第四章 第6节　函数y=Asin(ωx φ)

第6节函数y=Asin(ωx+φ)[课程标准要求]1.了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义,能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.夯实·必备知识知识梳理1.简谐运动的有关概念ωx+φφ2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个关键点如表所示:0π2π3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径重要结论1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).√××√CB10提升·关键能力函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换考点1AADAC解题策略·(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数,当ω为负值时应先变成正值.由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式考点2B解题策略·确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)解析式的步骤和方法(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上),或把图象的最高点或最低点代入.4三角函数图象与性质的综合问题考点3ABD角度1图象与性质的综合应用解题策略·研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.D角度2零点或方程根D解题策略·方程根的个数问题一般可转化为两个函数图象的交点个数问题.与三角函数有关的零点个数或方程根的个数问题,通常要画出三角函数的图象,用数形结合思想求解.C角度3实际应用[例5]

将图(1)所示的摩天轮抽象成图(2)所示的平面图形.摩天轮直径为40

m,中心O距地面21

m,按逆时针方向匀速转动,某游客从最低点A处登上摩天轮,6

min后第一次到达最高点.(1)游客登上摩天轮4min后到达B处,求该游客距离地面的高度.(3)当该游客甲登上摩天轮2min时,游客乙在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值.解题策略·三角函数的应用体现在两方面:一是直接利用已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,再利用三角函数的有关知识解决问题.其主要特征是用三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题,基本步骤有:①审清题意,读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景;②提炼出相应的数学问题,整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立三角函数模型;③利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型,求得结果;④将所得结论“翻译”成实际问题的答案.[针对训练]

(多选)潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象,观察发现某港口的潮汐涨落规律为y=Acos(ωt+φ)+k[其中A>0,ω>0,0<φ<π,y(单位:m)为港口水深,t(单位:时)为时间,0≤t≤24].若某轮船在水深大于13

m时可以进出港口,根据表格中的观测数据,下列说法正确的是(

)时间t1471013161922水深y1112.51412.51112.51412.5BC微点提能7三角函数中ω的求解微点解读三角函数的图象和性质是高考的重要内容,在三角函数的图象与性质中,ω的求解是近几年高考的一个重点、热点内容,试题主要以选择题、填空题的形式呈现,但因为与ω有关的因素较多,涉及的知识点多,所以其求法多样复杂,历来是复习中的难点,必须在复习中强化训练,学会灵活求解.题型演绎题型一三角函数的单调性与ωA解题策略·对于已知三角函数的单调区间的某一部分确定参数ω的取值范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,再利用它们之间的包含关系求解.另外,若是选择题,可考虑利用特值验证排除法简化计算;若是非单调问题,可以转化为区间内对称轴的存在性分析.C题型二三角函数的对称性与ωC解题策略·D题型三三角函数的零点与ωA解题策略·[拓展演练]

(2026·山西晋城模拟)已知函数f(x)=2cos

ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有4个零点,则ω的取值范围是

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题型四三角函数的最值(极值)与ωC解题策略·若已知三角函数的最值(极值),则