln g x的导数 用链式法则的导数 用链式法则 1 g x g x 例例 5 5 设 ln 3 f xx 则 2 f 2013年高数二 选选C A6 Bln6 C 1 2 D 1 6 5 求三角结构的复合函数求三角结构的复合函数sin yg x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则cos g xg x 例例 6 6 设 sin2f xx 则 0 f 2005年高数一 选选D A2 B1 C0 D2 求复合函数求复合函数s yco g x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则sin g xg x 例例 7 7 设 cos2f xx 则 fx 2010年高数二 选选B A2 s i n 2x B2 s i n 2x Cs i n 2 x Ds i n 2 x 求复合函数求复合函数n ytag x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则 2 sec g xg x 例例 8 8 设设 2 tan2yxx 求 y 2003年高数一 答答 2 22 s e c 2xx yg x 1 2 yg x g x 20 6 求反三角结构的复合函数求反三角结构的复合函数arcsin g x的导数 用链式法则的导数 用链式法则 2 1 1 g x gx 求复合函数求复合函数arcs co g x的导数 用链式法则的导数 用链式法则 2 1 1 g x gx 求复合函数求复合函数arcn tag x的导数 用链式法则的导数 用链式法则 2 1 1 g x gx 例例 9 9 设设 1 arcn 1 x yta x 求 y 1996年高数二 答答 2 1 1x 题型四 考查是否会求初等函数的微分题型四 考查是否会求初等函数的微分 1 微分微分 函数 xfy 的微分 即导 函 数 y 或 x f 乘以自变量x的微分dx 记作dxydy 或dxxfxdf 2 凑微分凑微分 即微分的反向 函数的微分dy或 df x 即函数的导 函 数 y 或 x f 乘以自变量x的微分dx 即dyydx 或 df xfx dx 基本初等函数的微分 即微分的基本公式 如下基本初等函数的微分 即微分的基本公式 如下 基本幂函数的 1aa dxaxdx 1 1 nn n ddx xx 1 1 n nn dxdx n x 2 11 ddx xx 1 2 dxd x x 基本指数函数的ln xx daaadx xx dee dx 基本对数函数的 1 log ln a dxdx xa 1 lndxdx x 基本三角函数的sincosdxxdx 2 t a ns e cdxx d x s e cs e ct a ndxxx d x cossindxxdx 2 c o tc s cdxx d x c s cs e cc o tdxxx 基本反三角函数的 2 1 sin 1 darcxdx x 2 1 a r c c o s 1 dxd x x 21 2 1 arctan 1 dxdx x 2 1 c o t 1 d a r cxd x x 基本初等函数的凑微分如下基本初等函数的凑微分如下 基本幂函数的 1aa axdxdx 1 2 dxdx x 2 11 dxd xx 基本指数函数的ln xx aadxda xx e dxde 基本对数函数的 1 log ln a dxdx xa 1 lndxdx x 基本三角函数的cossinxdxdx 2 sectanxdxdx sec tansecxxdxdx sincosxdxdx 2 csccotxdxdx sec cotcscxxdx 基本反三角函数的 2 1 sin 1 dxdarcx x 2 1 arccos 1 dxdx x 2 1 arctan 1 dxdx x 2 1 cot 1 dxdarcx x 1 对六类复合函数分步求微分的链式法则 思路如下对六类复合函数分步求微分的链式法则 思路如下 1 a dyd g x 1 dyd g x 2 dydg x 1 a a g xdg x 2 1 dg x gx 1 2 dg x g x 1 a a g xg x dx 2 1 g x dx gx 1 2 g x dx g x 3 g x dyda g x dyde ln g x aa dg x g x edg x ln g x aa g x dx g x eg x dx 3 ln dydg x 4 sin dydg x 5 arcsin dydg x 22 1 dg x g x s co g x dg x 2 1 1 dg x gx 1 g x dx g x s co g x g x dx 2 1 1 g x dx gx 将六类结构的复合函数统一记作将六类结构的复合函数统一记作 yf g x 其两步微分的链式法则如下 其两步微分的链式法则如下 dydf g x fg xdg x fg xg x dx 注 计算时可一步完成 2 凑微分 即微分的反向凑微分 即微分的反向 六类复合函数的两步凑微分如下 1 1 a a g xg x dx 2 1 g x dx gx 2 1 2 g x dx g x 1 a a g xdg x 2 1 dg x gx 1 2 dg x g x a d g x 1 d g x dg x 3 ln g x aa g x dx g x eg x dx 4 1 g x dx g x ln g x aa dg x g x edg x 1 dg x g x g x da g x de ln dg x 5 s co g x g x dx 6 2 1 1 g x dx gx s co g x dg x 2 1 1 dg x gx sin dg x arcsin dg x 代表性试题代表性试题 共共 11 24 题题 23 1 基本函数的微分基本函数的微分 例例 1 1 设 y 5 x 则 dy 2006年高数一 填填dxx45 例例 2 2 设 y x 2 则 dy 2008年高数一 选选D Adxx x 2 Bdx x 1 2 Cdx x 2 Ddx x 2ln2 2 简单函数的微分简单函数的微分 1 和函数的微分和函数的微分 例例 3 3 设xycos1 则 dy 2011年高数二 选选C Adxx sin1 Bdxx cos1 Cxd xs in Dxd xs in 2 差函数的微分差函数的微分 例例 4 4 y x x 1 求dy 2005年高数一 答答dx x 1 1 2 3 积函数的微分积函数的微分 例例 5 5 设 yxx sin 4 求dy 2006年高数二 答答dxxxxx cossin4 43 4 商函数的微分商函数的微分 例例 6 6 设 y x x cos 3 求d y 2010年高数二 答答 23 2 3cossin cos xxxx dx x 3 复合函数的微分复合函数的微分 1 求复合函数求复合函数 a yg x 的微分 用链式法则的微分 用链式法则 1 a a g xg x dx 2 求复合函数求复合函数 yg x 的微分 用链式法则的微分 用链式法则 1 2 g x dx g x 例例 7 7 设 2 1yx 则dy 2001年高数二 答答 2 1 2 2 1 x dx x 3 求复合函数求复合函数 g x ye 的微分 用链式法则的微分 用链式法则 g x eg x dx 例例 8 8 设 sinx ye 求dy 2009年高数二 答答 s i nc o sx ex d x 24 4 求复合函数求复合函数ln yg x 的微分 用链式法则的微分 用链式法则 1 g x dx g x 例例 9 9 设 2 ln 1 yx 求dy 2012年高数二 答答 2 2 1 x dx x 5 求复合函数求复合函数sin yg x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则cos g xg x dx 例例 10 10 设设sinyx 则dy 2003年高数一 填填 1 c o s 2 xd x x 6 求复合函数求复合函数arctan yg x 的导数 用链式法则的导数 用链式法则 2 1 1 g x dx gx 例例 11 11 设设 2 arctanyx 求 求dy 2003年高数二 答答 4 2 1 x dx x 题型五 考查是否会求初等函数的高阶导题型五 考查是否会求初等函数的高阶导 函函 数数 称函数 xfy 的导 函 数 xfy 是 xfy 的一阶导 函 数 若 xfy 仍可导 其导 函 数可记作 xfy 或 2 2 dx yd 即 xfy 的二阶导 以此类推 xfy 的三阶导 可记作 xfy 将二阶以及二阶以上的各阶导数统称为 xfy 的高阶导 代表性试题代表性试题 共共 13 31 题题 1 二阶导数的二阶导数的 1 基本函数的二阶导基本函数的二阶导 例例 1 1 设 x ey 则 y 2006年高数一 填填 x e 例例 2 2 设xyln 则 y 2007年高数一 选选D A x 1 B 2 1 x C x 1 D 2 1 x 例例 3 3 设xysin 则 y 2011年高数一 选选A Axsin Bxs in Cxco s Dxco s 25 2 简单函数的二阶导简单函数的二阶导 例例 4 4 设 3 2yx 则y 2012年高数一 填填6x 例例 5 5 设xxysin 则 y 2009 年高数二 填填xxxs inco s2 例例 6 6 设 ln x y x 求 y 1997年高数二 答答 3 2ln ln x xx 3 复合初等函数的二阶导复合初等函数的二阶导 例例 7 7 设 2x ye 则 0 y 2005年高数二 填填 4 例例 8 8 设sin2yx 则y 2006年高数二 填填4sin2x 例例 9 9 设ln 1 yx 则y 2010年高数二 答答 2 1 1 x 2 三阶导数三阶导数 1 基本函数的三阶导基本函数的三阶导 例例 10 10 设xysin 则 y 2011年高数二 填填xcos 2 复合函数的三阶导复合函数的三阶导 例例 11 11 设设 x ye 则y 2007年高数二 填填 x e 3 50 阶导数阶导数 例例 12 12 设函数 22x yxe 则 50 y 2003 年高数二 填填 250 2 x e 4 n阶导数阶导数 例例 13 13 设设 5x ye 则 n y 2003年高数一 填填 5 5 xn e 第第 2 节节 导数的应用导数的应用 共 24 67 题 题型一 考查是否会用罗比达法则 确定除商型未定式的极限题型一 考查是否会用罗比达法则 确定除商型未定式的极限 26 1 1 未定式未定式 若 0limg x 0 lim 且xf 或 limg x lim且xf 则称 g x f x lim为 0 0 或 型的未定式 2 洛比达法则洛比达法则 对 0 0 或 型的未定式 g x f x lim 若 xf与 xg均可导且 x g x f lim x g x f lim 存在 则 g x f x lim x g x f lim A 或 g x f x lim x g x f lim x g x f lim A 代表性试题代表性试题 共共 6 18 题题 1 1 对对 0 0 型的未定式确定极限型的未定式确定极限 1 代数代数式的式的 例例 1 1 xx xx x 3 34 lim 2 2 3 2009年高数二 填填 3 2 例例 2 2 求 x x x 11 lim 2 0 2007年高数一 答答 0 1 超越超越式的式的 例例 3 3 求 2 0 1 lim x x xe x 2004年高数二 答答 2 1 例例 4 4 求 1 ln lim 1 x x x 2007年高数二 答答 0 例例 5 5 求 2 0 lim 1 cos x x x 2011年高数一 答答 2 2 对对 型的未定式确定极限型的未定式确定极限 例例 6 6 43 12 lim x x x 2008年高数二 选选C A 1 4 B0 C 2 3 D1 27 题型二 考查是否理解导数的几何意义 题型二 考查是否理解导数的几何意义 是否会用函数的导数确定函数图形是否会用函数的导数确定函数图形 曲线曲线 的切线斜率 切线方程的切线斜率 切线方程 1 导数的几何意义导数的几何意义 函数 xf在点 0 x的导数 0 x f 即过曲线 xfy 上点 00 yx处的切线斜率 2 据过点 00 yx并且斜率为的直线方程 可用点斜式表示 可知过曲线 xfy 上点 00 yx的切线方程 可用点斜式 000 xxxfyy 表示 代表性试题代表性试题 共共 2 19 题题 1 确定曲线的切线斜率的确定曲线的切线斜率的 例例 1 1 曲线2 1 yx 在点 1 0 处