信号讲义(8章).ppt

第八章系统的状态变量分析法 引言1 状态 动态系统t0时刻的状态是描述系统的最少的一组数 变量值 它和t t0的输入一起决定系统t t0的响应 2 状态变量 表示系统状态的变量 3 状态变量分析法的优点 1 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化 从而便于研究其变化规律和检查物理系统的数学模型是否正确 2 适用于多输入和多输出系统 3 能较方便地扩展到时变系统和非线性系统 4 怎样控制系统内各个参数使系统性能达到最佳 状态变量可作为这些关键性参数来进行研究5 状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程 便于计算机求解 4 状态矢量 个状态变量组成的 维矢量 5 状态空间 状态矢量所在的空间 6 状态轨迹 状态空间中状态矢量的端点随时间变化而描出的轨迹 状态轨迹 本章重点 1 连续系统状态方程的建立和求解 2 离散系统状态方程的建立和求解 8 1状态方程的建立 一 连续系统状态方程的形式 状态方程 n阶系统有n个状态变量 设系统输入有m个 输出有r个 输出方程 矩阵标准型 状态方程 输出方程 在连续系统中 常用积分器的输出作为状态变量 电路中常用VC和iL为状态变量 离散系统中常用延时器输出为状态变量 二 连续系统状态方程的建立 1 从微分方程到状态方程 1 直接形式 2 并联形式 3 级联形式 共同点 在模拟框图和信号流图中 选积分器的输出为状态变量 b 微分方程 系统函数 流图 或框图 状态方程 a 微分方程 状态方程 设 a 微分方程 状态方程 则状态方程 则输出方程 b 微分方程 系统函数 流图 或框图 状态方程 微分方程 1 直接形式 选积分器的输出为状态变量 xnxn 1xm 1x3x2x1 状态方程 输出方程 状态方程的矩阵形式 A B C 当m n时 输出方程 状态方程不变 输出方程 加1后 选积分器的输出为状态变量 微分方程 Y s x1 x2 状态方程 状态方程的矩阵形式 A B C 当m n时 选积分器的输出为状态变量 1 b0 b2 b1 bn a0 an 1 an 2 am a2 a1 E s 1 xn Y s bn 1 输出方程 x1 状态方程 称为Kalman形式2 Ex 1写出系统的状态方程 解 Ex 2写出系统的状态方程 解 2 并联形式 并联型的状态方程一般形式 A为对角阵 当 为重根时 矩阵出现 约当块 1 sx1 21 16E s 11 sX21Y s 315 14121 s11 s11 sX3 1 1 1 Ex 3 约当块 Ex 4 写出系统的状态方程 解 3 级联形式 选独立的电容电压 独立的电感电流为状态变量 依据KCL KVL列方程 并整理成标准形式 2 从电路得状态方程 电路如图 列写状态方程 Ex EX 列状态方程和输出方程 EX 列状态方程和输出方程 Ex 图示系统 列写状态方程和输出方程 三 离散系统的状态方程和输出方程 阶系统 个输出 个输入 状态方程 输出方程 它同样可以写成矩阵形式 Ex 图示系统 列写状态方程和输出方程 1 2 Ex 图示系统 列写状态方程和输出方程 8 2状态方程的时域解 一 状态转移矩阵 1 定义 状态转移矩阵 2 状态转移矩阵的性质 二 状态方程的时域解 两边同时左乘 并移项 得 两边从0 到t积分得 所以得 1 求零输入响应 解的形式为 当t0 0时 2 零状态响应 3 全响应 当t0 0时 4 输出 输出方程的零输入响应 输出方程的零状态响应为 定义系统的冲激响应矩阵为 系统输出的完全响应 当t0 0时 三 求状态转移矩阵 1 用定义 2 用有限幂级数求解TheCayley HamiltonTheorem 卡雷 哈密尔顿定理 定义矩阵特征多项式 特征方程 它的根 i称为矩阵 的特征值 特征根 且特征多项式可写为 定理一 任何方阵 都满足其本身的特征多项式 即 定理二 f A 是n阶方阵 的函数 则f A 可以写为 求出系数 i 代入上式 即可求出状态转移矩阵 在系数完全相等的情况下 特征根也满足上式 定理的应用 当特征值为单根 当特征值为重根 1为m阶重根 3 求出系数 i代入下式 可求出状态转移矩阵 2 由下式求Ci 1 由此式求根 i Ex 1 求状态转移矩阵 解 求特征值 得方程 解得 Ex 2 求状态转移矩阵 解 求特征值 得方程 解得 状态转移矩阵为 Ex 3电路如图 求电容电压和电感电流的单位阶跃响应 解 1 列方程 2 求状态转移矩阵 解得 3 求阶跃响应 已知矩阵A t 零输入响应和零状态响应 已知 t A EX 8 3状态方程的频域解 对状态方程两边同时进行Laplace变换 有 移项整理得 解得 逆变换可解得状态变量 与前面时域解比较 对状态转移矩阵有 在频域 系统的输出为 总结 其中 零状态响应为 根据系统函数的定义 系统函数矩阵定义为 反变换得冲激响应矩阵 连续系统的稳定性 转移函数分母的特征多项式为 该方程的根在S平面上的位置决定了系统的稳定性 根在左半平面系统稳定 Ex 电路如图 求电容电压和电感电流为输出的 H s h t 和 g t 解 1 列方程 2 求状态转移矩阵 3 求传输函数矩阵 H s C 为单位阵 D 0 4 求冲激响应矩阵 h t 5 求阶跃响应 g t 8 4离散状态方程的解 一 时域解的一般形式 怎么求 二 状态转移矩阵 求法 k阶系统 单根时 定出系数 求出状态转移矩阵 重根时 1为m阶重根 Ex 1 求状态转移矩阵 解 求特征值 得方程 解得 Ex 2图示系统 列写状态方程和输出方程并求解 x k u k 1 2 解 2 求状态转移矩阵 得方程 解得 3 总结 三 状态方程的频域解 方程两边同时取 变换 状态转移矩阵 注意 四 传输函数矩阵和单位样值响应矩阵 离散系统的稳定性 转移函数分母的特征多项式为 该方程的根在Z平面上的位置决定了系统的稳定性 根在单位圆内系统稳定 Ex 2图示系统 求状态转移矩阵 传输函数矩阵和全响应 x k u k 1 2 解 零输入响应 零状态响应 全响应 输出的全响应 Ex 2已知状态方程和输出方程如下 1 求传输函数矩阵 2 求零状态响应 解 1 求传输函数矩阵 2 求零状态响应 状态矢量的线性变换 注意 1 A 的对角化 2 转移函数矩阵在线性变换下是不变的 系统的可控性和可观性 可控性 当系统用状态方程描述时 给定系统的任意初始状态 可以找到容许的输入量 即控制矢量 在有限时间内把系统的所有状态引向状态空间的原点 即