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行列式 矩阵复习提纲 一 行列式的概念 1 二阶行列式 二阶行列式是特定算式的一种记法 即 bcad dc ba bdac 如记号叫做一个二阶行列式 它的展开式为 nm yx ymxn 即 对角线法则 ymxn nm yx 它用于解二元一次方程组 222 111 cybxa cybxa 系数行列式 22 11 ba ba D 22 11 bc bc Dx 22 11 ca ca Dy 若 则方程组有唯一解 0 D 222 111 cybxa cybxa D D y D D x y x 若 且中至少有一个不为零 则方程组无解 0 D yx DD 222 111 cybxa cybxa 若 则方程组有无穷所组解 此时两个方程其实就是一个方程 它的解可0 yx DDD 以借助一个参数 来表示 t 例题 例 1 函数的定义域是 12 1 lg x x xf 例2 解不等式的最大值是 或 0 32 1 x x 1 x3 x 例 3 直线的倾斜角 0 32 1 y x 3arctan 2 三阶行列式 三阶行列式是在二阶行列式的基础上 由两行两列拓展出来的 它保持了行数和列数相等 的特点 用九个数摆成三行三列这样一个方阵 pnm zyx cba 本教材用带单下标的符号表示 这样可以形象的反映它所在行和列的位置 kii cba 333 222 111 cba cba cba 它的展开式依然按对角线展开 231312123213132321 333 222 111 cbacbacbacbacbacba cba cba cba 例题 1 若行列式 则的值为 0 111 10 102 mm 2 1 例题 2 计算 2155 273 161 225 213 111 9 三阶行列式的运用 1 可求三角形面积 S 在直角坐标系内 若的三个顶点为ABC 332211 yxCyxByxA 那么 要带绝对值的 教材里是 如图 所指定的的摆放 1 1 1 2 1 33 22 11 yx yx yx S ABC CBA 2 可证明三点共线 在直角坐标系内 若 那么三点 共线的充要 332211 yxCyxByxACBA 条件是0 1 1 1 33 22 11 yx yx yx 3 可以用来解三元一次方程组 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa 系数行列式和 333 222 111 cba cba cba D 333 222 111 cbd cbd cbd Dx 333 222 111 cda cda cda Dy 333 222 111 dba dba dba Dz 若 则方程组有唯一解 0 D 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa D D z D D y D D x z y x 若 且中至少有一个不为零 则方程组无解 0 D zyx DDD 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa 若 则方程组有无穷多组解 这时的情况有点复杂 有时侯其实是一0 zyx DDDD 个方程 也有时其实是两个方程 教材这里不要求了 我们只要知道原方程组有无穷多组解就 好了 例题 例 1 已知不重合的三点 11 yxA 22 yxB 33 yxC 1 求顶点为 的的面积 5 3 A 2 1 B 1 4 CABC 2 说明的几何意义 0 1 1 1 33 22 11 yx yx yx 3 若定点 不重合 动点满足 求动点 11 yxA 22 yxB yxP0 1 1 1 22 11 yx yx yx 的轨迹方程 P 解 1 2 31 2 三点 共线 11 yxA 22 yxB 33 yxC 3 过 两点的直线 方程为AB0 121112 yyxxxxyy 已知数列是首项为 公差的等差数列 则方程组解的情 n a 1 a0 d 1211109 8765 4321 azayaxa azayaxa azayaxa 况必为 C A 惟一解 B 无解 C 无穷多解 D 以上均有可能 3 三阶行列式转化为二阶行列式 余子式 代数余子式 按某行或某列展开 三阶行列式中 元素的余子式是划去所在的行和列 剩下的元素保持原 333 222 111 cba cba cba xx 来的位置关系而组成的一个二阶行列式 如元素的余子式是 元素的余子式是 2 b 33 11 ca ca 2 a 33 11 cb cb 把余子式添上相应的符号 正号省略 叫做代数余子式 如元素的代数余子式是 2 b 元素的代数余子式是 33 11 ca ca 2 a 33 11 cb cb 三阶行列式按第三列展开 333 222 111 cba cba cba 22 11 3 33 11 2 33 22 1 333 222 111 ba ba c ba ba c ba ba c cba cba cba 例题 例 1 把表示成三阶行列式的形式 答案不唯一 22 11 33 11 33 22 yx yx yx yx yx yx 33 22 11 1 1 1 yx yx yx 例 2 行列式中元素的代数余子式是 ihg fed cba f hg ba 例 3 把表示成一个三阶行列式 64 31 7 92 31 5 92 64 2 927 645 312 二 矩阵的概念 将个数写成行 列的一个矩形数表 如叫做一个nm mn mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 321 3333231 2232221 1131211 阶矩阵 矩阵中的每一行都是矩阵的一个行向量 每一列都是矩阵的一个列向量 nm 1 矩阵变换 1 互换矩阵的两行 2 把某一行同乘 或除 以一个非零的数 3 某一行乘以一个数加到另一行 2 运用矩阵变换解二元一次方程组 222 111 cybxa cybxa 叫做方程组的增广矩阵 叫做方程组 222 111 cba cba 222 111 cybxa cybxa 22 11 ba ba 的系数矩阵 解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素 222 111 cybxa cybxa 都是 1 其余元素为 0 的矩阵 在系数矩阵变化的过程中 增广矩阵随之变化 最后 10 01 增广矩阵的最后一列给出的就是方程组的解 222 111 cybxa cybxa 例题 用矩阵变换解二元一次方程组 答案 83 052 yx yx 1 3 y x 3 矩阵的运算 1 两个阶矩阵可以进行加法 减法运算 nm ydxa nbma yx nm dc ba 2 实数与矩阵的乘法 k kdkc kbka dc ba k 3 矩阵的乘法 dzcpdycndxmc bzapbyanbxma zyx pnm dc ba 例题 例 1 已知矩阵 求矩阵 使得 412 503 A 122 112 BXBXA 32 解 设 则 232221 131211 aaa aaa XB aaa aaa XA 232221 131211 3 412 503 232 即 解得 122 112 383234 310336 232221 131211 aaa aaa 3 7 02 3 3 1 3 8 X 例 2 探索矩阵乘法的交换率 1 已知 计算 并观察二者的关系 35 12 A 25 13 BABBA 2 已知 其中 矩阵满足 求矩阵 dc ba A0 bcadB 10 01 ABB 3 已知 若 求 54 43 A 23 12 BBAX AYB XY 解 1 10 01 BAAB 2 设 则 由矩阵相等得 vu yx B 10 01 dvcyducx bvaybuax vu yx dc ba AB 记 4 1 3 0 2 0 1 1 dvcx ducx bvay buax avbcadca bybcadbd cubcadca dxbcadbd 2 4 4 2 1 3 3 1 bcad 则当时 从而 0 a v c u b y d x ac bd vu yx B 1 当时 满足条件的矩阵不存在 0 0 vuyxB 如已知 则 也可以 52 31 A 12 35 1 AB 1210 3501 1052 0131 3 34 45 1 A 23 12 1 B 1017 1322 1B AX 1423 1118 1 ABY 例 3 探讨矩阵和行列式运算的异同 1 计算 计算 计算 从中 43 21 43 21 43 21 43 21 43 21 43 21 你能发现两者的异同吗 2 两个行列式之间相乘可以按照矩阵乘法法则进行吗 说明你的结论 3 求证 222222 adbcbdacdcba 解 1 行列式的加减法可以对某一行 00 00 4 0 443 221 43 21 43 21 列 进行 422 311 42 31 22 11 bba bba ba ba ba ba 2 可以 用二阶行列式证明 3 2222 dcba cd dc ab ba acbdadbc bcadbdac cd dc ab ba 22 adbcbdac 例 4 把一个矩阵 A