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文档简介
平面图形的面积 旋转体的体积 定积分的元素法 复习曲边梯形的面积计算方法 演示 定积分的元素法分析 演示 定积分的元素法 演示 应用定积分的元素法解决问题时 关键在于确定积分元素f x dx和积分区间 a b 一般地 若所求量U与变量的变化区间 a b 有关 且关于 a b 具有可加性 在 a b 中的任意一个小区间 x x dx 上找出部分量的近似值dU f x dx 得所求量的定积分表达式这种方法叫做定积分的元素法 dU f x dx称为所求量U的元素 直角坐标系下的平面图形的面积 演示 1 由x a x b y 0及y f x 所围成的平面图形的面积为 2 由x a x b y f x 及y g x 所围平面图形的面积为 3 由y c y d x 0及x y 所围平面图形的面积为 平面图形的面积例题选举 例1计算由及所围成的图形的面积 例2计算由和所围成的图形的面积 例3求椭圆的面积 解 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式 1 2 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式 4 5 一般地 如右图中的阴影部分的面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式 6 或 法一 以y作积分变量 法二 以x作积分变量 7 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式 例5求由下列给定曲线所围成的图形面积 星形线 解由图形的对称性可得 即 旋转体的概念 平面图形绕同一平面上某一定直线 旋转轴 旋转一周所得的立体 演示 旋转体的体积 示例 圆锥 圆柱 圆台 球等都是旋转体 演示 旋转体的体积计算公式 1 旋转轴为x轴 演示 由x a x b y 0 y f x a0 所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y c y d x 0 x g y c0 所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2 旋转轴为y轴 演示 旋转体的体积计算公式 例1连接坐标原点O及点P h r 的直线 直线x h及x轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r 高为h的圆锥体 计算圆锥体的体积 解如图所示 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 旋转体的体积例题选举 例2求星形线绕轴旋转构成旋转体的体积 返回 例3计算由曲线y x2与x y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积 解如图所示 V2 V1 练习 写出下列旋转体体积的定积分表达式 绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 练习 写出下列旋转体体积的定积分表达式 绕x轴旋转一周 轴 轴 练习 写出下列旋转体体积的定积分表达式 绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 练习 写出下列旋转体体积的定积分表达式 绕y轴旋转一周 例4求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周而构成的旋转体的体积 再见 2 问题的提出 返回 定积分元素法分析 返回 定积分元素法 返回 平面图形的面积 直角坐标 返回 求面积例题1 返回 面积例题2 返回 求面积例题3 返回 例4求椭圆面积 返回 旋转体
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