《高等数学Ⅰ-2》(《微积分》)教学大纲.pdf

高等数学 2 微积分 教学大纲 经济管理学院本科各专业适用 参考学时 164 学分 9 课程编号 110108 A B 一 本课程的性质和任务 微积分 课程是经济管理学院各专业学生的一门必修的重要基础理论课 它是为培养 我国社会主义现代化建设所需要的高质量的专门人才服务的 通过本课程的学习 要使学生获得 一元函数微积分 向量代数与空间解析几何 多元函数微积分 无穷级数 5 常微分方程与差分方程 等方面的基本概念 基本理论和基本运算技能 为学习后继课程和进一步获取知识奠 定必要的数学基础 在传授知识的同时 要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力 逻辑推理能 力 空间想象能力 自学能力和创新能力 还要特别注意培养学生综合运用所学知识分析 问题和解决问题的能力 二 本课程的基本内容 一 函数 极限 连续 1 函数 函数的定义 函数的几种简单性质 有界性 单调性 奇偶性和周期性 反函数 复合函数 基本初等函数 初等函数 2 极限 数列极限的定义 函数极限的定义和定义 极限的性质 左右极限 无穷 小与无穷大的概念 无穷小与无穷大 无穷小与一般极限的关系 无穷小的阶 极限运算 法则 极限存在法则 两个重要极限 3 函数的连续性 函数连续的定义 间断点及其分类 连续函数的运算法则 反函 数的连续性 复合函数的连续性 基本初等函数与初等函数的连续性 闭区间上连续函数 的最值性定理 有界性定理及介值性定理 二 一元函数微分学 1 导数与微分 导数的定义 几何意义 平面曲线的切线和法线方程 可导性与连 续性之间的关系 导数基本公式与运算法则 求导四则运算法则 反函数的导数 复合函 数的导数 基本导数公式 高阶导数 隐函数的导数 利用对数求导法 参数函数的导 数 微分的定义 几何意义 微分运算法则 一阶微分的形式不变性 微分在近似计算方 面的简单应用 2 中值定理与导数应用 罗尔定理 拉格朗尔定理 柯西定理 泰勒定理 洛必达 法则 函数和曲线性态的研究 单调性判定 极值及其求法 最值问题 凹凸性与拐点 变化率及相对变化率在经济中的简单应用 三 一元函数积分学 1 不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分公式 直接积 分法 换元积分法及特殊函数 有理函数 三角函数有理式 简单无理函数 的积分法 分部积分法 2 定积分及其应用 定积分的定义 性质 变上限定积分函数及其求导公式 牛顿 莱布尼兹公式 定积分的直接积分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 无 限区间上的广义积分和无界函数的广义积分 定积分在几何上的应用 求平面图形的面 积 旋转体的体积 平行截面面积已知的立体的体积 定积分在经济方面的简单应用 四 向量代数与空间解析几何 1 向量代数 向量的概念 向量的几何表示 坐标表示和分向量形式的表示 向量 的模与方向角 向量的线性运算 向量的数量积 向量积和混合积 2 空间解析几何 空间直角坐标系 空间两点间的距离 平面与直线方程 曲面 柱面 旋转曲面 二次曲面 及其方程 空间曲线及其方程 空间曲线在坐标面上的投 影 五 多元函数微分学 1 多元函数 多元函数的定义 区域的概念 二元函数的几何意义 2 多元函数的极限与连续性 多元函数极限的定义 多元函数连续的概念 有界闭 域上二元连续函数的性质 3 偏导数与全微分 偏导数的定义 二元函数偏导数的几何意义 高阶偏导数 求 高阶混合偏导数与次序无关的条件 多元函数的求导法则 多元隐函数的求导公式 全微 分的定义及可微的条件 4 偏导数和全微分的应用 多元函数极值 最值及其求法 条件极值与拉格朗尔乘 数法 全微分在近似计算方面的简单应用 六 多元函数积分学 1 二重积分 二重积分的定义 性质 计算方法 直角坐标系和极坐标系下的计 算 无界区域上的广义二重积分及其计算方法 2 二重积分的应用 求平面图形的面积和立体的体积 七 常微分方程与差分方程 1 微分方程的基本概念 微分方程的定义 常微分方程的阶 解 通解 初始条 件 特解 积分曲线的定义 2 特殊类型的一阶微分方程及其应用 一阶可分离变量 齐次 线性微分方程的求 解方法及它们在经济方面的简单应用 3 可降阶的二阶微分方程 4 高阶线性微分方程 线性微分方程解的结构 特征根法求二阶常系数齐次线性微 分方程的通解 待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 5 差分方程的概念 差分的定义 差分方程的定义 差分方程的阶 解 通解 初 始条件 特解的定义 6 常系数线性差分方程及其应用 一阶常系数齐次和非齐次线性差分方程的求解方 法 二阶常系数齐次和非齐次线性差分方程的求解方法 差分方程在经济方面的简单应 用 八 无穷级数 1 常数项级数 无穷级数及其敛散性的概念 无穷级数的基本性质 等比级数 调 和级数和P 级数的敛散性 正项级数收敛的充要条件 正项级数的比较审敛法 比较审敛 法的极限形式 达朗贝尔审敛法 交错级数的莱布尼兹审敛法 任意项级数的绝对收敛和 条件收敛 2 泰勒级数与幂级数 泰勒级数 麦克劳林级数 幂级数的概念 幂级数的收敛半 径和收敛区间 幂级数的四则运算 和函数的连续性 逐项微分与逐项积分 函数的幂级 数展开式 将函数展开成泰勒级数的直接展开法和间接展开法 幂级数展开式在近似计算 方面的应用 三 本课程的基本要求 九 函数 极限 连续 1 理解函数的概念 2 了解函数的有界性 单调性 奇偶性和周期性 3 理解复合函数和反函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质和图形 5 理解极限的概念 对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解 对于利用极限的 定义去证明极限不作过高要求 6 理解无穷小 无穷大的概念 无穷小与无穷大 无穷小与一般极限的关系 掌握 极限运算法则 极限存在准则和两个重要极限 7 理解函数在某点处连续和在某开区间或半开区间内或某闭区间上连续的概念 了 解间断点的概念及分类 8 理解复合函数 反函数 基本初等函数和初等函数的连续性 理解连续函数的运 算法则 理解并会运用闭区间上连续函数的性质 最值性定理 有界性定理和介值性定 理 十 一元函数微分学 1 理解导数与微分的概念 理解导数的几何意义和力学意义及函数的可导性与连续 性的关系 2 掌握导数的四则运算法则和基本导数公式 掌握复合函数求导法则及复合函数求 导法 了解微分运算法则和一阶微分形式的不变性 3 了解高阶导数的概念 4 掌握初等函数一阶 二阶导数的求法 5 会求隐函数一阶 二阶导数 会求反函数的导数 6 掌握利用对数求导法和由参数方程所表示的函数的求导法 7 理解罗尔定理 拉格朗尔定理 柯西定理和泰勒定理 8 会用洛必达法则求不定式的极限 9 理解函数极值的概念 掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法 10 掌握利用二阶导数判断曲线凹凸性的方法 11 会用变化率和相对变化率思考一些经济问题 十一 一元函数积分学 1 理解不定积分和定积分的概念和性质 2 掌握积分基本公式 不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法 3 会求简单的有理函数的积分 4 理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导公式 掌握牛顿 莱布尼兹公式 5 了解无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分的概念 并会计算这两种广义 积分 6 会用定积分表达一些几何量 面积 体积 会用定积分思考一些经济问题 十二 向量代数与空间解析几何 1 理解向量 向量的模 向量的方向角 向量的方向余弦的概念 2 掌握向量的几何表示 坐标表示和分向量形式表示的方法 3 掌握向量的线性运算 4 理解并会计算向量的数量积 向量积和混合积 5 理解空间直角坐标系 曲面方程 空间曲线方程的概念 6 掌握空间两点间的距离公式 7 掌握平面的一般方程 点法式方程 三点式方程和截距式方程的基本形式 8 掌握柱面 旋转曲面 二次曲面方程的基本形式 9 了解空间曲线的一般方程的基本形式 理解空间曲线在坐标面上投影的概念 十三 多元函数微分学 1 理解多元函数的概念 2 了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质 3 理解偏导数和全微分的概念 了解全微分存在的必要条件和充分条件 4 掌握复合函数一阶偏导数的求法 会求复合函数的二阶偏导数 5 会求隐函数的偏导数 6 理解多元函数极值和条件极值的概念 会求二元函数的极值 了解求条件极值的 拉格朗尔乘数法 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 十四 多元函数积分学 1 理解二重积分的概念 了解二重积分的性质 2 掌握二重积分的计算方法 3 会用二重积分求一些立体的体积和平面图形的面积 十五 常微分方程与差分方程 1 了解微分方程 微分方程的阶 解 通解 初始条件和特解等概念 2 掌握可分离变量的一阶微分方程和一阶线性微分方程的解法 3 会解一阶齐次微分方程 并从中领会用变量代替求解方程的思想 4 会用降阶法解下列方程 5 理解二阶线性微分方程解的结构 6 掌握二阶常系数齐次微分方程的解法 7 会求自由项为或的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 8 会用微分方程解决一些简单的实际问题 9 了解差分 差分方程 差分方程的阶 解 通解 初始条件和特解的概念 10 掌握一阶和二阶常系数齐次线性差分方程的求解方法 11 会求自由项为或的一阶和二阶非齐次线性差分方程的特解 12 会用差分方程思考一些简单的经济问题 十六 无穷级数 1 了解无穷级数 无穷级数收敛 发散及其收敛的无穷级数的和的概念 了解无穷 级数的基本性质 2 掌握等比级数和 级数的敛散性 3 掌握正项级数收敛的充要条件 比较审敛法 比较审敛法的极限形式和达朗贝尔 审敛法 4 掌握交错级数的概念及莱布尼兹审敛法 5 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系 6 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 7 掌握比较简单的幂级数的收敛半径和收敛区间的求法 8 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质 9 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 10 会用直接展开法将一些初等函数函数展成泰勒级数或麦克劳林级数 11 会利用和的马克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数 12 了解幂级数在近似计算上的简单应用 四 学时分配建议及说明 本课程共164学时 具体学时建议如下 课程内容理论讲授习题课小计 函数66极限与连续18220导数与微分10212中值定理及导 数应用14216不定积分10212定积分及其应用14216向量代数与空 间解析几何16218多元函数微分学16218二重积分8210微分方程与 差分方程16218无穷级数16218共计14420164 五 其它说明 一 本课程建议教材及参考书 1