线性代数讲义(第三章).ppt

第三章n维向量空间 n维向量的定义n维向量的线性运算向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量空间习题课 第一节n维向量的定义 一 n维向量的概念 二 n维向量的表示方法 三 向量空间 定义1 分量全为复数的向量称为复向量 分量全为实数的向量称为实向量 一 维向量的概念 例如 二 维向量的表示方法 维向量写成一行 称为行向量 也就是行矩阵 通常用等表示 如 维向量写成一列 称为列向量 也就是列矩阵 通常用等表示 如 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 当没有明确说明是行向量还是列向量时 都当作列向量 叫做维向量空间 时 维向量没有直观的几何形象 三 向量空间 第二节向量组的线性相关性 一 向量 向量组与矩阵 二 线性相关性的概念 三 线性相关性的判定 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 一 向量 向量组与矩阵 向量组 称为矩阵A的行向量组 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 定义 线性组合 二 线性相关性的概念 向量能由向量组线性表示 定义 注 等价的向量组具有性质 1 反身性 一个向量组与其自身等价 2 对称性 3 传递性 注意 定义 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 定理向量组 当时 线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 证明 充分性 设中有一个向量 比如 能由其余向量线性表示 即有 三 线性相关性的判定 故 因这个数不全为0 故线性相关 必要性 设线性相关 则有不全为0的数使 因中至少有一个不为0 不妨设则有 即能由其余向量线性表示 证毕 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用 证明 略 解 例 解 例 分析 证 注意 第三节向量组的极大线性无关组 一 最大线性无关向量组 二 矩阵与向量组秩的关系 定义 一 最大线性无关向量组 注 定理2 二 矩阵与向量组秩的关系 定理 推论 事实上 练习 第四节向量空间 一 向量空间的概念 二 子空间 三 向量空间的基与维数 四 空间向量的坐标 五 基变换与坐标变换 不做要求 说明 2 维向量的集合是一个向量空间 记作 一 向量空间的概念 定义1设为维向量的集合 如果集合非空 且集合对于加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合为向量空间 1 集合对于加法及乘数两种运算封闭指 例2判别下列集合是否为向量空间 解 解 定义2设有向量空间及 若向量空间 就说是的子空间 实例 二 子空间 设是由维向量所组成的向量空间 三 向量空间的基与维数 定义3设是向量空间 如果个向量 且满足 1 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间 因此它没有基 说明 3 若向量组是向量空间的一个基 则可表示为 2 若把向量空间看作向量组 那末的基就是向量组的最大无关组 的维数就是向量组的秩 四 空间向量的坐标 定义4 五 基变换与坐标变换 不做要求 那么 同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢 换句话说 随着基的改变 向量的坐标如何改变呢 问题 在维线性空间中 任意个线性无关的向量都可以作为的一组基 对于不同的基 同一个向量的坐标是不同的 称此公式为基变换公式 由于 矩阵称为由基到基的过渡矩阵 过渡矩阵是可逆的 若两个基满足关系式 二 坐标变换公式 则有坐标变换公式 或 证明 第五节欧氏空间 不做要求 一 内积的定义及性质 二 向量的长度及性质 三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵与正交变换 定义1 内积 一 内积的定义及性质 说明 1维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 内积的运算性质 定义2 令 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 解 单位向量 夹角 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 三 正交向量组的概念及求法 证明 正交向量组的性质 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 解 规范正交基 例如 同理可知 1 正交化 取 求规范正交基的方法 2 单位化 取 解先正交化 取 施密特正交化过程 再单位化 得规范正交向量组如下 例 解 再把它们单位化 取 例 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 证明 定义4 定理 四 正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 性质正交变换保持向量的长度不变 证明 例 判别下列矩阵是否为正交阵 定义5若为正交阵 则线性变换称为正交变换 解 所以它不是