2018-2019学年高中数学专题04函数的概念及表示庖丁解题新人教A版.docx

专题04 函数的概念及表示考点12函数的概念考点13函数的表示法考点14分段函数考点15函数的定义域及其求法考点16函数的值域考点17求函数的解析式考点18映射考点12 函数的概念1函数:(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)值域是集合B的子集2区间的概念（a，bR，且ab）定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|af（3）的x的值为_x123f（x）231【答案】（1）D（2）3或1【解题必备】解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性三种表示方法的优缺点比较：优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大1一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：每间房定价100元90元80元60元住房率65%75%85%95%要使每天的收入最高，每间房的定价应为A100元B90元C80元D60元【答案】C2某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了akm，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了bkm(b0)By100x(x0)Cy(x0)Dy(x0)【答案】C【解析】由y100，得2xy100即y(x0)【易错易混】利用函数解决实际问题时，注意函数的定义域要使实际问题有意义。6已知f（x1）x2，则f（x）的解析式为Af（x）x22x1Bf（x）x22x1Cf（x）x22x1Df（x）x22x1【答案】A7已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x3，求f(x)的解析式【解析】设f(x)axb(a0)，f(f(x)af(x)ba(axb)ba2xabBa2xabb4x3或f(x)2x1或f(x)2x31用区间表示集合x|x1且x2=。【答案】（1，2）（2，+）【解析】集合x|x1且x2用区间表示为：（1，2）（2，+）故答案为：（1，2）（2，+）2已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为AyxByxCyxDyx【答案】C【解析】正方形边长为，而（2y）2（）2（）2，y2yx3某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升【答案】8【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量486=84已知函数f(x1)=x24x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式做账首先要规定数额为正即为借入，数额为负即为贷出，在数额单元格显示可以用条件格式实现，若想在另一栏显示则可用用函数实现。使用条件格式：选中金额位置的一个单元格，格式条件格式弹出对话框数值大于0填充绿色，增加条件，数值小于0填充红色。用格式刷填充其他位置的单元格，OK！使用函数：若金额的列在EXCEL中为H列，在G列显示“借入”或“贷出”，则可以在G2单元格输入条件函数=if(H2=0,借入,贷出)，将G2单元格向下复制填充，OK！ 考点14 分段函数分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象【例】已知，则=_【名师点睛】解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算本题中，且对应的解析式是，所以要通过这个式子把自变量的值转化到，从而利用对应的解析式求解作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏【解题必备】（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集1已知函数，则f(3)的值是A1B2C8D9【答案】A【解析】依题意，得f(3)3212已知，则f（3）为A2B3C4D5【解题技巧】分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论3f（x）|x1|的图象是【答案】B【解析】，当x1时，f（1）0可排除A，C又x1时，f（1）2，排除D【规律总结】解决此类问题的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用一些特殊的点，采用排除法确定函数的图象若解析式中含有参数，关键有两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图象中的体现；二是由已知函数图象得到相关信息，由此确定解析式中参数的取值4已知函数，使函数值为5的x的值是A2B2或C2或2D2或2或5设则f（g（）的值为A1B0C1D【答案】B【解析】由题设，g（）0，f（g（）f（0）0【思路分析】（1）明确分段函数和复合函数的意义是解本题的关键，而fg(x)的意义是以g(x)为自变量的函数解析式（2）求分段函数的函数值的关键是看自变量在哪个范围内，然后再“分段归类”6已知函数若f(f(0)4a，则实数a_【答案】2【解析】依题意，得f(0)3022，则f(f(0)f(2)42a，所以42a4a，解得a27已知直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，求a的取值范围【解析】yx2|x|a如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yx2|x|a，观图可知，a的取值必须满足，解得1a1下列表示函数yf（x），则f（11）x0x55x1010x1515x20y2345A2B3C4D5【答案】C【解析】由表可知f（11）42函数y|x22x|的图象是图中的【答案】B【解析】因为所以所求的图象为B选项3设f(x)则f(5)的值是A24B21C18D16【答案】A【解析】f(5)f（f(10)），f(10)f（f(15)）f(18)21，f(5)f(21)244已知函数(1)试比较f(f(3)与f(f(3)的大小；(2)画出函数f(x)的图象；(3)若f(x)1，求x的值(2)函数图象如图实线部分所示(3)由f(x)1和函数图象综合判断，可知在(，1)上，由f(x)2x11，解得x0；在1，)上，由f(x)x22x1，解得x1或x1(舍去)于是x的值为0或1函数知识记忆口诀函数新概念，记忆要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见 考点15 函数的定义域及其求法1函数的定义域是指使式子有意义的所有实数x的集合，在实际问题中，还应当注意实际意义2在求解较为复杂函数的定义域时，如一个函数是由两个或两个以上的数学式子的和、差、积、商构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合【例】函数的定义域是ABCD【名师点睛】对于，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x的取值范围求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；要求x0等（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围（4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围注意：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解1函数y的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1【答案】D【解析】由题意可知解得0x12函数f(x)的定义域为。ARB(1，4)C(1，3)D3函数f(x)的定义域为A(3,5)B(3,5C3,5)D3,5【答案】C【解析】要使函数f(x)有意义，需满足，解得3x5，所以函数f(x)的定义域为3,5)故选C解得故选D【解题技巧】函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴4已知函数的定义域是ABCDR【解题规律】函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求5函数的定义域为Ax|x1Bx|x1或x0Cx|x0Dx|x0【答案】B【解析】由题意得|x|(x1)0，x10或|x|0x1或x06若函数的定义域是，则函数的定义域是ABCD【答案】C【解析】根据题意有：，所以，所以定义域为故选C【易错易混】中的范围与中的范围相同。定义域指的都是最终的范围，而不是的范围。7若f(x)的定义域为3,5，求(x)f(x)f(x)的定义域【解析】由f(x)的定义域为3,5，得(x)的定义域需满足即解得3x3所以函数(x)的定义域为3,31已知函数f（x）的定义域为（1,1），则函数g（x）ff（x1）的定义域是_2函数f(x)的定义域为_【答案】(0,2)【解析】要使函数f(x)有意义，需满足解得x0矛盾，故选A7已知函数f(x)是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f(3)14，f()85，求f(x)的解析式【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，则由题意，得解得所以f(x)3x25x28已知，求【名师点睛】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数（2）已知f（g（x）=h（x），求f（x），常用的有两种方法：换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；配凑法，即从f（g（x）的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定（3）已知f（x）与f（g（x）满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x）的方程组，消去f（g（x）解出f（x）即可常见的有f（x）与f （x），f（x）与（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定1已知函数f(x)=|x+1|+|x1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)【答案】B【解析】因为f(a)=|a+1|+|a1|=|a+1|+|a1|=f(a)故选B【解题技巧】直接带入验证。2若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x，则f(2)的值为A1B1CD3设xR，定义符号函数sgnx则A|x|x|sgnx|B|x|xsgn|x|C|x|x|sgnxD|x|xsgnx【答案】D【解析】对于选项A，右边x|sgnx|而左边|x|显然不正确；对于选项B，右边xsgn|x|而左边|x|显然不正确；对于选项C，右边|x|sgnx，而左边|x|显然不正确；对于选项D，右边xsgnx而左边|x|显然正确故应选D4(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x3)f(x2)2x21，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)4x，求f(x)的解析式【答案】（1）f(x)2x5；（2）f(x)2x22x1【解析】(1)设f(x)axb(a0)，则2f(x3)f(x2)2a(x3)ba(x2)b2ax6a2bax2abax8ab2x21，所以a2，b5，所以f(x)2x5【解题技巧】待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法康托尔自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了中文数学书上使用的“函数”一词是转译词是我国清代数学家李善兰在翻译代数学一书时，把“function”译成函数 考点18 映射1映射：设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于A中每一个元素x，在B中都有唯一的一个元素y与它对应，那么就称这种对应为从A到B的映射，记作f:B2象与原象：（1）对于映射：AB，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象。所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合（集合B中可以有些元素不是象)（2）映射只要求“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应”。【例】给出下列两个集合间的对应：（1）A你班的同学，B体重，f：每个同学对应自己的体重；（2），f：n2m；（3）XR，Y非负实数，f：yx4其中是映射的有_个，是函数的有_个【答案】3，2【名师点睛】映射与函数的区别与联系：（1）映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射（2）函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一定是函数，因为A，B不一定是数集【解题必备】判断一个对应是不是映射，关键有两点：（1）对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应；（2）B中的对应元素是不是唯一的对于一一映射f：AB，应满足：（1）A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应；（2）A中的不同元素对应B中的元素也不同；（3）B中每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应【知识提升】对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的 （3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”1设集合Ax0x6，By0y2，从A到B的对应法则f不是映射的是Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xyx【答案】A【解析】对A,当时，而故选A【方法技巧】判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义判断方法为：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可2给出下列四个对应，其中构成映射的是A（1）（2）B（1）（4）C（1）（3）（4）D（3）（4）【答案】D【解析】根据映射的概念知，原象一定有唯一象，故（1）、（2）错，像不一定有原象，允许有相同的象，【易错易混】映射只要求一个原象对应一个象，并没有要求一个象对应一个原象。而且每一个原象都要找到对应的象。3若能构成映射，下列说法正确的有A中的任一元素在B中必须有像且唯一；B中的多个元素可以在A中有相同的原像；B中的元素可以在A中无原像；像的集合就是集合BA1个B2个C3个D4个4已知集合A到B的映射，那么集合B中象在A中对应的原象是A0BCD【答案】D【解析】因为集合A到B的映射，在集合B中，所以,解得，故答案为D5设集合Aa，b，B0,1，从A到B的映射的个数是A2B3C4D5【答案】C【解析】如图：【规律总结】一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从AB共有nm个不同的映射。6设a，b为实数，集合M，Na，b，ba，映射f：xx表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab_【答案】17已知(x，y)在映射f的作用下的象是(xy，xy)，求：(1)(3,4)的象；(2)(1，6)的原象【解析】(1)x3，y4，xy7，xy12(3,4)的象为(7,12)(2)设(1，6)的原象为(x，y)，则有解得或故(1，6)的原象为(2,3)或(3，2)1设f：xx2是集合A到集合B的映射，如果B1,2，则AB一定是AB或1C1D【答案】B【解析】由题意可知，集合A中可能含有