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文档简介

2数集 确界原理 一 有界集 二 确界 三 确界的存在性定理 四 非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性 是本章学习的重点与难点 返回 记号与术语 一 有界集 定义1 因此S无上界 例1 例2 证 二 确界 定义2 若数集S有上界 则必有无穷多个上界 而其 中最小的一个具有重要的作用 最小的上界称为 上确界 同样 若S有下界 则最大的下界称为下 确界 注2 注1条件 i 说明是的一个上界 条件 ii 说明 比小的数都不是的上界 从而是最小的上 界 即上确界是最小的上界 定义3 注2 证先证supS 1 例2 以下确界原理也可作公理 不予证明 虽然我们定义了上确界 但并没有证明上确界的 存在性 这是由于上界集是无限集 而无限数集 不一定有最小值 例如 0 无最小值 三 确界存在性定理 证法一设S是有上界的非空集合 为叙述方便起 见 不妨设S含有非负数 定理1 1 确界原理 证明分以下四步 1 S是有上界的集合 从而S 也是有上界的集合 是正规小数表示 证法二不妨设 事实上 例3 证明 数集A有上确界 数集B有下确界 由定义 上确界supA是最小的上界 因此 任意 一数x都是B的下界 因此由确界原理 A有上确 界 B有下确界 例4 y B supA y 这样 supA又是B的一个下界 而infB是最大的下界 因此supA infB 于是 且 因此 因此 这就证明了 四 非正常确界 2 推广的确界原理 非空数集必有上 下确界 例2设数集 求证 证设 于是 2 1 数集S有上界 则S的所有上
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