高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第四节 用样本估计总体课件 文.ppt

第四节用样本估计总体 总纲目录 教材研读 1 作频率分布直方图的步骤 考点突破 2 频率分布折线图和总体密度曲线 3 茎叶图的优点 考点二茎叶图 考点一频率分布直方图 4 样本的数字特征 考点三样本的数字特征 1 作频率分布直方图的步骤 1 求极差 一组数据中 最大值与 最小值的差 2 决定 组距与 组数 3 将数据 分组 4 列 频率分布表 5 画 频率分布直方图 教材研读 2 频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 就得到频率分布折线图 2 总体密度曲线 一般地 随着样本容量的增加 作频率分布直方图时 所分组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 3 茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据 而且可以随时记录 4 样本的数字特征 1 众数 中位数 平均数 ii 方差 标准差的平方s2 s2 x1 2 x2 2 xn 2 2 标准差 方差 i 标准差 表示样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 s 与平均数有关的结论 1 若给定一组数据x1 x2 xn的平均数为 则ax1 ax2 axn的平均数为a 2 若给定一组数据x1 x2 xn的平均数为 则ax1 b ax2 b axn b的平均数为a b 3 若m个数的平均数是x n个数的平均数是y 则这 m n 个数的平均数是 若两组数据x1 x2 xn和y1 y2 yn的平均数分别是和 则x1 y1 x2 y2 xn yn的平均数是 与方差有关的结论 1 若给定一组数据x1 x2 xn 其方差为s2 则ax1 ax2 axn的方差为a2s2 2 若给定一组数据x1 x2 xn 其方差为s2 则ax1 b ax2 b axn b的方差为a2s2 特别地 当a 1时 有x1 b x2 b xn b的方差为s2 这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数 方差是不变的 即不影响数据的波动性 1 某中学初中部共有110名教师 高中部共有150名教师 其性别比例如图所示 则该校女教师的人数为 a 93b 123c 137d 167 答案c初中部女教师人数为110 70 77 高中部女教师人数为150 1 60 60 所以该校女教师的人数为77 60 137 故选c c 2 10名工人某天生产同一种零件 生产的件数分别是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为a 中位数为b 众数为c 则有 a a b cb b c ac c a bd c b a 答案da 14 7 因为这组数据中 17出现的次数最多 故c 17 这些数据由小到大排列依次是10 12 14 14 15 15 16 17 17 17 因此b 15 所以c b a d 3 2017北京海淀二模 北京市2016年12个月的pm2 5平均浓度指数如图所示 由图判断 四个季度中pm2 5的平均浓度指数方差最小的是 a 第一季度b 第二季度 c 第三季度d 第四季度 答案b方差越小数据越稳定 由题图知 第二季度的三个月波动最小 b 4 2016北京东城二模 下图是一组数据的频率分布直方图 估计该组数据的中位数是 a 10b 12c 13d 16 c 答案c由题图可设该组数据的中位数为10 x 由题意 得0 04 5 x 0 1 0 5 解得x 3 故估计该组数据的中位数是13 5 2015北京通州一模 某同学7次考试的分数的茎叶图如图所示 这名同学7次考试的分数的平均数是86 那么m 3 考点突破 1 从总体的400名学生中随机抽取一人 估计其分数小于70的概率 2 已知样本中分数小于40的学生有5人 试估计总体中分数在区间 40 50 内的人数 3 已知样本中有一半男生的分数不小于70 且样本中分数不小于70的男女生人数相等 试估计总体中男生和女生人数的比例 解析本题考查频率分布直方图 古典概型 分层抽样方法 考查运算求解能力 1 根据频率分布直方图可知 样本中分数不小于70的频率为 0 02 0 04 10 0 6 所以样本中分数小于70的频率为1 0 6 0 4 所以从总体的400名学生中随机抽取一人 其分数小于70的概率估计为0 4 2 根据题意 样本中分数不小于50的频率为 0 01 0 02 0 04 0 02 10 0 9 分数在区间 40 50 内的人数为100 100 0 9 5 5 所以总体中分数在区间 40 50 内的人数估计为400 20 3 由题意可知 样本中分数不小于70的学生人数为 0 02 0 04 10 100 60 所以样本中分数不小于70的男生人数为60 30 所以样本中的男生人数为30 2 60 女生人数为100 60 40 男生和女生人数的比例为60 40 3 2 所以根据分层抽样原理 总体中男生和女生人数的比例估计为3 2 1 1 2017北京朝阳二模 从某中学随机选取了40名男生 将他们的身高作为样本进行统计 得到如图所示的频率分布直方图 观察图中数据 完成下列问题 1 求a的值及样本中男生身高在 185 195 单位 cm 的人数 2 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替 试估计该校全体男生的平均身高 3 在样本中 从身高在 145 155 和 185 195 单位 cm 内的男生中任选两人 求这两人的身高都不低于185cm的概率 解析 1 根据题意 得 0 005 a 0 020 0 025 0 040 10 1 解得a 0 010 所以样本中男生身高在 185 195 单位 cm 内的人数为40 0 01 10 4 2 150 0 05 160 0 2 170 0 4 180 0 25 190 0 1 7 5 32 68 45 19 171 5 cm 所以 估计该校全体男生的平均身高为171 5cm 3 在样本中 男生身高在 145 155 内的人数为40 0 005 10 2 记这两人分别为a b 由 1 可知 男生身高在 185 195 内的人数为4 记这四人分别为a b c d 所以 身高在 145 155 和 185 195 内的男生共6人 从这6人中任意选取2人 有ab ac ad aa ab bc bd ba bb cd ca cb da db ab 共15种情况 记 所选两人的身高都不低于185cm 为事件m 事件m包括ab ac ad bc bd cd 共6种情况 所以p m 典例2 1 2016北京丰台一模 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了11场比赛 他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示 如图 则甲 乙两名运动员得分的中位数分别为 考点二茎叶图 a 20 18b 13 19c 19 13d 18 20 2 2017北京东城二模 如图所示茎叶图记录了甲 乙两班各六名同学一周的课外阅读时间 单位 小时 已知甲班数据的平均数为13 乙班数据的中位数为17 那么x的位置应填 y的位置应填 解析 1 由茎叶图知甲的分数分别为6 8 9 15 17 19 23 24 26 32 41 共11个数据 中位数是最中间的数19 乙的分数分别为5 7 8 11 11 13 20 22 30 31 40 共11个数据 中位数是最中间的数13 故选c 2 由甲班数据的平均数为 13 解得x 3 由乙班数据的中位数为 17 得y 8 答案 1 c 2 3 8 规律总结 1 绘制茎叶图时需注意 叶 的每个位置上只有一个数字 而 茎 的每个位置上的数的位数一般不需要统一 重复出现的数据要重复记录 不能遗漏 2 茎叶图通常用来记录两位数的数据 可以用来分析单组数据 也可以用来比较两组数据 通过茎叶图可以确定数据的中位数 数据大致集中在哪块茎 数据分布是否均匀等 2 1 2018北京海淀高三期末 下面的茎叶图记录的是甲 乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩 单位 分 每道题5分 共8道题 已知两组数据的平均数相等 则x y的值分别为 a 0 0b 0 5c 5 0d 5 5 b 答案b由两组数据平均数相等 可得 化简可得y x 5 且x 10 y 10 根据选项可知y 5 x 0 故选b 典例3 2017北京丰台一模 某校学生营养餐由a和b两家配餐公司配送 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度 采用问卷的形式 随机抽取了40名学生对两家公司分别评分 根据收集的80份问卷的评分 得到a公司满意度评分的频率分布直方图和b公司满意度评分的频数分布表 考点三样本的数字特征 1 根据a公司的频率分布直方图 估计该公司满意度评分的中位数 2 从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份 求这两份问卷都是给a公司评分的概率 3 请从统计角度 对a b两家公司作出评价 解析 1 设a公司调查的40份问卷的中位数为x分 则有0 015 10 0 025 10 0 03 x 70 0 5 解得x 73 3 估计该公司满意度得分的中位数为73 3分 2 满意度高于90分的问卷共有6份 其中4份评价a公司 设为a1 a2 a3 a4 2份评价b公司 设为b1 b2 从这6份问卷中随机抽取2份 所有可能的结果为 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 a4 a2 b1 a2 b2 a3 a4 a3 b1 a3 b2 a4 b1 a4 b2 b1 b2 共15种 其中2份问卷都评价a公司的有以下6种情况 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a2 a3 a2 a4 a3 a4 设两份问卷均是评价a公司为事件c 则p c 3 由所给两个公司的调查满意度得分知 a公司得分的中位数低于b公司得分的中位数 a公司得分集中在 70 80 这组 而b公司得分集中在 70 80 和 80 90 两个组 a公司得分的平均数低于b公司得分的平均数 a公司得分比较分散 而b公司得分相对集中 即a公司得分的方差高于b公司得分的方差 规律总结频率分布直方图与众数 中位数 平均数的关系 1 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数 2 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长