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浅谈高中数学中的概率论知识徐荷花澜沧一中摘要：概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支. 在高中数学中, 粗浅的介绍了概率论与数理统计的基本知识, 但同学们仍然对概率论的整体图景没有一个清晰的认识. 本文通过对概率论基本概念的介绍, 引入两大概型, 并浅略的介绍一下Monte-Carlo方法和Bertrand奇论. 关键词：概率论; 古典概型; 几何概型; Monte-Carlo方法; Bertrand奇论;A Brief Introduction to the Probability Theory of Mathematical Teaching in High SchoolAbstract: The Probability theory is a branch of mathematics which aims to study the laws of random phenomena. In high school, students have learnt how to solve simple probability problems, but they still do not have a clear understanding to the Probability theory. In this article, we will introduce the basic concepts of the Probability theory; advance the classical probability models and geometrical probability models. Eventually, we will give a brief introduction to Monte-Carlo method and Bertrand Paradox. Key words: the Probability theory; Classical probability models; Geometrical probability models; Monte-Carlo method; Bertrand Paradox; 一、 引言概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支. 在高中数学中, 粗浅的介绍了概率论与数理统计的基本知识, 但同学们仍然对概率论的整体图景没有一个清晰的认识. 本文通过对概率论基本概念的介绍, 引入两大概型, 并浅略的介绍一下Monte-Carlo方法和Bertrand奇论.二、 概率论研究的对象和任务一类现象, 在个别实验或观测中呈现出不确定性, 在大量重复实验或观测时, 又具有统计规律性, 我们称它是随机现象. 随机现象中事件发生的可能性大小是客观存在的, 因此可以对他进行量度. 量度的数量指标就是概率. 三、 事件与概率一个试验, 如果在一定条件下可重复, 试验结果不止一个, 并且每次试验时, 我们不能肯定是哪一个结果出现, 这样的试验称为随机试验. 随机试验里最基本的不能在分解的结果叫做基本事件. 由若干个基本结果组合而成的集合, 我们称之为复合事件. 基本事件和符合事件, 泛称事件. 利用集合论的概念, 我们定义如下：设F是一个抽象的非空点集的一些子集组成的集合, 满足1 F2 若AF, 则A-AF3 若AiF, i=1, 2, n, 则i=1AiF则称F为事件域. 称F中每一元素为事件. 且有以下定理：1 F2 若AiF, i=1, 2, n, 则i=1nAiF4 如至多可列个AiF, i=1, 2, n, 则至多可列次的交集iAiF3 如A, BF, 则A-BABF对以上定理我们不加证明, 有兴趣的读者可以自行阅读相关书籍. 四、 概率的定义事件的概率可以看成以事件为自变量的一个函数. 严格的定义如下1 非负性：P(A)0, AF2 正则性：P=13 可列可加性：若AiF, i=1, 2, , 且两两不相交, 即AiAj=, ij, 便有Pi=1Ai=i=1PAi则称P为定义在F上的概率. 称P(A)是事件A的概率. 对于概率的性质, 我们有以下定理：1 P=02 有限可加性：若AiF, i=1, 2, , n, 且两两不相交, 则Pi=1nAi=i=1nPAi3 设AF, 则PA=1-P(A)4 单调性：如果AB, 则P(A)P(B)5 连续性：设AiF单调, 即AiAi+1或即AiAi+1, i=1, 2, , 此时分别定义limnAn=n=1An或limnAn=n=1An, 则PlimnAn=limnP(An)对于我们所观测的对象, 定义了基于集合论的事件体F和基于测度论的概率, 我们称三元体(, F, P)为概率空间. 五、 两大概型1. 古典概型基本事件个数有限且等可能的概率模型, 称之为古典概型. 在古典概型中, 可记空间=1, 2, , n, 每一个i为一个样本点或一个基本场合, 基本事件的概率P1=Pi=1N, i=1, 2, N, 而F由的一切子集组成. 若事件A中有nA个样本点, 则PA=nAN. 有时也记为含义更清楚的n. 这样PA=nAn两点分布, 二项分布, 泊松分布, 几何分布与超几何分布都是古典概型. 2. 几何概型古典概型, 其基本事件有限且等可能. 而几何概型则基本事件无限, 且“等可能”. 为了说明这一点, 我们首先引出L-可测的概念. L-可测：一个区域或集合, 若其n维体积可测, 则称其为n维Lebesgue可测, 记为L-可测. 有了L-可测, 我们如下定义几何概型. 设为Rn中一个L-可测区域, 且0L, F为中所L-可测子集. 令PA=LA/L(), A, 且A, F. 则此种概型称为几何概型. 3. Monte-Carlo方法(Buffon问题) 平面上画有一族平行线, 相邻两针相距为a. 从上方足够高度处向此处投一长为l (a) 的针. 求此针与平行线相交的概率p. 解: 记x为针的中点到这条直线的距离; 为针与这条直线的夹角. 于是=(x, )|0xa2, 0 A=(x, )|xl2sin, (x, )从而针与平行线相交的概率p=LAL=0l2sind12a=2la注意到频率的稳定性, 如果投针次数为N, 相交次数为n (N), 则当N足够大时, nNp=2la, 故 2lNan也就是说，只要合理的选定a和l (a) . 并耐心的做这种投针试验足够多次, 就能够以相当高的精度求出的近似值. 数学家们做了这种试验, 一些结果如下表所示: 实验者年代试验次数求得的Wolf185050003.1596Smith185532043.1533De Morgan, C.18606003.137Fox188410303.1595Lazzarini190134083.1415929Reina192525203.1795像这样, 设计一个简单的试验, 用概率统计的方法去求一个复杂问题的近似解, 这就是著名的Monte-Carlo方法.4. Bertrand奇论问题: 在单位圆内随机的取一条弦, 求其长超过该圆内接等边三角形边长3的概率p. 这个几何概率问题, 基于对术语 “随机的” 含义的不同解释, 存在多种不同的答案.解I任何弦交圆周两点, 不失一般性, 先固定其中一定A于圆周上, 以此点为顶点做一等边三角形. 显然只有落入此三角形内的弦才满足要求, 这种弦的另一端B跑过的弧长为整个圆周的1/3, 故所求概率等于1/3. 解II弦长只与它与圆心的距离相关, 而与方向无关, 因此可以假定它垂直于某一直径, 且当且仅当它与圆心的距离小于1/2时, 其长才大于3, 因此所求的概率为1/2. 解III弦被其中点唯一确定. 当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时, 弦长大于3. 此小圆面积为大圆面积的1/4, 故所求概率为1/4.参考文献：1葛余博. 概率论与数理统计. 北京: 清华大学出版社, 2005年2王晓峰