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文档简介

1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程 相等 焦点 准线 3 抛物线的简单几何性质 1 已知抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 抛物线上的点p m 2 到焦点的距离为4 则m的值为 a 4b 2c 4或 4d 12或 2 1 抛物线只有一种定义形式 在定义中 焦点f不在直线l上 否则它将表示一条直线 2 抛物线没有中心 只有一个顶点 一个焦点 一条准线 一条对称轴且离心率e 1 所以与椭圆 双曲线相比 它有许多特殊性质 可以借助几何知识来解决 3 抛物线的标准方程有四种形式 要掌握抛物线的方程与图形的对应关系 将抛物线y2 2px关于y轴 直线x y 0与x y 0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式 或者将抛物线y2 2px绕原点旋转 90 或180 也可得到抛物线的其他三种形式 这是它们的内在联系 即时巩固1 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点的坐标 解 由定义知 抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d 由图可知 求 pa pf 的问题可转化为求 pa d的问题 将x 3代入抛物线方程y2 2x 考点二求抛物线的标准方程 案例2 已知抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 且抛物线上一点 3 m 到焦点的距离为5 求抛物线的方程 关键提示 应分焦点在y轴正半轴 负半轴两种情况 考虑利用抛物线的定义 结合待定系数法求抛物线方程 即时巩固2 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 解 1 设所求的抛物线方程为y2 2px或x2 2py p 0 因为抛物线过点 3 2 所以4 2p 3 或9 2p 2 关键提示 利用抛物线的定义并结合平面几何知识进行证明 由平面几何知识可知 anb是直角三角形 即an bn 2 因为 am nm 所以 man mna 因为ac nm 所以 can mna 所以 man can 在 acn和 afn中 an an ac af 且 can fan 所以 acn afn 所以 nfa nca 90 即fn ab 由抛物线的焦点弦 准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形 有很多有趣的结论 借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明 对于与焦点弦有关的抛物线几何性质的证明 一般用几何法证明比用代数法证明更简单 所以对于一些解析几何问题 可以灵活运用平面几何性质并辅助代数运算进行 这就使我们的解析几何问题有了 双翼 解决问题思路将更开阔 即时巩固4 设抛物线y2 2
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