等离子体物理讲义05_冷等离子体波.pdf

1 等离子体物理学讲义等离子体物理学讲义 No 5 马 石 庄 2012 03 05 北京 2 第第讲 冷等离子体中的波讲 冷等离子体中的波 教学目的 教学目的 等离子体中的波动现象要比普通介质中的丰富得多 即便 热压力忽略不计 冷等离子体中存在静电波和电磁波及其耦合波 由 于电子和离子的质量相差悬殊 对于各种扰动的响应不 样 外磁场 的普遍存在更使得等离子体波动现象具有新的特点 主要内容 主要内容 1 静电振荡 3 2 1 等离子体振荡 4 2 2 正交静电振荡 8 2 3 低频 Alfven 波 12 2 电磁波 16 3 1 高频电磁波 17 3 2 垂向电磁波 21 3 3 平行电磁波 26 3 沿任意方向传播 30 3 1 介电张量 32 3 2 色散关系 35 3 3 波的传播 37 习题 5 42 附录 中国著名电离层物理学家 44 3 波动现象普遍存在于连续介质之中 通过认识介质中的波动现 象了解它的各种性质和状态 等离子体介质的特点就是它能与电磁场 相互作用 它是一种电介质 所谓等离子体波动就是等离子体粒子的 一种集体运动形式 它的特点由等离子体本身的性质和它所处的物理 条件所决定 当等离子体温度很低的情况下 当粒子的随机热运动速 度远小于波速 以及回旋半径 对磁化等离子体来说 远小于波长时 这时是冷等离子体 cold plasma 的基本方程组为带电粒子的运动方 程和连续性方程 当磁场存在时 可能有更多形式的波 需要定义正交 平行 纵 向 横向 静电和电磁等术语加以 对于以exp i 变化的 平面波 平行和垂直用来表示波数矢量 相对于未扰动磁场 的方位 纵向和横向是指 相对于振荡电场 的方向 如果振荡磁场 是零 波是静电的 否则 就是电滋波 由 Maxwell 方程 如果波是纵向的 0 波也是静电波 如果波是横向的 为 有限的 波为电磁波 当然 可能与 或 成任意角度 于是 应 当有这里所列出的主模的混合 1 静电振荡 1 静电振荡 对于 0非磁化等离子体 电场是静电场 4 代入双流体运动方程组 得到 0 Poisson 方程 这种情况是一般规则 Poisson 方程不能用来求出 的例外 考察 是简单的情形 假定在无限大空间中不存在磁场 离子均匀分布保持 静止 从垂直于磁场传播的高频静电电子振荡入手 2 1 等离子体振荡 2 1 等离子体振荡 如果等离子体中的电子与均匀的背景离子之间发生位移 将会 建立电场 其方向是把电子拉回初始位置 以恢复等离子体的中性 因为惯性 电子将冲过平衡位置 以特征频率围绕它们的平衡位置振 荡 这个特征频率称为等离子体频率 plasma frequency 这种振荡 是如此之快 以致电子质量 大得多的离子 无法响应 可以视离子 固定不动 在这最简单情况下 设电子只在 方向运动 0 因此不存在变化的磁场 这是一种静电振荡 电子 在这 用线 以忽 其中 等离 有 和 子的运动方 这种高频振 线性化方法 忽略包含高 中下标0表 离子体处于 方程和连 振荡情况 法解出上 高阶振幅 表示 平衡 于静止均 连续性方程 况下 电子 上述方程 幅因子项 衡状态 部 均匀中性状 5 程是 子惯性是重 线性化就 首先 把 部分 下标 状态 0 重要的 主 就是指扰动 把各物理量 标 1 表示 离子 0 0 主要是偏离 动振幅是小 量分成两部 示扰动部分 子静止不动 离中性的效 小量 从而 部分 分 平衡状 动 效应 而可 状态 0 6 代入动力学方程组 得到 0 其中 和 项是小振幅的二次项 可以忽略不计 在 Poisson 方程中 注意到 0 有 得到关于振荡量 的封闭的线性偏微分方程组 0 设振荡是正弦的 exp i exp i exp i 时间导数和空间梯度运算形式上可作替换 i i 偏微分方程组简化为关于 的齐次线性代数方程组 i 0 i i 0 i 0 7 有非平凡解的充分必要条件是系数行列式必须为零 i i i i 0 即 0 0规定了 之间的关系 称为色散关系色散关系 定义等离子体 频率 色散方程的解为 说明等离子体振荡频率 只取决于 而与波数 无关 群速度 0 因此 冷等离子体中的静电振荡是局地的 不会传播到其他地方 设想许多用弹簧等距离地悬挂重球 假如所有弹簧是相同的 每 个球将以同一个频率垂直振荡 要是各球以适当的位相起动 就可形 成一个能在任何一方向传播的波 频率由弹簧决定 波长则任意选 择 终端的两个末扰动球不受影响 初始扰动并没有传播 就像张紧 的绳子一样 行波或者驻波都可能产生 然而 绳子上的波必定要传 播 因为每段绳子都与邻近各段绳子相连 不具 就能 为等 初始 统大 停留 2 22 2 包含 固定 平衡 均匀 零 电子 当然这个 具有垂直于 能被描写成 等量的无 始扰动区域 大小是有 留在局部 正交静正交静电电 假定离子 含的频率 定 均匀 衡状态等 匀的 对于垂直 子运动线性 个类比并 于 方向的 成独立的 限大的正 域以外 限的 边缘 区域 等 电电振荡 振荡 子太重以 运动 它 的正电荷 离子体照 并且 直于 的 性化支配 不确切 的运动 只 在水平方 正负平面电 因而不能 缘电场引 等离子体振 以至不能以 它们形成一 荷本底 处 照例有恒定 且 和 的电子振荡 配方程为 8 因为等离 只要电子不 方向运动振 电荷层产生 能使邻近的 起对邻近 振荡发生传 以所 一个 处于 定和 为 荡 离子体振荡 不与离子或 振子 在这 生的电场为 的等离子体 近区域的扰 传播 荡具有 方 或其他电子 这个简单的 为零 电场 体层产生振 扰动耦合 方向的运动 子发生碰 的例子中 场不能扩展 振荡 实际 振荡就不 动而 撞 因 展到 际系 不再 9 0 考虑 的纵波 如图所示 选择 轴指向 和 方向 轴指 向 方向 去掉下标 将运动方程写成分量形式 i i 0 解出 i i 定义电子回旋频率 即 i 1 注意在回旋共振 时 变成无穷大 因为电场随 改变符号 因而连续不断地加速电子 由线性化连续性方程 与线性化 Poisson 方程联立 得到 即 整理 其中 磁场 等离 振荡 又回 电力 理为色散关 中 频率 场 传播 离子体振荡 这个振荡 荡的频率 回到等离 力随密度趋 下面考察 i 关系 H称为上 播的静电电 荡频率 荡的物理 当磁场趋 子体振荡 趋于零而 察离子的 1 上杂化频率 电子波所具 群速度 理图像如图 趋向于零 荡 当等离 而消失 就 静电振荡 10 i 率 upper 具有的频率 度再次为零 图所示 如 零时 色散 离子体密度 就展现为简 荡 仍假定 1 H r hybrid fr 率 而沿着 零 如同等离子 子形成压 而磁场施 力使轨道 子上的恢 和 Loren 使得振荡 散关系方程 度趋向零 简单的 Lar 定 requency 着 传播 子体振荡 压缩和稀疏 施加于运动 道变成椭圆 恢复力有两 ntz 力 恢 荡频率大 程中的 趋 趋向 rmor 回转 这是穿 播波的频率 平面中的 疏的区域 动 Lore 圆 作用在 两个 静电 恢复力的增 于等离于 趋向于零 向零 由于 转 穿过 率为 的电 然 entz 在电 电力 增加 于体 就 于静 11 几何位形如图所示 波前与磁场方向的夹角 2 取作足够小 以 致对于离子运动而言 可以取 和 i 对于电子来说 2 为零还是为小而有限 运动状 态会有很大不同 电子的 Larmor 半径如此小 使得它 们不能沿 方向运动以保持电荷中性 静电场 作用使得电子在 方向 来回漂移 如果 不准确地等于 2 电子就能沿图中的虚线 方向 运动 从波的负区域携带电荷到波的正区域 并实现 Debye 屏蔽 离 子不能有效地这样做 离子因为惯性使它们不能在一个周期内运动这 么长的距离 因此离子沿 方向的运动可以忽略 临界角 2 正比于离子与电子平行速度之比 只有小于这个值的 角度 下面的处理才是正确的 现在考虑当 2时发生的现象 离子的运动方程为 平面波在方向传播 分量方程为 i i i 消去 得到 1 12 其中 离子和电子的线性化连续性方程分别为 等离子体近似 要求 有 1 1 即 1 1 因此得到 当 2时 静电离子振荡具有的特征频率 L 称为下杂化频率 lower hybrid frequency 在所需精度内保持这个 条件很难 下杂化频率 就很少能观察到 低混杂波在极光区很 重要 经常和场向电流在一起 是极光区离子加热的重要因素 2 3 低频 Alfven 波 2 3 低频 Alfven 波 如图几何位形中 波矢 沿 方向 且 和 与 正交 和 同 时垂直于 和 由 Maxwell 方程 既然 低频 波动 离子 令 电子 然假定 频扰动 动方程的 子运动方程 子运动方程 电流 来 分量变为 程解 程的解 自于运动 为 i i 13 这个方 的离子和 i 1 1 然后取 i 方程只有 和电子的贡 取极限 0 i 分量非零 贡献 就 零 现在考 就得到对应 考虑 应的 14 在这个极限下 忽略了电子的 Larmor 回转 电子在 方向上作简单 的 漂移 各式合并消去 得到 i i 1 用离子等离子体频率定义 表示为 1 现在进一步假定 磁流体波的频率远远低于离子回旋共振频 率 得到 式中 是质量密度 整理上式得到 1 1 这个答案是意料中的 因为上式右边的分母是低频垂直运动的介电常 数 直接给出了电介质中电磁波的相速度 1 对大多数实验室等离子体而言 1 因此近似地有 磁流体波以恒速 沿 传播 称为 Alfven 速度 15 A 这是磁力线扰动传播的特征速度 现在介电常数能写成 1 注意到 对具有足够密度的发展充分的等离子体来讲 A是小量 因 此 是大值 为了理解在 Alfven 波中物理发生机制 这是一个具有涨落磁场 的电磁波 由下式给出 小分量 加到 上 引起磁力线的正弦波 如图所示 在 方向 如果 在 方向 电场 引起等离子体在 方向的一个 漂移 由于已取低频极限 根据离子运动方程和电子运动方程 离 子和电子都将有相同的漂移 因此 如图所示的那样 流体在 方 向上下运动 这个速度的大小是 由于磁场的扰动正 在以接近相速度 的速度运动 在图中示出的点上 磁力线也向下 运动 磁力线向下运动的速度 它刚好等于流体速度 这样 流体和场力线 块振荡 就像粒子粘着在磁力线上 一样 磁力线就像处张力作用下的有质量加载弦 而 Alfven 波能看 成由拨动弦产生的传播着的扰动 等离子体 冻结 在磁力线上 并 随磁力线运动的概念对理解低频等离子体现象是一种有用的概念 可 以证明 只要不存在沿磁场方向的电场 这种说法就是正确的 存在 在 且与 个简 通过 荡的 等离 另外 当 涨落 在一个极 方向流动 与速度 简谐振子上 过电磁力 的 讨论无摩 离子体波 外两个方程 落时 离子 化漂移 P 动的电流 相位差 上的恢复 以复杂得 摩阻力 问题 联 程 子的惯性 P 这个漂 产生在 2 复力相位要 得多途径传 0的情 联合使用方 16 性使它们落 漂移 由离 在流体上的 力使振 要超前速度 传递 正是 2 电磁2 电磁波波 情形 对于 方程 1 落在电子后 离子运动 的作用力 振荡继续下 度一样 当 离子的惯 波波 于 0磁 0 后面 并且 动方程给出 在 下去 这正 当然在等离 惯性引起过 磁化等离子 且在 方向 出 由此引 方向上 正如作用在 离子体中动 过冲和持续 子体 求解 向上 引起 并 在一 动量 续振 解冷 17 作为初始条件 换言之 如果在某一时刻满足 今后就永远满足 复习 真空中的电磁波理论 Maxwell 方程组 0 无电荷无电流 其中光速 第一个方程的旋度 代入到第二个方 程的时间微商 就得到波动方程 假定平面波以exp i 变化 时间导数和空间梯度运算可以作替换 i i 得到 0 注意到 因此 0 有非平凡解 则 3 1 高频电磁波 3 1 高频电磁波 通过非磁化均匀冷等离子体可以传播高频电磁波 如光波或无线 电波 这时在等离子体中 扰动电场 和扰动磁场 同时存在 通过 电磁感应的方式在等离子体中传播 并且可以脱离等离子体传播出去 非磁化冷等离子体中 0 0都保持 有效 由于带电粒子运动引起电流 真空方程 必 须修正为 18 1 上式对时间的偏微商 1 方程 旋度是 消去 并假定以平面波exp i 变化 时间导数 和空间梯度运算可以作替换 i i 得到 i 按照横波 0 有 i 如果考虑光波或微波 频率如此之高乃至离子可考虑成固定的 于是 电流 完全来自电子运动 从冷等离子体线性化电子运动方程 得到 19 i 与电场的波动方程合并 得到 i i 等式的右端项系数刚好是电子等离子体平率 结果为 这是在无磁化等离子体中传播的电磁被的色散关系 与真空电磁波的 色散关系相比 增加了一个描述等离子体振荡的 项 由于群速度 d d 而等离子体中光波的相速度 大于光速 所以群速度小于光速 色散关系在图中示出 显示一种截止 cutoff 现象 若通过等离子 体发射给定频率的微波束 等离子体中的波长将遵从色散关系规定的 值 当等离子体密度 增加 也就是 增大时 必定变小 也就是 波长变长 最后达到使 为零的密度 对任何实数 色散关系都不 再满足 波停止传播 截止发生在 的临界密度 如果 此时 由于 大多 离层 地球 果等离子体 时色散关系 于波的空 多数实验室 短波无线 层的一个高 球传送信号 体密度 太 系表明 间变化为 室等离子 线电通讯 高度 那里 号成为可 太大或波频 是虚数 为exp i 子体 截止 讯就依赖于 里的等离 可能 如果 20 频 太低 i 如果 止频率处于 于等离子体 离子体密度 果取最大密 电磁波就 是虚数 于微波区域 体截止效应 度足够致密 密度是10 就不能通过 波将按指 域 应 当无线 密就被反射 m 临 过等离子 指数衰减 线电波到达 射 使得围 临界频率量 体 对 达电 围绕 量级 就有 临界 引起 3 23 2 寻常 与 这种 在等 学中 受到 有10MHz 界值 当 起等离子体 垂向电垂向电磁磁 考虑磁 常波 0情形 种 等离子体物 中要把它称 下面讨论 到 的影 为了穿过 空间飞船 体截止 磁磁波波 场 0 横波 情形 形一样 的波称为 物理学中 称作 非 论非寻常 影响 色散 过电离层 船再入大气 导致再入 0时电磁波 存在 形 此时 结果仍为 为寻常波 中 寻常波 非寻常波 常波 散关系就会 21 层 地面与 气层 强烈 入期间的通 波垂直传 与 平行 为 寻常和非 波 是不 情形 会改变 处 空间飞船 烈的热摩擦 通讯中断 传播情形 行或垂直 波动方程 给出 由 分量 满 非寻常的术 受磁场影 设 垂 处理这种 船的通讯频 擦产生等离 称为 黑 直于两种选 程仍由 满足运动方 术语来自于 影响的波 直于 情况 不 频率必需高 离子体鞘 黑障区 如图示 选择 先讨 i 只需要 方程 于晶体光 而在晶体 电子运动 不可以再使 高于 层 示 讨论 要 学 体光 动将 使用 而不 向分 此必 现在 只有 下标 波动 不再是平面 分量 一 必须让 具 在 线性化 有 分量和 标 1 和 已 动方程仍为 面偏振 换 一部分变 具有 和 化电子运 i 和 分量是 i 已经去掉 为 换言之 当 成为纵波 两个分量 运动方程是 是非零的 解出 和 i i 22 的假定 当这种波传 波而另一部 量 是 和 得 定 因为 传入等离于 部分变为横 i 得到 1 1 波 于体时 会 横波 如下 波是椭圆偏 会产生沿 下图所示 偏振 方 为 23 i 其中需要保留纵向项 得到 i i 把 分量和 分量分开 利用关于 与 的关系式 有 i i 1 i i 1 引入 的定义 可以整理为 1 i 0 i 1 0 联立这关于 的齐次代数方程组 有非平凡解当且仅当系数行列 式为零 0 引入上混杂频率 则有 1 引入折射率 整理得到非寻常波的色散关系 24 1 非寻常波的色散关系比前面的色散关系要复杂得多 当折射率 0时 也就是波长变成无穷大时 在等离子体中发生截止 当折 射率变为无穷大 时 也就是波长变为零时 等离子体中发生共 振 resonance 当电磁波通过 和 发生变化的区域传播时 可能 会遇到截止 cutoff 和共振 一般地说 波在截止点被反射 在共 振点被吸收 令非寻常波的色散关系中的 趋于无穷大 能得到非寻常波的共 振 对任何有限大小的 意味 因此共振就发生在等 离子体中满足下列条件的点 很容易认出这就是穿过 传播的静电波的色散关系 当给定 的波接 近于共振点时 其相速度和群速度都趋于零 波的能量被转化成上杂 化振荡 非寻常波是部分电磁和部分静电的波 在共振点时 很容易 证明 这种波损失了它的电磁特性而变成一种静电振荡 令非寻常波的色散关系中的 等于零 就求出非寻常波的截止 除 以 能将 的方程写成 1 1 1 整理 1 即 两个 和 习惯 别称 图表 波遇 就向 面的 波进 个符号各给 惯上 总是 称为右旋截 截止和共 表示 设想 遇到密度增 向右移动 的观点 可 进一步传 给出一个 是取正值的 截止频率 共振频率 想 是固 增大的区 这和固 可以看到 播时 个不同的截 1 2 1 2 的 在 率和左旋截 率把色散图 定的 固 域时 频 定密度逐 在高 增加直到 25 截止频率 方向行进 截止频率 图分成传播 固定频率 频率 逐步减少频 或低密度 到遇见右旋 0 这对二次 4 4 进的波用 播区域和非 的波从外 频率 的情 度 时 相 旋截止频率 次方程的根 来描述 非传播区域 外面进入等 全都增 情况是相同 相速度接近 率 为止 根是 和 域 用 等离子体 增大 在图 同的 采用 近于光速 止 此时在 分 当 图中 用后 当 在那 里 能传 波又 否小 分开 有一 3 33 3 如果 其分 变成 传播 当 又能传播 小于 波 开的传播 一个截止并 平行电平行电磁磁 现在令 果直接地将 分量式为 无穷大 存 在这个 色散方程 波再次不能 区域 作 并没有共 磁磁波 波 沿着 轴 将 从 在 存在共振 区域 至 程清楚显示 能传播的区 为比较 共振 轴且 有两 变到 26 和 点 变零 至于波传播 示 在 区域 所以 下图示给 两个横向分 仍然能 之间 零 在 播的是否比 时 以 非寻 给出寻常波 分量 和 能用非寻常 i 为 和 比光速快 波以光速 寻常波有两 波的同类曲 常波方程 i 为负值 波 之间 取决于 速 传播 两个由截止 曲线 其中 波不 间 是 当 止带 中只 27 1 i 1 i 使用记号 1 可把 和 的方程联立 i 0 i 0 令系数行列式等于零 得到 0 有 因此 1 符号 表明可能有两种解 相应地表明沿 可以传播两种不同的电磁 波 其色散关系分别为 1 1 波 和 1 1 波 可以 和左 场矢 程只 向传 是右 波 变 和电 不能 不能 波 因为 以证明 左旋圆偏 矢量随时 只与 有 传播的波 右旋 波 波 和椭 下面考察 变成无穷大 电子的回转 能传播 对 能与电子 波没有共振 为它会在离 波和 波 振 见习 间顺时针 关 电场 偏振是相 和左旋 椭圆偏振波 察 波和 大 电磁波 转方向相 对于 波而 回旋发生 振 如果再 离子回转 波是圆偏振 习题 如下 针旋转 而 场矢量旋转 相同的 概 波 圆偏 波 波 波的截止 波与电子的 同 在不 而言 电磁波 生共振 从 再包括离子 转的方向上 28 振的 符号 下图所示 而 波的电 转方向与 概括地讲 偏振 穿过 止和共振 的回旋运 不断加速电 波在电子 波的色散 子运动 将 上旋转 号 和 分 示 沿着 场矢量刚 的符号无 讲 沿着 传播的 对于 波 动共振 电子的过程 子的回旋运 散方程中容 将会发现 分别指的是 的方向观 刚好相反 无关 换言 传播的主 的主电磁波 波而言 在 偏振平面 程中 波损 运动相反的 容易看到 波在 是右旋圆偏 观察 波 由于色散 言之在相反 主要的电磁 波是平面偏 在 面的旋转方 损失能量因 的方向旋转 对于正 有共振 偏振 波电 散方 反方 磁波 偏振 时 方向 因而 转 值 振 截止 波 这就 在低 为和 其频 w 间函 低频 听到 在 波和 止的方程相 波取负号 就是前面选 低频时 波 和 波相类 频率低于 whistler m 通过无线 函数接收到 频分支所 到它 这种 和 波色散 相同 截 截止频率 选取 波有一个截 类似 波 相速 mode 对 线电发射 到的频谱 引起的弯 种现象很 散方程中 截止频率也 率 较高 符号的 截止带 除 波在 和 速度 对电离层现 射研究音频 谱 哨声信 弯曲 存在 很容易 波 29 令 0就 也和 波相 高 波取正 的原因 除了截止发 之间截 在此低 现象研究 频区域不同 号的实际 在着一组典 的色散特 就得到截止 同 0 正号 截 波和 波 发生在 截止 但是 低频区域的 极为重要 同哨声研究 际频谱 显 典型的下降 性来解释 止 得到的 止频率 波色散曲线 而不是 是存在第二 的波称为哨 要 究电离层 显示了 R 波 降滑音 通 释 的方程与 较低 其 线如下图示 外 它的 二个传播 哨声波模 下图作为 波色散关系 通过扬声器 波 其实 示 的行 带 为时 系的 器能 30 在频谱记录中 当南半球发生一次闪电时 在电离层和磁层的等 离子体中产生全频段射频噪声 沿地球磁场传播 在北半球的观测站 可以记录到 不同频率的哨声在不同时间到达 对于 2 相 速度和群速度均随频率增加 因此低频噪声较晚到达导致下降的音调 由于这些波能沿不同的磁力线传播 一次闪电能产生几次哨声 由于 哨声波的 波的频率必定比沿磁力线的回转频率低 3 沿任意方向传播 3 沿任意方向传播 整体介绍对磁化等离子体波 这是一组非常有用的方程 作为讨论更复杂的波运动的参照系要牢记在心 通常能把一个复 杂的情形地解为这些基本振荡模式的变形或者迭加 冷等离子体 基本状态 0 0 常数 常数 小扰动 31 小结 基本等离子体波 类别 传播方向 色散方程名称 静电 电子波 0 等离子体振荡 上杂化振荡 静电 离子波 0 L 下杂化振荡 电子 电磁波 0 0 光波 1 波 1 波 1 1 波 哨声波 1 1 波 离子 电磁波 0 A Alfven 波 冷等离子体线性化支配方程 0 1 还有两个方程视为初始条件存在 32 1 换言之 如果在某一时刻满足 今后就永远满足 3 1 介电张量3 1 介电张量 消去 得到 1 引入电导率张量 把电流 按照电场 表示 设扰动量随exp i 引入无量纲波数矢量 和介电张量 i 其中 是单位张量 可把波动方程化简为 i 整理为 0 这个方程要有非平凡解 色散关系包含波在冷等离子体中传播的所有 信息 选取基本状态磁场 33 为了求出电导率张量 的全部分量 就必须求解带电粒子的运动方 程 把第 种带电粒子的回旋频率记为 则带电粒子的运动方程表示为分量形式 i i i 表示成矩阵形式 i 0 i 0 00 i 求系数矩阵的逆 i 0 i 0 00 i 电流矢量 i 0 i 0 00 i 得到电导率张量的分量表示 34 i 0 i 0 00 i 因此介电张量的分量表示 i 0 i 0 00 其中 1 1 引入分解 1 2 1 2 得到 1 1 因此当 时 发散 时 发散 既然 离子回转频率是正的 电子回转频率是负的 因此在因此当 时 发散 在 时 发散 当 时 1 当 0时 必须仔细地处理 由于 因此 35 从而当 0时 1 1 1 1 1 1 换言之 在低频段 都与 Alven 波相关 引入 得到 1 1 1 1 3 2 色散关系 3 2 色散关系 为求得色散关系 不失一般性 围绕磁场 旋转坐标系使得反射 系数向量 位于 平面上 sin 0 cos 代入 0 36 得到 cos 0 sin cos 0 0 sin cos 0 sin i 0 i 0 00 0 合并为 cos i sin cos i 0 sin cos 0 sin 0 非零解的充要条件是系数矩阵为零 sin cos sin cos sin cos 0 37 使用恒等关系 化简为关于 的二次代数方程 0 称为冷等离子体波的色散关系 其中 sin cos sin 1 cos 有解 4 2 其中 4 sin 4 cos 0 由于 都是实数 4 也是实数 因此 折射系数要么是 纯实数 0 相应于传播波 要么是纯虚数 0 相应于衰减波 复的折射系数是不存在的 如若不然就意味着波要从等离子体中吸收 能量 在无碰撞的情形中 冷等离子体中不能发生能量吸收 因为没 有把有序波动转化为无序热运动的物理机制 色散关系的另一种表示 是在两端同时乘以sin cos 1 约化为 tan 把波关于磁场 的传播角 无量纲量 联系起来 3 3 波的传播 3 3 波的传播 当 0时 发生截止现象 相应的条件是 0 对应于三种 情况 38 0 或者 0 或者 0 相应的频率称为截止频率 0 0 4 2 0 4 2 当 时 发生截止现象 相应的条件是 0 即共振角 tan 注意到 共振角 如果存在 一定介于0和 2之间 并且关于0和 2 是对称的 物理上是关于磁场 指向的角向对称性与波传播方向 的 对称性 因此 波的共振传播要么是 a 0 而不是 2 要么是 b 2 而不是0 当 a 0或者 2时 波动消失 称为主共振 principal resonances 39 主共振发生条件是 0 0 或者 1 2 2 0 第一种可能是退化的 当 0和 0时 系数 0 第 二种可能是有意义的 0的条件对应于电子回旋共振 当 和离子回旋共振 当 在 2处第二种可能是当 0 即 0 的主共振发生 解出 2 1 1 4 40 与电子和离子均有关 而在 0时的回旋共振要么只与电子有关要 么只与离子有关不同 因此称为混杂共振 hybrid resonances 由 于根式中第二项总是远远小于 1 的 则可以把根式展开得到近似解 下标 和 分别对应于上混杂共振 upper hybrid resonances 和 下混杂共振 lower hybrid resonances 当波的传播与磁场成夹 角 时 相速度随角度变化 前述的那些 模彼此连续 地互变 有些模遇到临界角时会消失掉 为了澄清了这种复杂情况 Clemmow and Mullaly 1955 Allis 1955 给出后来 T H Stix 命名 CMA 图 用来对冷等离子体波进 行分类 注意 CMA 图仅对冷等离子体是正确的 有限温度将导致复 杂性 等价地说 CMA 图是一张磁场对密度的变化图 对给定频率 由 和 所表征的情况由图中一点表示 全部空间被几条 不同的截止线和共振线分成若干 例如 非寻常波在 的 截止是 和 间的二次关系 所得到的抛物线就是在 CMA 图 上标有 上杂化共振 的曲线 这些截止和共振曲线把全图分成各种 波的传播区域和非传播区域 所以 在不同区域中存在的波将是各种 各样的 在每个区域中的小图不仅仅指明存在着那些播 而且也指明 它们相速度如何定性地随角度 变化 设磁场是在图上的垂直方向 以 一个角度 从中心到椭圆或 8 字形上任何一点的距离正比于磁场成 41 角度传播的波的相速度 例如 在图中 7 的准三角形区中 可以看 到 当 从0变到2 时 波变成了 波 波速度小于 波 并当 从0变 到2 时消失了 而不能变成 波 因为在此区域中 波 不存在 CMA 图的上部对应于 在这里可以发现低频离子波 由 于已经忽略了热速度 只能在热等离子体中传播的静电离子波不出 现 可以把 CMA 图看成一个 等离子体池 plasma pond 落在每 个区域的小石子将发出类似于所示形状的那种涟波 相位 对 它们 间的 如下 导出 的 轨道 从运 的表 传播 示 面 1 对于 的简单等 位 画出 0 们之间的相 的图像 如 2 把等 下形式 出适用于 的表达式 3 对于 道总是在波 运动方程 表达式 4 求出 播的静电 选择 轴 如图所示 于一个具有 等离子体 出表示 作为 的 相对相位 如同波通 等离子体振 高频