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自落式混凝土搅拌混合机的设计

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混凝土 搅拌 混合 设计
资源描述：

目   录

1  前言

1.1 混凝土搅拌混合机的概述…………………………………………………(1)

1.1.1 混凝土搅拌混合机的分类………………………………………………(1)

1.1.2 混凝土搅拌混合机的发展以及前景……………………………………(2)

1.2 自落式混凝土搅拌混合机的组成机构及原理……………………………(3)

1.3 本设计的目的和研究内容…………………………………………………(5)

2  自落式混凝土搅拌机设计与计算

2.1 自落式混凝土搅拌机的主要参数…………………………………………(6)

2.2 搅拌机参数选取的准则……………………………………………………(7)

2.3 自落式混凝土搅拌机的设计………………………………………………(9)

2.3.1 混凝土搅拌混合机原始数据和主体结构………………………………(9)

2.3.2搅拌筒转速的确定………………………………………………………(10)

2.4 搅拌系统结构设计………………………………………………………  (11)

2.4.1传动方案的设计…………………………………………………………(11)

2.4.2传动系统零部件尺寸的设定……………………………………………(11)

3  搅拌筒的功率计算及电机的选择

3.1 搅拌筒工作所需的总力矩计算……………………………………………(12)

3.1.1混合料与筒壁间的摩擦阻力距…………………………………………(12)

3.1.2混合料的偏载对搅拌筒转动产生的阻力距……………………………(14)

3.1.3滚筒转动时滚圈沿支承滚轮的滚动阻力距……………………………(15)

3.1.4搅拌筒工作所需的总力矩………………………………………………(17)

3.2 驱动搅拌筒所消耗的功率…………………………………………………(17)

3.3 选择电动机…………………………………………………………………(17)

4  拖滚轴的设计

4.1 轴的设计概述………………………………………………………………(19)

4.1.1轴的功用和分类…………………………………………………………(19)

4.1.2轴的材料…………………………………………………………………(20)

4.1.3轴的设计内容及要求……………………………………………………(20)

4.2 拖滚轴（3）的设计……………………………………………………… (20)

4.3 拖滚轴（2）的设计……………………………………………………… (21)

4.3.1求滚轮上的功率、转速和转矩………………………………………… (21)

4.3.2求作用在链轮上的力…………………………………………………… (21)

4.3.3初步确定轴的最小直径………………………………………………… (22)

4.3.4轴的结构设计…………………………………………………………… (23)

4.4 提高轴的强度的常用措施………………………………………………… (27)

5  传动链的设计

5.1 概述………………………………………………………………………… (27)

5.1.1选择链传动的依据及链传动类型选择………………………………… (27)

5.1.2链的传动布置和张紧…………………………………………………… (28)

5.2 链传动参数设计…………………………………………………………… (29)

5.2.1选择链轮齿数和功率、链节数及节距………………………………… (29)

5.2.2确定链长和中心距、链速及小链轮毂孔……………………………… (31)

5.2.3作用在轴上的压轴力…………………………………………………… (31)

5.2.4链的紧边受到的拉力…………………………………………………… (31)

5.3 传动链的润滑……………………………………………………………… (33)

结    论……………………………………………………………………… (34)

参考文献……………………………………………………………………… (35)

致    谢……………………………………………………………………… (36)


摘要：最近几年，建筑行业蓬勃发展。而在建筑机械里，混凝土搅拌机械是其中的基本设备之一。搅拌的混凝土关系到建筑的质量，而过去的机型如鼓筒型混凝土搅拌机存在许多问题如搅拌质量差、时间长、能耗高。自落式混凝土搅拌机尤其是其中之一的锥形反转出料搅拌机能更好的解决上述问题。

本文通过综合优化设计和类比的方法，结合以往的参数、数据和给出的原始资料、技术要求，对自落式混凝土搅拌机进行了设计。利用搅拌筒直径d=1560mm和其他条件，计算出搅拌筒的转速n=18r/min。根据原始数据——分批混合：1000kg/批、搅拌筒厚度h=4mm、装机容量：7.5千瓦、生产率：8-10吨/时等条件，计算出搅拌筒和混合料、支撑滚轮间相互作用的总力矩M，传动装置的总效率 =0.89，从而得出减速电机额定功率 =7.5kw，减速比i=23，转速n=1500r/min。考虑搅拌机传动系统的要求，对托滚轴和减速电机之间采用链传动的连接方式，链传动比i=1.19，小链轮齿数Z=17，从动链轮齿数Z=20，链长L=2.5146mm,中心距a=1020.5mm。再确定要安装链轮和拖轮的托滚轴，材料为45#，调质处理，轴的最小处直径d=69mm。根据材料和载荷，设计出托滚轴的各段的长度和直径，最后进行校核验证。



关键词：减速电机        混合单元摩擦传动       托滚轴设计      链传动


gravity type concrete mixing mixer design

Student name: ZhongWu  Class: 078105133

Supervisor:Zhang Xukung

Abstract: In recent years, the construction industry develops rapidly. In the construction machinery, the concrete mixing machine is one of the basic equipment. The mixing concrete related to the quality of construction, but the past models such as the type of drums concrete mixer has many problem such as poor mixing quality, long duration and high energy consumption. The gravity type concrete mixing mixer especially one of these： cone reversal discharging mixer can solve the above problem for the better.

   Considering the previous parameters,data and original data,technical requirements which has given,this papers design the gravity type concrete mixing mixer taking the methods of integrated optimal design and analog. Using the mixing tube diameter d = 1560mm and other conditions to calculate the speed of mixing tube n = 18r/min. According to the original data - batch mixed: 1000kg / batches, the mixing tube thickness h = 4mm, capacity: 7.5 kW, 8-productivity of 10 tons / h and other conditions, to calculate the total moment M between mixing tube and mixture as well as interaction support rollers, the overall efficiency of gear =0.89, so as to receive the gear motor rated power =7.5kw, reduction ratio i = 23, rotational speed n = 1500r/min. Considering the request of the mixer drive system， the placement between the care roller and the gear motor is connected by chain drive ，chain drive ratio i = 1.19, the small sprocket number of teeth Z = 17, and the driven sprocket number of teeth Z = 20, chain length L = 2.5146mm, center distance a = 1020.5mm. Next,confirming the care roller which demand installing the chain wheel and tug ，to determine its material is 45#、quenching and tempering, the minimum diameter of shaft is d = 69mm. According to the material and the loading, we design the roller care of all of the length and diameter , and check verification finally.


Key words: Geared Motor   Mixed friction drive unit  Care roller design  Chain drive


1.2 自落式混凝土搅拌混合机的组成机构及原理

自落式混凝土土搅拌混合机理基本特性是：使混凝土中的各组分混合成一种各物料颗粒相互分散、均匀分布的混合物。为了使混凝土中的各组分混合均匀，必须在搅拌过程中使每一组分的颗粒能分散到其他各种组分中去，因此，必须设法使各组分都产生运动，并使他们的运动轨迹相交，相交次数越多，混凝土越易混合均匀。

在利用搅合料重力势力的同时应尽可能使处在搅拌过程中的拌合料各组分的运动轨迹在相对集中区域相互交错穿插，在整个拌合料体积中最大限度地产生互相摩擦，并尽可能提高各组分体积极参与运动的次数和运动轨迹的交叉频率，为混凝土搅拌机实现宏观和微观均质性创造最有利的条件。

自落式混凝土土搅拌混合机主要由进料机构、搅拌筒、传动系统、电气控制系统和底盘等机构组成如图1-1。

1 搅拌筒

锥形反转出料搅拌机的搅拌筒双锥形。如图（一）示。筒内部焊件有分别与搅拌筒轴线成一定夹角交叉布置的高叶片和低一片各一对。由于高低叶片与拌筒轴线按一定的角度交叉布置，所以当拌合料由进料锥端进入，拌筒正转搅拌时，叶片不仅拌合料做提升、下落的运动，还能强迫物料做轴向窜动，固能做强化搅拌作用。当搅拌筒反向旋转时，叶片将拌合料推向料推向出料端一端由两条空间交叉成180度的螺旋形出料叶片将拌合料卸除筒外。

2 传动系统

目前，国内生产的锥形反转出料搅拌机（自落式混凝土搅拌机的一种），其传动机构有两种形式。


                              图1-1 锥形反转出料搅拌机

（1）摩擦传动

摩擦传动是依靠橡胶拖轮与搅拌筒滚道间的摩擦力来驱动搅拌筒旋转，搅拌筒通过滚道支承在四个橡胶摩擦轮上其中一对为主动轮，另一对为从动轮。当电动机经减速箱使一对主动轮回转时，搅拌筒机与混合料的相互作用。主动橡胶摩擦轮靠摩擦力驱动搅拌筒回转。为防止搅拌筒轴向窜动，在滚道的两侧固定导向圈。摩擦传动的特点是噪声小，结构简单，但遇、水容易打滑而降低生产率。

（2）齿轮传动

搅拌筒由4个拖轮支撑，由于传动系统的电机控制转向，电机产生的运动和动力经带传动输入减速箱，再经减速箱中的两对齿轮传给小齿轮通过小齿轮啮合的固定在拌筒上的大齿圈带动拌筒旋转。齿轮传动具有不打滑，传动比准确等特点。

3进料机构

锥形反转出料搅拌机的进料机构搅拌出料容量大小有所不同。一般由上料架，进料斗及提升装置等组成。

把操纵杆扳到上升位置，减速箱输出轴端的离合器上，钢丝绳卷筒转动，钢丝绳经滑轮拉动料斗由地面翻转至上部位置，把拌合料装入搅拌筒之后离合器自动脱开。吧操纵杆推到下降位置，料斗靠本身自重下落，料斗落地时将操纵杆到停止位置。

料斗的上下限位置，靠行程开关控制。上限位置开关安装在上料架上，并装有两个，分别对料斗上升起限位和安全保护作用：下限位只有一个限位开关，安装在导轨顶部，当料斗下降至地坑底部时，钢绳稍松弹簧杠杆机构使下限位动作，卷扬机构自动停车。

制动电机保护料斗载满负荷运动时，可靠停在任意位置，制动力矩大小由电动机后面的大螺母调整。

4供水系统

锥形反转出料搅拌机的供水系统大多采用时间继电器控制离心水泵电机运转时间的方式。他由电动机，水泵、节流阀及管路等组成。搅拌用水由电动机带动水泵抽水，经节流阀和管道注入拌筒，搅拌每罐混凝土所需的水量，由电控系统中的时间继电器控制水泵运转时间来把握。当按钮旋转到时控位置时，水泵会按设定的时间运转和自动停止：当按钮旋转到手控位置时，可以连续供水，冲洗支管供筒外用水和清洗整机使用。

5 电气系统

电气系统的作用是控制搅拌筒的正反转及停止：料斗提升、下降和水泵的转动或停止：时间继电器和安全装置。

1.3 本设计的目的和研究内容

毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：

1、生产率：8-10吨/时；

2、装机容量：7.5千瓦；

3、分批混合：1000kg/批；

4、产品质量：混合均匀度变异系数cv≤10%；

5、能耗：耗电≤5kWh/t；

6、用材：搅拌滚筒用不锈钢材料，厚度为4mm。

通过本次设计，将大学四年来学到的专业知识比较系统地和实际生产和设计相结合，再次重温了以前的专业知识，是书本上的理论知识在脑海中更加深刻。还拥有了如何在浩瀚的知识海洋和互联网上查阅到自己想要的信息的能力和独立的研究钻研能力，也熟悉了论文设计的一般步骤，是自己的综合素质更上一个台阶。

主要特色：结合《画法几何》，利用Autocad完成了总装配图和零件图的绘制。


内容简介：
毕业设计（ 论文 ） 开题报告 题目 自落式混凝土 搅拌 混合 机的设计 专 业 名 称 机械设计制造及其自动化 班 级 学 号 078105133 学 生 姓 名 钟武 指 导 教 师 张绪坤 填 表 日 期 2011 年 1 月 21 日 nts一、 选题的依据及意义 ： 混凝土搅拌机是施工机械装备中的重要设备 , 其产品质量和生产效率直接影响着建 筑施工质量和建筑施工进度。混凝土搅拌机，是把水泥、砂石骨料和水混合并拌制成混凝土混合料的机械。主要由拌筒、加料和卸料机构、供水系统、原动机、传动机构、机架和支承装置等组成。 混凝土搅拌机 按搅拌原理 ， 分自落式搅拌机 和 强制式搅拌机。 自落式搅拌机 有较长的历史，早在 20 世纪初， 由蒸汽机 驱动的鼓筒式混凝土搅拌机已开始出现。 50 年代后，反转出料式和倾翻出料式的双锥形搅拌机以及裂筒式搅拌机等相继问世并获得发展。自落式混凝土搅拌机的拌筒内壁上有径向布置的搅拌叶片。工作时，拌筒绕其水平轴线回转，加入拌筒内的物料，被叶片提升至 一定高度后，借自重下落， 各物料颗粒分散拌和均匀，是重力拌和原理， 这样周而复始的运动，达到均匀搅拌的效果。 自落式搅拌机的优点是结构简单 ,可靠性高 ,维护简单 ,功率消耗小 ,拌筒和叶片磨损轻，此种搅拌机适于拌制普通塑性混凝土 ,广泛应用于中小型建筑工地 .按拌筒形状和卸料方式的不同 ,有鼓筒式搅拌机 ,双锥反转出料搅拌机 ,双锥倾翻出料搅拌机和对开式搅拌机等 。 而其中一个的子类：锥形反转出料搅拌机，是 20 世纪 50 年代发展起来的一种自落式搅拌机。这种搅拌机的出料通过改变搅拌筒的旋转方向来实现，它省去了倾翻机构，在中、小容量 的范围内（ 0.151.0m3） 是一种较好的机型。锥形反转出料搅拌机适用于搅拌骨料最大粒径 80mm 以 下的塑性和半干硬性混凝土。可供各种建筑工程和中、小型混凝土制品厂使用。 二、国内外研究概况及发展趋势（含文献综述） 19世纪 40年代 ,在德 ,美 ,俄等国家出现了以蒸气机为动力源的自 落式搅拌机 ,其搅拌腔由多面体状的木制筒构成 ,一直到 19世纪 80年代 ,才开始用铁或钢件代替木板 ,但形状仍然为多面体 .1888年法国申请登记了第一个用于修筑战前公路的混凝土搅拌机专利 .20世纪初 ,圆柱形的拌筒自落式搅拌机才开始普及 .形状的 改进避免了混凝土在拌筒内壁上的凝固沉积 ,提高了搅拌质量，效率 .1903年德国在斯太尔伯格建造了世界上第一座水泥混凝土的预拌工厂 .1908年 ,在美国出现了第一台内燃机驱动的搅拌机 ,随后电动机则成为主要动力源 .从 1913年 ,nts美国开始大量生产预拌混凝土 ,到 1 950年 ,亚 洲大陆的日本开始用搅拌机生产预拌混凝土 .在这期间 ,仍然以各种有叶片或无叶片的自落式搅拌机的发明与应用为主 .随着多种商品混凝土的广泛使用以及建筑规模的大型化 ,复杂化和高层化对混凝土质量 ,产量不断提出的更高要求 ,有力地促进了混凝土搅拌设备在使用性能 和技术水平方面的提高与发展 .各国研究人员开始从混凝土搅拌机的结构形式 ,传动方式 ,搅拌腔衬板材料以及搅拌生产工艺等方面进行改进和探索 . 20 世纪 40 年代后期，德国 ELBA 公司最先发明了强制式搅拌机，和自落式搅拌机的工作原理不同，强制式搅拌机利用旋转的叶片强迫物料按预定轨迹产生剪切、挤压、翻滚和抛出等强制搅拌作用，使物料在剧烈的相对运动中得到匀质搅拌。根据构造特征不同，主要有立轴涡浆式搅拌机、立轴行星式搅拌机、立轴对流式搅拌机、单卧轴搅拌机和双卧轴搅拌机等 。 在我国 ， 混凝土搅拌机等 搅拌设备 广泛采用的是强制式搅拌 机和倾卸式搅拌机。这两类搅拌机对混凝土的水灰比、强度、坍落度的适应性比较宽。 虽然经过了 30 多年的发展， 技术水平有了长足的进步，产品性能价格比也大大优于进口设备 ， 但是整体水平与世界先进水平相比还有一定的差距，和许多发达国家相比还属于初级阶段。我国混凝土的应用无论在实验技术、生产技术还是施工技术等方面仍处于发展阶段，全国各地区发展也很不均衡，特别是一些中小和偏远地区更是刚刚开始。 在市场范围缩 小的情况下，受到直接影响的混凝土搅拌机行业进入到竞争白热化时期 ，所以 在许多方面还有待于进一步提高，调整结构、开发新产品，以 满足市场的各种需求。 机械工业产品的发展趋势是高附加价值化 、智能化和系统化。混凝土机械发展的主导产品是商品混凝土成套设备 ，商品混凝土成套设备尤其是大型站（楼）、车、泵无论从数量上还是质量上都将有一个较大的提高，这些产品将比以往更加注重降低能耗，更加注重安全性、舒适性、维护和使用的经济性。商品混凝土近年来在我国大中城市有了较大的发展，约占现浇混凝土的 15 20左右，与发达国家的 70 90相比还有较大的差距，由此给国内混凝土机械制造厂家提供了一个大的发展机遇。 国家实施西部大开发战略，投资规模将超过以往任何大 型 工程。由于西部开发时间跨度长、东西部经济差距大，不可能集中购买高、精、尖的大型设备，因此开发适合西部自然环境、经济实用的产品将会有一定市场，如开发经济实用型移动式搅拌站（ 25 50m3 h）以适应公路、铁路等工程建设。同时，通过技术nts创新，开发多用途、多功能产品以适应市场需求的变化，如开发带泵、带布料杆、带皮带输送及带推土板的输送车、带振动装置的强制式搅拌机等。 搅拌主机作为混凝土搅拌机和混凝土搅拌站的核心部位，是像人体的胃一样重要的部件，它的质量决定了 混凝土搅拌机和混凝土搅拌站的质量，换言之，商品混凝土的质量很大程度上取决于搅拌主机的搅拌作用，这是它的使用价值所在。而企业是泛指一切从事生产、流通或者服务活动，以谋取经济利益的经济组织。既然混凝土搅拌机械企业作为一个经济组织它当然也应以谋利为最终目的，搅拌主机则是混凝土搅拌机和混凝土搅拌站所有部件单元中利润最丰厚的单元之一。因此，如果一个混凝土搅拌机械企业放弃了这一点就等于放弃了它最有力的武器。 三、 研究内容及实验方案 混凝土自落 式搅拌 混合机的设计的原始资料 (数据 )及设计技术要求： 1、 生产率： 8-10 吨 /时 ； 2、 装机容量： 7.5 千瓦； 3、 分批混合： 1000kg/批； 4、 产品质量：混合均匀度变异系数 cv 10%； 5、 能耗：耗电 5kWh/t； 6、 用材：搅拌滚筒用不锈钢材料，厚度为 4mm。 动力参数计算， 主要零部件的强度计算，主要零件、部件及总装配图绘制，设计说明书的编写。 四、 目标、主要特色及工作进度 目标： 通过本次设计，将大学四年来学到的专业知识比较系统地和实际生产和设计相结合，再次重温了以前的专业知识，使书本上的理论知识在脑海中更加深刻。还拥有了如何在浩瀚的知识海洋和互联网上查阅到自己想要的信息的能力和独立的研究 钻研能力，也熟悉了论文设计的一般步骤，使自己的综合素质上了一个台阶。 nts主要特色 : 结合画法几何，利用 Autocad 完成了总装配图和零件图的绘制。 工作进度 1查阅资料，英文资料翻译 （ 2 周） 1 月 3 日 1 月 17 日 2撰写开题报告 （ 1 周） 1 月 18 日 1 月 23 日 3设计并绘制滚筒混合机混合单元装配图 （ 5 周） 2 月 21 日 3 月 27 日 4绘制主 要零件图若干张 （ 4 周） 3 月 27 日 4 月 23 日 5编写设计计算说明书（毕业论文）一份 （ 3 周） 4 月 25 日 5 月 21 日 6毕业设计审查、毕业答辩 （ 1.5 周） 5 月 23 日 6 月 2 日 五、参考文献 1 冯忠绪混凝土搅拌理论与设备 M北京：人民交通出版社， 2001 8 2 陈宜通 . 混凝土机械 M.北京：中国建材工业出版社， 2002.7 3 盛春芳混 凝土搅拌机纵横谈 (一 ) (七 )建设机械技术与管理 J 1998，第 4期第 6期； 1999，第 l期第 6期 4 龚铁平编译国外混凝土机械 M北京：中国建筑工业出版社， 1983 5 Bathala C. Redlaty, V. S. Muvthy, Madaboosi S. Ananth, Chamarti D. P. Rao. Modeling of continuous Fertilizer Cranulation process for control. Part. Part. Syst. Charact 15(1998):156-160 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 基于斯托克斯的三维流动混合 ： 再 次讨论 分区 管混合器 问 题 摘要 对 速度场和所谓的分区管道混合器混合 反应 进行了 研究。 和 以前使用 的 近似方案 相比， 一个从 以前研究 的 具有相同物理模型入手 的带来 更准确的流量 描述的 精确分析 方案 正在发展中 。 另外 ， 这些 结果 是根据更好的 报道实验数据 得到的 。 斯托克斯 流 动 /层 流 分布混合 /静态混合器 1.介绍 文章 的目的是研究 一个内部无限长 ， 被内壁 划分成一个 顺序 排列的 半圆形管 道的圆管 的 三维 蠕动流 。这样一个系统，称为 分区管混频器（ PPM） ， 是由 Khakhar 等人引 进的 。 1作为样机模型广泛使 用在 Kenics 静态混合器 。 在 Kenics 混合器中每个元素是一个螺旋，扭曲 180的金属板 ;元素排列在 圆管的轴向上 ，使元素的领先优势相对前一个是沿直角的。流体动力学计算工具使这种三维流动数值模拟简单可行（ Avalosse， Crochet3， Hobbs 和 Muzzio4， Hobbs 等人）。然而，这样做需要大量的模拟计算资源，尤其是在研究不同的搅拌工艺参数的影响。因此，简化分析模型，即给出了模拟的过程快的可能性（或模仿其功能密切就够了），也仍然是有用的。 . 这种本质上的三 维流 PPM 模式是高度理想化，但保留了正在研究流动的主要特征。在每一个半圆形轴向风道，该模型包括两个叠加，独立，二维流场：一横截面（旋转）的速度场和一个全面发展的 Poiseuille。在这里给了两个独立的二维边界问题，而不是三维问题的。由 Khakhar 等人提出的解决方案。 1的横截面速度场只是一个近似的。然而在一个封闭的形式下，存在一个 精确 分析解决方案。 在本论文中，我们利用这些精确 的解决方案对 这个三维混合机的混合性能 就行审查 。在一些混合模式 下的 重要 区别已经 得到 了 ， 而且 我们的结果 更接近 可用 的 Kusch和 Ottino6的 实验结果 。 2.PPM 的速度领域 考虑一个 0 r a, 0 2, |z| 0， 0 /2 的水平平面（古德尔 10，泰勒 11），随着不变的常量速度 - V 应用在平面 =0 上， 类似于刮的方案 图 1（ a）显示了流函数（ 6）外形的水平高度。截面流量在一个椭圆形停滞点（ 0.636a， / 2）处呈现出单涡旋细胞。 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 以往的研究（ Khakhar 等。 1， Ottino7）暗示了近似一个条件的关于边界问题（ 1），（ 4）的解决办法： 已经靠一个变分法获得它。然而这个表达式（ 16）不能同时满足支配性双调和方程（ 1）在移动边界无滑移条件！原来，在边界 r=a 处的切向速度变化为（ 4 / 3） Vsin2,而不是恒定 V。因此，在一些地区远离平面边界，速度被高估了（高达 33，在圆形边界），它是人为地平滑接近近角。根据一个长远的解决办法（ 16），流函数轮廓的划分图呈现在图 1（ b）中。 充分成熟的关于一个半圆导管的轴向流边界问题（ 2），（ 5）显示（ Ottino7） 其中 是平均轴向速度。使用简单的转换和无穷总结表（ Prudnikov 等 人 12），我们可以提出在一个封闭 形式下的表达（ 17）： 这对于在平流过程的数值模拟可取。值得一提的是， 被 Khakhar 等人使用的条款 1的第一个（ 17）的三极限无穷求和以及 Ottino7提供的 最大只有几个百分点的 精度的 误差（相对于 精确 表达式（ 18） 。 图 2。等高线图的轴向速度的 Vz：实线对应的确切表达式（ 18），虚线对应于表达式（ 17）三个方面的近似值 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 在图 2 中由（ 18）定义的 Vz 的轮廓线，显示为实线，而三极限（ 17）近似相同的轮廓由虚线绘制。尽管这种近似的轮廓形状很相似，但是平均流 速 vz 差异量高达 7%，其中一个最大速度 vz 离角点不远，所以 vz 是被低估了。可以增加（ 17）的项数至一百，降低相对误差到小于 0.005，但是，像这样模拟被动追踪物的水平流动会花掉更多的计算机时间。 3。 PPM 混沌混合 由 平流方程描述 的 一个被动的个体（拉格朗日）粒子的运动 。 与右手边由速度场（ 6）和（ 18）定义的（ 19）。 当 t=0 时 初始条件为 r= R0的， = 0和 z=0。 这里定义变量 显然是 其中 k=0， 1， 2，。 。 。 。 系统（ 19）描述了沿每个流线区间的单个粒子稳定的动作。 然而，由于流动是三维和空间周期性的，它可以表现为混乱行为（ Aref【 5.4 部分的 13】） 。在 Khakhar1以及其他人 中 ， 单个无量纲参 数 ，混合强度 ， 混合强度被提出给了完整描述这样一个表现的系统。虽然参数没有精确解（ 6）的特殊意义，但是值是用来比较 我们包含那些文献 的结果。 庞加莱映射是应用于揭示规则与混沌运动区域的。庞加莱映射是通过采取在水平面 Z = 0 的初始点（ r0， 0）并记录交叉坐标 常角轨道 Zn= 2nL， n = 0， 1， 2。 。 。 。 几个值为的庞加莱映射是同时使用近似精确解计算和分析的。在这里，我们介绍的一个单一出发点的庞加莱映射被选在了混乱的区域（图 3）选择的地图。在平面图的白色区域对应于岛状物。这些岛状物的边界是用细实线绘制的。 庞加莱映射岛状物相应于流动的 KolmogorovArnoldMoser (KAM) 管 。在这样一个管里捕获的流体将只能在里面移动，不与外管中的其余流体混合。这个混 KAM管的影响，相比混合器的总流量，可以描绘为通过软管的相 对流量。因此，对于两个nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 岛状物的通过 KAM 管搬运的面积和流量是可进行评估的。流量可以计算看做在岛状物面积上 v2的积分，或者作为一个岛状物的轮廓边界通过斯托克斯定理积分。 图 3（ a）和 3（ b）呈现了 = 4 庞加莱映射。对于近似解的八个最大的岛屿是清晰可见（图 3（ a）。他们占据了约 49横截面积并且包含约 55的总流量。确切的解决方案提供了一个完全不同的群岛系统（图 3（ b）。他们的影响是相当低的，因为它们只占约 13的面积，并承担总流量的 18。 对于混合强度为的大量实用性的不同就开始变得更 强了。图 3（ c）和 3（ d）代表 = 8 时的情况。该近似解提供了两个占据约 13%截面（见图 3（ c），承担总流量的 18的岛状物，同时群岛的精确解（图 3（ d）揭示了只占约 0.7的断面面积。通过 KAM 管总数 ,在这种情况下的相对流量约只有 1的总流量。 在这两个例子中介绍了 KAM 管横截面总面积明显较小时使用的精确解。由于两个近似和精确的解是以相同的简化模型的 PPM 为基础， i.e.忽略了在混和器元素的结合处的过渡影响，计算出的 KAM 管的形状，应持一点 保留态度。通过这些管道的相对的截面和相对流量是非常适当 的，并且他们可以给出一个实用的实际流动价值标准的估计值。 条纹线可作为一种表征混合和可视化基础的混合机械装置的工具。 Kusch 和Ottino 6指出，从创始的 KAM 管的横截面计算条纹线 ，远比实验观察得到的不同。对计算的 = 8.0 的条纹线和实验获得的 =10.0 0.3 结果进行了比较至少有些相似。他们指出， PPM 模式难以接近地模仿实验结果（由于划分的板块比小半径管长度要短）。然而，采用修正速度场进行的数值模拟的结果（ 6），（ 18）和值给出一个更好的一致。图 3（ e）和 3（ f）显示了 = 10 的同时使用解决方案的庞加莱映射。在图 3（ f）中周期 2 的两岛状物的大致轮廓是用实线绘制的。这些轮廓被用来揭示相应的 KAM 管的形状（参见图 4（ c）。封闭多边形描绘的轮廓和通过 4 个混合元素的数字追踪而来的这些多边形的至高点，显示了 KAM 管外边界。另外两张在图 4 中的图像代表图像的数值（ a）和实验（ b）分别来自于 Kusch 和 Ottino 6的成果。对于实验结果的实际混合强度的值，是 = 10.0 0.3，我们计算了 KAM 管 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 图 3。庞加莱映射分别地作为 4 种不同搅拌强度，值 =（ a）和（ b） ， = 8（ c）和（ d）段）， = 10（ e）和（ f）段）的结果。图片中 左边的列（ a），（ c）， （ e）段）通过方案（ 16），（ 17） 采用近似解获得，而在右列的通过精确的方案（ 6）， （ 18）获得。 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 图 4。对比（ a）计算的（ = 8）和（ b）实验性的（ = 10.0 0.3）库施和 Ottino 6的实验性的条纹线，计算 PPM 模式下的 KAM 管的混合强度参数 = 10.0（ c）（图像（ a）及（ b）是来自于许可转载的剑桥大学出版社的论文图 9。） 以及形状 限制值 = 9.7， = 10.3。钢管的 整体造型变化不大，混合强度的变化主要是管壁厚度的影响：它是较大的参数，反之也一样。 Kusch 和 Ottino 6没有明确指定条纹线可视化染料注射的位置。然而在 KAM 管外面注入染料一点点很容易发现，因为染料开始传遍混合元素所以这是显而易见的。为了说明这一点，岛的几何中心周围绘制了圆（参见图 3（ f）。标记是均匀分布在每个圆边界，并通过四要素混合的 PPM（两个空间时间）进行跟踪。 在图 5（ a）中圆的半径为 0.03a，因此所有的标记都定位在 KAM 管里。 在图 5（ b）中圆（半径 0.062a）触及到管边界。这种条 纹线可以稍微变形，但仍完全在管内抓获。在图 5（ c）中最初的圆比在图 3（ f）中的岛状物稍大，因而标记包含在 KAM 管外。可以清楚地看到，只要有短短四个混合细胞，标志物就可以在整个管道截面蔓延。 使用近似数值解（ 16），（ 17）指引 Kusch 和 Ottino 6得到一个伟大差异的对于 10 4 的情况下的实验结果：实验显示了非常稳定 KAM 管，而计算显示出了许多分支（比如，可见于他们的论文中的图 10（ d）。但是使用相对简单稳定结构的精确方案（ 6），（ 18）却被预测到了。例如，相对于一个比较大的 = 20 混合 强度，四个第一次序的 KAM 管被发现，但没有 发现 2 时期的 KAM 管。 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 图 5。这些标记的痕迹，最初由规律地以时期 2 的到得几何中心为中心空出不同半径的圆。每个圆圈包含 100 个标记。半径是：（一） 0.03a 完全地再 KAM 管里面，（二）0.062a，触摸到它的边界，（三） 0.08a 划定软管边界。 它们的 管截面（并且因此，与他们相关的流量）相对较小。，不过这些周期性结构稳定。 4。结论 虽然正在研究的流动仅仅是一个原型，但是它拥有广泛使用的搅拌装置流动的一些重要特征。在同一模型框架获得一个 近似的比较和精确解，显示了某些数学简化可能产生重大影响。这种简化在预测系统的行为上可能造成很大的差异，特别是对于那些应该表现出的混沌性系统。在这里，由于使用（在以前的研究）了人为平滑的横截面速度场一个长期的近似解，在预测行为上就有差异。确切的解决方案显示与已报道的实验结果能很好地一致。 当然，存在的一个重要问题就是在混合元件和忽视了这些过渡的发展流动之间，有 了 突然的转变。 事实上最近的数值模拟结果（霍布斯等人 5）表明，对于带有螺纹的有限厚度的螺旋板的 Kenics 混合搅拌机，在入口和出口流动的每个转 变元素都会强烈影响到一个以上元素长度的速度场 ， 这是一个重要的假设。 然而，从结果中呈现的 准确描述了 在混合流动中 哪怕是很小的变化 也能显著地改变系统整体混合反应 的速度区域 的 重要性结论，仍然是适用真正的工业场合。 致谢 笔者要感谢授予了编号为 EWT44.3453 的荷兰科技基金（ STW） 的支持 。我们也感谢 其中一个 发表“ 在 闭塞 或不了解情况 下参数化的使用计算机从而产生一个荒谬结果”观点的 证明人 。 ntsEur. J. Mech. B/Fluids 18 (1999) 7837921999 ditions scientifiques et mdicales Elsevier SAS. All rights reservedThree-dimensional mixing in Stokes flow: the partitioned pipe mixer problem revisitedV. V. M e l e s h koa, O.S. Galaktionova;b, G.W.M. Petersb;*, H.E.H. MeijerbaInstitute of Hydromechanics, National Academy of Sciences, 252057 Kiev, UkrainebDutch Polymer Institute, Eindhoven Polymer Laboratories, Eindhoven University of Technology, P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven,The Netherlands(Received 24 April 1998; revised 22 February 1999; accepted 7 March 1999)Abstract The velocity field and mixing behaviour in the so-called partitioned pipe mixer were studied. Starting with the same physical model as inprevious studies, an exact analytical solution was developed which yields a more accurate description of the flow than the previously used approximatesolution. Also, the results are in better accordance with the reported experimental data. 1999 ditions scientifiques et mdicales Elsevier SASStokes flow / laminar distributive mixing / static mixers1. IntroductionThe aim of the present paper is to study the three-dimensional creeping flow in an infinitely long cylindricalpipe with internal walls, that divide the pipe into a sequence of semicircular ducts. Such a system, called thepartitioned pipe mixer (PPM) was introduced by Khakhar et al. 1 as a prototype model for the widely usedKenics static mixer (Middleman 2).In the Kenics mixer each element is a helix, twisted on a 180, plate; elements are arranged axially withina cylindrical tube so that the leading edge of an element is at right angles to the trailing edge of the previousone. Computational fluid dynamics tools make a straightforward numerical simulation of this kind of three-dimensional flow feasible (Avalosse and Crochet 3, Hobbs and Muzzio 4, Hobbs et al. 5). However, suchsimulations do require significant computational resources, especially when studying the effect of varyingparameters on the mixing process. Therefore, simplified analytical models, that give the possibility of fastsimulations of the process (or mimic its features closely enough), are still useful.The PPM model of the essentially three-dimensional flow was highly idealized, nevertheless retaining themain features of the flow under study. The model involves two superimposed, independent, two-dimensionalflow fields: a cross-sectional (rotational) velocity field and a fully developed axial Poiseuille profile in everysemicircular duct. This gives two independent two-dimensional boundary problems instead of the three-dimensional problem. The solution proposed by Khakhar et al. 1 for the cross-sectional velocity field wasonly an approximate one. There exists, however, exact analytical solutions in a closed form.In the present paper we use these exact solutions to examine the mixing properties in this three-dimensionalmixer. Important differences in some mixing patterns were obtained, and our results resemble more closely theavailable experimental results of Kusch and Ottino 6.* Correspondence and reprints: Department of Mechanical Engineering, Building W.h. 0.119, Eindhoven University of Technology, P.O. Box 513,5600 MB Eindhoven, The Netherlands; e-mail: gerritwfw.wtb.tue.nlnts784 V. V. M el eshko et al .2. Velocity field in PPMConsider the interior of an infinite cylinder 06r6a; 06 62 ; jzj0; 06 6 =2with the constant tangential velocity V applied at the plane D0.Figure 1(a) shows contour levels of the stream function (6). The cross-sectional flow exhibits a single vortexcell with one elliptic stagnation point at (0:636a; =2).The previous studies (Khakhar et al. 1, Ottino 7) suggested the approximate one-term solution of theboundary problem (1), (4):9D4Va3 ra21 rasin2; D.11=3/1=21 0:915; (16)which has been obtained by a variational method. This expression (16), however, does not satisfy both thegoverning biharmonic equation (1) and the no-slip condition at the moving boundary! It turns out that thetangential velocity at the boundary rDa varies as .4=3/V sin2instead of being constant V. Therefore, thevelocity is overestimated (up to 33% at the circular boundary) in some zones far from the flat boundary, and it isartificially smoothed near corners. The contour plot of the stream function according to one-term solution (16)is presented in figure 1(b).The solution of boundary problem (2), (5) for the fully developed axial flow in a semicircular duct reads(Ottino 7):vzD16 28hvzi1XkD1ra2k 1ra2sinT.2k 1/ U.2k 1/f4 .2k 1/2g; (17)wherehvziD8 24 21pza2is the average axial velocity. Using straightforward transformations and tables of infinite sums (Prudnikov etal. 12), we can present expression (17) in a closed form:vzD2 28hvzi(r2a2sin2Craarsin 14r2a2a2r2sin.2 /lnr2C2arcos Ca2r22arcos Ca2C122 r2a2a2r2cos.2 /arctan2arsin a2r2); (18)which is preferable for numerical simulations of the advection process. It is worth mentioning that the firstthree terms of the infinite sum (17) used in Khakhar et al. 1 and Ottino 7 provide reasonable accuracy withEUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS B/FLUIDS, VOL. 18,N5, 1999ntsThree-dimensional mixing in Stokes flow 787Figure 2. Contour plots of the axial velocity vz: solid lines correspond to the exact expression (18), dotted lines correspond to three-terms approximationof (17).maximum errors (compared to exact expression (18) that are within a few percent. In figure 2 the contourlines of vz, defined by (18) are shown as a solid lines, while the same contours for three-term approximationof (17) are plotted as dotted lines. Despite this approximation the shape of the contours is rather similar, thediscrepancy amounts up to 7% of the average velocityhvzi, reaching a maximum not far from the corner points,where the velocity vzis underestimated. Increasing the number of terms in (17) to one hundred, reduces therelative error to less then 0:005%, but, it will take much more computer time to simulate the passive tracersadvection.3. Chaotic mixing in PPMThe motion of a passive individual (Lagrangian) particle is described by the advection equationsdrdtDvr.r; /; rd dtDv.r; /;dzdtDvz.r; /; (19)with the velocity field on the right hand side of (19) defined by (6) and (18). The initial conditions arerDr0; D 0;zD0attD0.Here the variable is obviously defined asD8:; 2kL6z.2kC1/L; 06 6 ; 2kL6z.2kC1/L; 2 ;=2;.2kC1/L6z.2kC2/L; =26 63 =2;C =2;.2kC1/L6z.2kC2/L; 06 =2;3 =2;.2kC1/L6z.2kC2/L; 3 =2 2 ;(20)where kD0; 1; 2;:System (19) describes a steady motion of an individual particle along the streamline in each compartment.However, as the flow is three-dimensional and spatially periodic, it can exhibit chaotic behaviour (Aref 13,Section 5.4).In Khakhar et al. 1 the single non-dimensional parameter , the mixing strengthD4VL3 hvzia; (21)EUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS B/FLUIDS, VOL. 18,N5, 1999nts788 V. V. M el eshko et al .was introduced to completely describe the behaviour of such a system. Although the parameter has noparticular meaning for the exact solution (6), the value of is used to compare our results with those of theliterature.Poincar mapping was applied to reveal the zones of regular and chaotic motion. The Poincar maps wereconstructed by taking an initial point .r0; 0/at the levelzD0 and recording the coordinates of the intersectionsof the trajectory with the planes znD2nL; nD0; 1; 2;:The Poincar maps for several values of were computed and analysed using both the approximate andexact solution. Here we present the resulting Poincar maps for which one single starting point was chosen inthe chaotic zone (figure 3). White regions in the plots correspond to islands. The boundaries of the islands areplotted as thin solid lines.Islands in Poincar maps correspond to the KolmogorovArnoldMoser (KAM) tubes in the flow. The fluidcaptured in such a tube will only travel inside, not mixing with the rest of the fluid outside the tube. Theinfluence of the KAM tube on mixing can be characterized by the relative flux carried by the tube compared tothe total flux through the mixer. So, for the islands both their area and the flux carried by corresponding KAMtubes are evaluated. The flux can be computed as the integral of vzover the islands area, or, by using Stokestheorem, as a contour integral over the boundary of islands.Figures 3(a) and 3(b) present the Poincar maps for D4. For the approximate solution the eight largestislands are clearly seen (figure 3(a). They occupy about 49% of the cross-section area and carry approximately55% of the total flux. The exact solution provides a completely different system of islands (figure 3(b). Theirinfluence is considerably lower since they occupy only about 13% of the area and bear 18% of the total flux.The difference becomes even stronger for larger values of the mixing strength . Figures 3(c) and 3(d)represent the case of D8. The approximate solution provides two large islands that occupy about 13% ofthe cross-section (see figure 3(c) and bear 18% of total flux, while the islands revealed by the exact solution(figure 3(d) occupy only about 0:7% of the cross-section area. The relative flux through KAM tubes amountsin this case to approximately only 1% of total flux.In both examples presented the total area of the cross-section of the KAM tubes is significantly smaller whenthe exact solution is used. As both the approximate and exact solutions are based on the same simplified modelof the PPM, i.e. neglecting the transition effects at the joints of the mixer elements, the calculated shape of theKAM tubes should be considered with some reservations. The relative cross section of, and the relative fluxthrough these tubes are of more relevance and they can give an useful estimation of these values for practicalflows.Streaklines can serve as a tool to characterise the mixing and to visualise underlying mixing mechanisms.Kusch and Ottino 6 noted that computed streaklines, originating from a cross-section of a KAM tube, aremuch different from those experimentally observed. Computed streaklines for D8:0 and the experimentalresults obtained for D10:0 0:3 were compared to get, at least, some resemblance. They pointed out that thePPM model can hardly mimic closely the experimental results (due to the small length of dividing plateslessthan the pipe radius). However, the results of numerical simulations using the corrected velocity field (6), (18)and the right value for gives a much better agreement. Figures 3(e) and 3(f) show the Poincar maps forD10, using both solutions. In figure 3(f) the approximate contours of the two islands of period 2 are plottedwith solid lines. These contours were used to reveal the shape of the correspondent KAM tubes (see figure 4(c).Contours were represented by closed polygons and the vertices of these polygons were then tracked numericallythrough four mixing elements, showing the outer boundary of the KAM tube. The other two images in figure 4represent the numerical (a) and experimental (b) results from Kusch and Ottino 6, respectively. As for theexperimental results the actual value of mixing strength was D10:0 0:3, we calculated the KAM tubeEUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS B/FLUIDS, VOL. 18,N5, 1999ntsThree-dimensional mixing in Stokes flow 789(a) (b)(c) (d)(e) (f)Figure 3. Poincar maps for different values of mixing strength D4 (a) and (b), D8 (c) and (d), D10 (e) and (f), respectively. Pictures inthe left column (a), (c), (e) were obtained by using approximate solution (16), (17), while those in the right column were obtained by using the exactsolution (6), (18).EUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS B/FLUIDS, VOL. 18,N5, 1999nts790 V. V. M el eshko et al .(a) (b) (c)Figure 4. Computed KAM tubes for the PPM model with mixing strength parameter D10:0 (c) compared with (a) computed ( D8) and (b)experimental ( D10:0 0:3) streaklines from Kusch and Ottino 6. (Images (a) and (b) are taken from figure 9 of the cited paper, reproduced withpermission from Cambridge University Press.)shapes for the limiting values D9:7and D10:3 as well. The overall shape of the tubes does not changemuch, variation of mixing strength influences mainly the tube thickness: it is thinner for larger parameter andvice versa.Kusch and Ottino 6 did not specify explicitly the location where the dye for streakline visualization wasinjected. However, it is easy to show that when the dye is injected just a little outside the KAM tube, this isclearly visible because the dye starts to spread over the mixing elements. To illustrate this, circles were drawnaround the geometrical center of the island (see figure 3(f). Markers were evenly distributed on the boundaryof every circle and tracked through four mixing elements (two spatial periods) of the PPM. In figure 5(a) theradius of the circle was 0:03a, thus all markers were positioned well inside the KAM tube. In figure 5(b) thecircle (of radius 0:062a) touches the tube boundary. Such streaklines can be slightly deformed but are stillcaptured completely within the tubes. In figure 5(c) the initial circle was slightly larger then the island shownin figure 3(f), and thus contains markers outside the KAM tube. It is clearly seen that within just four mixingcells the markers spread over the whole cross-section of the pipe.The use of approximate numerical solution (16), (17) led Kusch and Ottino 6 to a great discrepancy withexperimental results for 10 40: experiments showed remarkably stable KAM tubes, while computationsexhibited a lot of bifurcations (see, for example, figure 10(d) from their paper). However, using the exactsolution (6), (18) relatively simple stable structures are predicted. For example, for a relatively large mixingstrength of D20, four KAM tubes of first order were found but no KAM tubes of period 2 were detected.EUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS B/FLUIDS, VOL. 18,N5, 1999ntsThree-dimensional mixing in Stokes flow 791(a) (b) (c)Figure 5. Traces of the markers, originally regularly spaced on circles of different radii, centered around the geometrical centers of the islands of period 2.Each circle contains 100 markers. The radii are: (a) 0:03awell inside the KAM tube, (b) 0:062atouching its boundary, (c) 0:08acircumscribingthe tube boundary.The cross section of these tubes (and, consequently, the flux associated with them) is relatively small. Theseperiodical structures are, nevertheless, stable.4. ConclusionsAlthough the flow under study is merely a prototype flow, it possesses some important features of flows inwidely used mixing devices. The comparison of an approximate and an exact solution, obtained within theframework of the same model, shows the possible major consequences of some mathematical simplifications.Such simplifications can cause large differences in the predicted systems behaviour, especially for systemsthat are supposed to exhibit chaotic properties. Here, the difference in the predicted behaviour was caused bythe use (in previous studies) of a one-term approximate solution that artificially smoothes the cross-sectionalvelocity field. The exact solution shows much better agreement with the reported experimental results.Of course, there exists an important problem regarding the abrupt transition between mixing elements andignoring developing flows at these transitions. Results of recent numerical simulations (Hobbs et al. 5) showthat, indeed, this is a major assumption: for the Kenics mixer with a finite thickness of helical screwed mixingplates, flow transitions at the abrupt entrance and exit
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