以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究.pdf

颖试题 2 0 1 4 年4 月 以 共顶正方形 为模型的中考试题及变式探究 一 基本模型 宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校张 宁 例1 2 0 0 8 年广东省初中数学 竞赛 如图l 正方形A 曰c D 的边长为 2 点E 在边A B 上 四边形E 彤B 也是正F 方形 设 A 粥的面积为 s 则 A s 2B s 2 4 訇l C 5 4D s 与B E 的长度有关 解析 设正方形口E 彤的边长为o 则A 肚2 吨 c G 2 忆 s S 4 脱 S 正方形眈F g S 纠旷J s c G F j 一 2 2 矛 L n 2 一口 一j 一口 2 口 222 2 口z 口一 上n z 一口一j 一 2 2 22 点评 本题以两个具有一个公共顶点的正方形为基 本模型 主要考查了正方形的性质 三角形面积的求法等 知识 由于 A F c 的面积不易直接求得 故采用间接求法 利用某些特殊图形的面积来表示 A 彤的面积 这种方 法是求不特殊图形的面积的一种重要方法 在表示 A 用 的面积的过程中 还需要有正方形曰E 彤的边长 因而这 里又体现了 设而不求 的解题方法 从解题过程来看 4 彤的面积与正方形E 彤曰的边长无关 本例中所涉及 的几何图形简洁优美 内涵丰富 不妨称之为 共项正方 形 即有公共顶点的正方形称之为 共顶正方形 二 以 共顶正方形 为模型的中考试题 1 以 共顶正方形 为模型 求阴影部分的面积 例2 2 0 1 2 年湖北潜江市 如 图2 线段AC 几 l 其中n 为正整 数 点B 在线黝c 上 在线段A c 同 侧作正方形AB 肘 及正方形B C E E 连接A M 伽 E A 得到 A M E 当 A B 1 时 A 枷的面积记为S 当 中 敷 初中版 图2 A 日 2 时 A 循的面积记为J s 当A 日 3 时 A 伽的面积 记为5 3 当A B 矶时 A M E 的面积记为S 当n 2 时 s 广 S 4 解析 设正方形A B 删的边长为m 则C E B C A C A B n 1 一m 所以S 出 伍 J s 梯形睨日一 s 出旷J s 出凹 m 肼1 一m 肿1 一m m 2 肘1 肿1 一m n 1 n 1 一m m z 吉 n 1 肼1 一m 222 上m j 2 由此可知 当A B 勘一1 时 A 伽的面积s 一 士 n 1 当A 日 n 时 A 船的面积s 喜凡j 所以踣s F 丢n 2 几一1 2 n 一吉 点评 本题以 共顶正方形 为模型 以规律探索的 形式考查了图形面积的求法 设出正方形A 曰 州的边长 并以正方形A B M N 的迦畏表示梯彤B C E M A B M A 蚀等特殊图形的面积是解决问题的关键 最后用这 些特殊图形的面积来表示 A 肘E 的面积 从求解过程可 以看出 阴影部分的面积只与 A B M 的面积有关 即与 正方形A B 肘 的边长有关 本题所用的解题方法与例l 基本相同 2 以 共顶正方形 为模型 判断角的大小关系 例3 2 0 1 3 年台湾省 如图3 四边形A 日c D A E 粥均为正方形 其 中赃B C 上 且B E 两点不重合 并连 接B G 根据图中标示的角 有下列关一l 于 1 二2 3 4 的大小关系的判 断 其中正确的是 A 1 2 C 3 2 D 二3 4 E C 图3 万方数据 2 0 1 4 年4 月 解析 因为四边形A B C D A 肼I G 均为正方形 所以 Z M D E AG 9 0o 因为 鲋D 1 D A E 9 0 0 鲋C 2 D A E 9 0 0 所以 1 2 因为 A 明是直角三角形 所以A E 财B 因为四边形A 朋G 是正方形 所以A E A G 所以A G A B 所以 3 4 故选D 点评 本题以 共顶正方形 为模型 主要考查正方 形的性质 正方形的四条边都相等 每一个角都是直角 同角的余角相等 在同一个三角形中 较长的边所对的 角大于较短的边所对的角 在解题过程中将边的大小关 系转化为角之间的大小关系是解决问题的关键 3 以 共顶正方形 为模型 考查综合运用所学知识 推理论证的能力 这类试题以 共顶正方形 为模型 涉及的知识点有 线段的相等关系或位置关系 角的相等关系 全等三角 形的性质和判定 正方形的性质 勾股定理等 突出数学 知识的整体性 主要考查综合运用所学知识推理论证的 能力 例4 2 0 1 3 年辽宁营口 如图 4 A B C 为等腰直角三角形 厶4C B 9 0 0 f j 毛AC 边上的一个动点 点聘A C 不重合 以C 助一边在 等腰直角三角形外作正方形C D E F 连接日F AD 图4 D 1 猜想图4 中线段曰F A D 的数量关系及所在直 线的位置关系 直接写出结论 将图4 中的正方形C 嗍着点c 按顺时针 或逆 时针 方向旋转任意角度a 得到如图5 图6 所示的情形 图5 中B 府阻c 于点日 交A D 于点D 请你判断 中得到的 结论是否仍然成立 并选取图5 证明你的判断 图5图6 2 将原题中的等腰直角三角形A 曰C 改为直角三角 形A B C 厶4 C B 9 0 0 正方形c D E 改为矩形C D E F 如图 7 且A c 4 B c 3 c D 限1 B 胶A c 于点日 交A D j 于点0 连接肋 A F 求8 碑d 用拘值 解析 1 脚D 曰F J A n B 与4 D 曰F 上AD 理由如下 因为 A B C 是等腰直角三角形 A C B 9 0 0 所以 A C B C 因为四边形C D E 腥正方形 所以C D C F F c D 9 0 所以 A C 8 A C F D A C F 即 日C F 厶A C D 所以 召他 A C n 所以B 脚D 肚 嬲n 电厶B H C 厶A H o 厶C B H 厶B H C s I Q o 厶C B H c A D 得 c A D 厶4 日D 9 0 0 所以厶4 鲫 9 0o 骶以B FL A D 2 如图7 连接D F 因为四边形眦峨矩形 所以 月C D 9 0 0 又因为厶4 C B 9 0 0 所以 A C B 肋 所以 A 衄 A 卯 脚 A 凹 即 厶R C F ZA C n 曰 D 图7 由A c 4 曰c 3 c D c 肚1 得笔 茜 号 所以 B 凹一 A c D 所以 C 8 B c A D 又因为 删C 厶4 日0 C 明 删C 9 0 0 所以 二C A D A 日D 9 0 0 所以 A D 日 9 0 所以B F J A D 所以 B D D A B 9 0 o 所以引严 叩2 0 D 2 A P 0 H2 0 P A 曰2 O H2 0 四2 D o p o 舻 骶以B 萨 A p o 舻 o 萨 o 小 o 阵A 舻 D p 因为在R t A B C 中 厶4 C B 9 0 A C 4 B C 3 所以 A 曰2 习4 囊当C 冬3 毡2 5 在R t 肋中 肋 9 0 c D c 砖1 所以D 辟 泓僻 2 萼 所以8 胪h 4 聘A B z D 胯 2 5 箜 塑 99 点评 本题第一问以一个等腰直角三角形和一个正 方形为基本图形 主要考查等腰直角三角形的性质 正 方形的性质 全等三角形的性质和判定等知识 这个基 本图形其实还是 共顶正方形 因为等腰直角三角形可 补全为正方形 第二问中将等腰直角三角形A 日C 改为直 角三角形A 日C 将正方形C 胞F 改为矩形C 她 使图形 更具一般性 考查的知识点也由全等三角形转移到了相 初中版 哼般吁 I 万方数据 颖试题 2 0 1 4 年4 月 似三角形 在求值过程中还用到了勾股定理 本题改编 之后更加具有挑战性 对学生来说具有一定的难度 也 体现了中考的选拔功能 三 以 共顶正方形 为模型的中考试题的 变式探究 正方形是最常见的平面图形之一 它的性质学生非 常熟悉 以正方形为基本图形组成的 共顶正方形 图形 优美 内涵丰富 它在命题中具有广阔的变化空间 通过 对以 共顶正方形 为模型的中考试题进行合理改编 或 借助于几何画板的测量功能与超级画板的自动推理功 能 可根据考查的目标和重点编拟一些形式优美的几何 试题 例5 如图8 正方形 A B 和C G E F 是共顶正方 形 连搠E 点肘是线黝E 的A 中点 连接删 肌求证 F M L M D F M M D B 蛩8 G 证明 如图9 延长删到点 使删 肼 连接D F F N N E 因为肘是线段A E 的中 点 跃以A M M E 又因为 A 彻 删 D M M N 断 扶 A M D 呈A E M M 证明 如图1 1 延长C G 至肘 使M G C G 连接肘F 伽 E C 延 长脓佃的延长线于点 删 交曰E 于点日 在 D C G 和 肼G 中 彤 D G 朋G 肚 C G D M G C G 所 以 D C G 錾 删G 甄 k M j D 厶F M G 厶D C G 颀以M F fC D 生 运 图1 1 因为四边形c 4 B C 磅巳正力 形 所以 D C 8 9 0 0 C 珐毋c 所以厶H N B 9 0 0 M 阽B C 因为厶B H N 厶F H E 厶B E F 厶H N B 9 0 0 既1 以 厶E F H 厶N B H 因为 C B E 8 日 1 8 0 0 E 用 舰 1 8 0 0 所 以厶M F E 厶C B E 在 M F E 昶 C B E 中 M F C B 厶M F E 厶C B E E F B E 骶以 M F E 兰 C B E 暖以厶M E F 厶C E B E M E C 妖以厶M E C 厶M E F 厶F E C 厶C E B 厶C E F 日E F 兰9 0o 所以 加C 为直角三角形 1 因为鹏 c G 删 E c 所以E G M c c G E G 上 E C G 断以厶D A M 厶N E M A D E N 圆9 所以AD 与肼行且相等 所以 c D 与 E M l 中有两对边相等且垂直 所以 C D 删 时针旋转9 0 0 后可以得到 E M 故 肋A L 黾等腰直角三角形 又因为点肘是线段A E 的中点 所以删上彻 删 M D 说明 本题主要考查正方形的性质 全等三角形的 性质与判定 直角三角形的性质 根据已知构造辅助线 是解决本题的关键 对图9 稍作变化 可得到例6 例6 如图1 0 在 雎F 中 曰E F 9 0 B E E 四边形 A 日 是正方形 连接D F G 为D FE 的中点 连接E G C G 求证 E G C G E GJ C G 寸 7 毒幺 初中版 A D 弋 图1 0 四 结束语 以 共顶正方形 为模型可以编拟出很多有趣的几 何问题 这些几何问题表面上有所不同 但它们所蕴含 的解题思想是统一的 解决问题的方法是类似的 只要 抓住 共顶正方形 基本图形的特征 综合运用三角形全 等 勾股定理 正方形的性质 三角形相似等相关知识进 行探索 不难得出结论 通过这样的探究活动 不但可以 为学生提供很多富有挑战性和探索性的学习