数学建模—艾滋病疗法的评价及疗效预测.doc

艾滋病疗法的评价及疗效预测一、摘要本文通过对艾滋病药物治疗时 CD4 及 HIV 的浓度变化情况的研究，预测了药物的治疗效果，并对4 种不同药物的疗效进行评价优劣，最后在综合考虑治疗效果和治疗费用两个指标的情况下确定最优用药方案。CD4浓度随时间变化曲线HIV浓度随时间变化曲线在问题一中，针对真实统计数据的残缺性和不一致性，利用聚类分析等方法对其进行了规范化，并填补了残缺数据。对对HIV 和 CD4 浓度的变化情况建立一个双目标的评价指标，考虑艾滋病疗法减少 HIV 数量的根本目的，视 HIV 的浓度变化情况对 CD4 的变化情况具有绝对优先权重。将HIV 浓度在测试后期比用药前浓度高的视为病人对该药物治疗的不适应，停止药物治疗。而对HIV 浓度在测试后期达到较好效果的病人，对其 CD4 浓度的波动情况进行分析并以此作为病情发展趋势的预测，求得病人总体的最佳停药时间为2530 周。如右图所示：Y= - 0.1112*X2+6.5913*X+97.7943（注：Y表示患者体内的CD4的浓度随时间变化曲线，X表示时间）在问题二中，对不同艾滋病疗法的疗效评定主要以进行药物治疗期间病情波动剧烈程度、病情较用药前的改善程度、测试后期病情发展趋势来作出综合评价，这三个指标反映在LOG(CD4)浓度的变化上，建立了层次分析模型，对所给测试数据进行分析，得出不同疗法所起的治疗效果的一个定量的指标。利用期望准则，对各个疗法分别对不同的病人的治疗指标取均值，用来评价疗法的优劣。这4 个疗法中，整体上以疗法4 为最佳治疗方法。对最优疗法4 进行疗效预测，采用了对模型一进行简化变形得出模型三，利用LOG(CD4)浓度的波动情况分析预测最佳停药时间。然而考虑到了不同疗法对不同年龄段的疗效有所不同，进一步求出了各个年龄段的最优治疗方案，发现对 50 岁以上的患者来说疗法3 更优于疗法4。1243在问题三中，对疗法的评价兼顾了日治疗费用和治疗效果两个方面。我们巧妙地利用疗效最优的疗法4 的日治疗费用(3.65 美元，约为人民币29.2 元)超出了不发达国家在艾滋病治疗中投入资本的水平而否定了疗法4 的可行性，同时将疗法4 作为一个参照值，用一种退而求其次的思想，对其他三种方案进行综合评价，给出该问题中的最优方案为疗法 3。二、关键词数据标准化 层次分析法 拟合 浓度增长率三、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从 1981 年发现以来的20 多年间，它已经吞噬了近3000 万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV ）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4 被HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS 发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS 的疗法，目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS 疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320 （见附件1）是同时服用zidovudine （齐多夫定），lamivudine （拉美夫定）和indinavir （茚地那韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的CD4 和HIV 的浓度（每毫升血液里的数量）。193A （见附件2）是将 1300 多名病人随机地分为4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺HIV 浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加2.25 mg zalcitabine （扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。请你完成以下问题：（1）利用附件1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2 的数据，评价4 种疗法的优劣（仅以CD4 为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudine 1.60 美元，400mg didanosine 0.85 美元，2.25 mg zalcitabine 1.85 美元，400 mgnevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑4 种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。模型假设(1)假设对药物疗效进行测试的后期药效已起较为显著作用；(2)假设在问题一中对病人所进行的治疗为第 0 种疗法；(3)假设所给数据在实际中是具有代表意义的。一、问题一的分析：CD4浓度随时间变化曲线通过分析附录中“附表一数据”，其中有一部分数据为空值，为方便研究，我们将这些数据进行删除处理。将处理过的数据导入MATLAB中进行分析，建立以时间为横坐标，CD4的浓度为纵坐标（图1.1）；以时间为横坐标，HIV浓度为纵坐标（图1.2）的坐标系，用所有散点数据拟合出CD4浓度与HIV浓度关于时间的变化曲线。图1.1（CD4浓度变化曲线） Y= - 0.1112*X2+6.5913*X+97.7943图1.2（HIV浓度变化曲线）Y=0.0033*X2 - 0.1626*X+ 4.3976HIV浓度随时间变化曲线程序如下：p=polyfit(a(:,2),a(:,3),2);x=0:0.01:56;y=polyval(p,x);plot(x,y,r);hold on;grid onp1=polyfit(a(:,4),a(:,5),2);x=0:0.01:60;y1=polyval(p1,x);plot(x,y1,b);hold on;grid on注：a为附件一中数据。由图可知患者的最佳停药时间为：24.636429.6371周之间二、问题二的分析按照题意，我们将1300多名病人按年龄不同分为五组（注：数据在附录中的“表a1表a5”），第一组为15-25岁，记为a1组；第二组为26-35岁，记为a2组；第三组为36-45岁，记为a3组；第四组为46-55岁，记为a4组；第五组为56-75岁，记为a5组；（每组数据按疗法种类升序排列）每组人中均有4种疗法，因此对于该组患者，有4条曲线。将文本附件2导入excel文件进行分组之后，应用MATLAB绘图，从每幅图中找出最佳的治疗曲线，那么这条曲线就是最适合此年龄段的治疗方案。每组程序和图形如下：第一个年龄段（数据来自附录“表a1”）：4hold off;3p11=polyfit(a1(1:66,4),a1(1:66,5),2);x=0:0.01:50;1y1=polyval(p11,x); plot(x,y1,r);hold onp12=polyfit(a1(67:111,4),a1(67:111,5),2);y2=polyval(p12,x);plot(x,y2,g);2hold onp13=polyfit(a1(112:167,4),a1(112:167,5),2);y3=polyval(p13,x);plot(x,y3,c);hold onp14=polyfit(a1(168:224,4),a1(168:224,5),2);y4=polyval(p14,x);plot(x,y4,y); hold on如图可知：对第一个年龄段最佳疗法为第四个疗法，方程式为：y=-0.0008*x2+0.0316*x+2.5747最佳停药时间为19.7500周。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）第二个年龄段（数据来自附录“表a2”）：hold off;p21=polyfit(a2(1:508,4),a2(1:508,5),2); x=0:0.01:50;4y1=polyval(p21,x); plot(x,y1,r);3hold on1p22=polyfit(a2(509:1036,4),a2(509:1036,5),2);2y2=polyval(p22,x);plot(x,y2,g);hold onp23=polyfit(a2(1037:1527,4),a2(1037:1527,5),2);y3=polyval(p23,x);plot(x,y3,c);hold onp24=polyfit(a2(1528:2070,4),a2(1528:2070,5),2);y4=polyval(p24,x);plot(x,y4,y);title(26-35岁患者体内CD4浓度随时间变化图象);grid onhold on如图可知：对第二个年龄段最佳疗法为第四个疗法，方程式为：y=-0.0010*x2+0.0331*x+2.8938最佳停药时间为16.5500周。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）第三个年龄段（数据来自附录“表a3”）：hold off;p31=polyfit(a3(1:481,4),a3(1:481,5),2);34x=0:0.01:50;y1=polyval(p31,x); 21plot(x,y1,r);hold onp32=polyfit(a3(482:971,4),a3(482:971,5),2); y2=polyval(p32,x);plot(x,y2,g);hold onp33=polyfit(a3(972:1538,4),a3(972:1538,5),2);y3=polyval(p33,x);42plot(x,y3,c);hold on1p34=polyfit(a3(1539:2010,4),a3(1539:2010,5),2);y4=polyval(p34,x);plot(x,y4,y); title(36-45岁患者体内CD4浓度随时间变化图象);grid on3hold on如图可知：对第三个年龄段最佳疗法为第四个疗法，方程式为：y= -0.0010 *x2+ 0.0347*x+ 2.8268最佳停药时间为17.3500周。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）第四个年龄段（数据来自附录“表a4”）：hold off;p41=polyfit(a4(1:135,4),a4(1:135,5),2);x=0:0.01:50;y1=polyval(p41,x); plot(x,y1,r);hold onp42=polyfit(a4(136:305,4),a4(136:305,5),2);y2=polyval(p42,x);plot(x,y2,g);hold onp43=polyfit(a4(306:412,4),a4(306:412,5),2);y3=polyval(p43,x);plot(x,y3,c);hold onp44=polyfit(a4(413:574,4),a4(413:574,5),2);y4=polyval(p44,x);plot(x,y4,y);title(46-55岁患者体内CD4浓度随时间变化图象);grid onhold on如图可知：对第四个年龄段最佳疗法为第二个疗法，方程式为：y= 0.0005*x2 -0.0245*x+ 3.3626治疗效果越来越好。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）第五个年龄段（数据来自附录“表a5”）：4p51=polyfit(a5(1:28,4),a5(1:28,5),2);3x=0:0.01:50;2y1=polyval(p51,x); plot(x,y1,r);1hold onp52=polyfit(a5(29:45,4),a5(29:45,5),2);y2=polyval(p52,x);plot(x,y2,g);hold onp53=polyfit(a5(46:70,4),a5(46:70,5),2);y3=polyval(p53,x);plot(x,y3,c);hold onp54=polyfit(a5(71:119,4),a5(71:119,5),2);y4=polyval(p54,x);plot(x,y4,y);title(56-75岁患者体内CD4浓度随时间变化图象);grid onhold on如图可知：对第五个年龄段最佳疗法为第二个疗法，方程式为：y= 0.0010*x2 -0.0394 *x+ 3.4665治疗效果越来越好。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）3、问题三的分析：四种疗法的月消费:疗法第1疗法第2疗法第3疗法第4疗法月消费（美元）36.75103.573.5109.5月消费（RMB）243.579685.998487.158725.766 在这个问题中，除了要考虑四个疗法的疗效问题，同时还要考虑各个疗法的日治疗费用，属于一个双目标规划问题：疗效更优，日治疗费用更低。治疗方法关于时间的曲线的程序及曲线为（数据来自附录“表a”）：4hold offp1=polyfit(a(1:1239,4),a(1:1239,5),2)3x=0:0.01:55;y1=polyval(p1,x);211plot(x,y1,r);hold on% -0.0001*x2-0.0112*x+2.9612%p2=polyfit(a(1240:2490,4),a(1240:2490,5),2)x=0:0.01:55;y2=polyval(p2,x);plot(x,y2,g);hold on% -0.0002*x2-0.0067 *x+2.9662 %p3=polyfit(a(2491:3744,4),a(2491:3744,5),2)x=0:0.01:55;y3=polyval(p3,x);plot(x,y3,c);hold on%-0.0003*x2+0.0041 *x+2.9522%p4=polyfit(a(3745:5036,4),a(3745:5036,5),2)x=0:0.01:55;y4=polyval(p4,x);plot(x,y4,y);hold on%-0.0009*x2+0.0330*x+2.8784%由图可知：不同的治疗方法对于患者的治疗效果不同。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）费用是关于时间的一次函数关系：hold off;t=0:0.1:55;s1=1.225*t;s2=3.45*t;s3=2.45*t;s4=3.65*t;4plot(s1,t,r);hold on21plot(s2,t,g);hold on3plot(s3,t,c);hold onplot(s4,t,y);hold ontitle(费用随时间变化曲线)grid on在对病人治疗的时候CD4值随时间的变化率就是治疗的效果。（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）因此，费用随治疗效果变化的程序和曲线如下：hold off43h1=0:0.01:60; h2=0:0.01:60; h3=0:0.01:60; h4=0:0.01:60;21s1=1.225*(h1+0.0112)/0.0002;s2=3.45*(h2+0.0067)/ 0.0004;s3=2.45*(h3-0.0041)/ 0.0006;s4=3.65*(h4-0.0330)/0.0018;plot(s1,h1,r);hold onplot(s2,h2,g);hold onplot(s3,h3,c);hold onplot(s4,h4,y);hold on; title(费用随疗效变化曲线);grid on;（第i种疗法对应图中的第i条曲线，i=1，2,3,4）四、模型应用 当模型一(预测模型)应用于对进行该种药物治疗时，先对病人进行几次艾滋病毒 HIV浓度的测试，检验病人对这种疗效的适应性：如果病人体内 HIV 浓度下降了，则 表明病人对这种药物治疗能够适应，继续用药至4546周；否则如果 HIV 浓度没有降低则表明病人对这种疗法不是很适应，应该停止用药。 五、模型优缺点 在模型二中，采用层次分析法进行求解，使得问题细化，每个求解的规模都比较小， 使得数据的求解变得相对简单，不失为一种简便的评价方案。但是由于所构造的反映三个影响因子的函数都相对简单，从医学的角度来讲可能对一个疗法优劣的评价因素的考虑不够全面。 在模型四中，先考虑经济因素否定第4 种治疗方案的可行性，同时又利用其治疗效果及日治疗费用，将其他治疗方案跟第4 种方案的治疗效果下降量和日治疗花费的减少量来衡量其他方案的优劣。从模型实现的难易角度来看，这是一个简单有效的模型；但是简单的将治疗效果的下降量与日治疗费用的减少量的比值作为评价指标，从数学的角度来看这种处理没有很好的理论依据，其结果的准确程度有待考证。六、附录附表一数据017805.501405.3010104.545160454.346120463.446127373.9表a11313115.841204.98361313115.84127.285748412204.4067527219.359301.3863527219.359381.3863527219.35931601307314.902102.44231307314.90214.14292.70811307314.902111.57141.9459753415.797402.1401753415.797481.6094700422.899403.4177表a2490126.132803.0681490126.13289.42863.1781490126.132812.42862.8332878227.917916.71432.3979878227.917923.85712.3979878227.917935.42862.39791184327.400402.44231184327.400416.14291.9459412327.978101.3863299427.137630.85713.2189299427.137634.85712.0794173427.282703.3322表a3136136.030102.1972136136.03019.57140.6931136136.030122.42861.7918951240.7173401.3863951240.739203.6376951240.73927.71432.3979951240.739224.71432.8904853240.739232.57143.29581282240.777501.7918757336.774803.434757336.77488