福建省长泰一中高考数学一轮复习《双曲线》学案.doc

第2课时 双 曲 线基础过关 (1) 标准方程：，焦点在 轴上；，焦点在 轴上其中：a 0，b 0， (2) 双曲线的标准方程的统一形式： (6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 (8) 的共轭双曲线方程为 典型例题例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5(2) 与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)解：(1)顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为 又 故所求的双曲线方程为(2) 令与双曲线x22y22有公共渐近线的双曲线为x22y2k 双曲线过m（2，2） 424k 得k4 x22y24即变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）解：法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=4，因，故点（-3，）在射线（x0）及x轴负半轴之间， 双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为，（a0，b0） 解之得： 双曲线方程为（2）设双曲线方程为（a0，b0）则 解之得： 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（1） 设双曲线方程为 解之得：k=4 双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当0时，焦点在x轴上；当0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图817，建立直角坐标系xoy，使a圆的直径aa在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径cc、bb平行于x轴，且=132 (m)，=252 (m).设双曲线的方程为 （a0,b0）令点c的坐标为（13，y），则点b的坐标为（25，y55）.因为点b、c在双曲线上，所以 解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b18150=0 （3）解方程（3）得 b25 (m).所以所求双曲线方程为：变式训练2：一炮弹在某处爆炸，在a处听到爆炸声的时间比在b处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知a、b两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及a、b两处听到爆炸声的时间差，可知a、b两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以a、b为焦点的双曲线上.因为爆炸点离a处比离b处更远，所以爆炸点应在靠近b处的一支上.（2）如图814，建立直角坐标系xoy，使a、b两点在x轴上，并且点o与线段ab的中点重合.设爆炸点p的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又2c=800,c=400,b2=c2a2=44400.x0.所求双曲线的方程为： (x0).例3. 中，固定底边bc，让顶点a移动，已知，且，求顶点a的轨迹方程解：取bc的中点o为原点，bc所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以b()，利用正弦定理，从条件得，即由双曲线定义知，点a的轨迹是b、c为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()变式训练3：已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点o且和双曲线交于两点m、n，点p为双曲线上异于m、n的一点，且直线pm，pn的斜率均存在，求kpmkpn的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为 （2）解：设所以 例4. 设双曲线c：的左、右顶点分别为a1、a2，垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p、q。（1）若直线m与x轴正半轴的交点为t，且，求点t的坐标；（2）求直线a1p与直线a2q的交点m的轨迹e的方程；（3）过点f（1，0）作直线l与（）中的轨迹e交于不同的两点a、b，设，若（t为（）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得，设则由 又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点t的坐标为（2，0） 3分（2）设直线a1p与直线a2q的交点m的坐标为（x，y）由a1、p、m三点共线，得 1分由a2、q、m三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹e的方程为 1分（3）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点a1、a2在x轴上，离心率为的双曲线c经过点p（6,6），动直线l经过a1pa2的重心g与双曲线c交于不同两点m、n，q为线段mn的中点（1）求双曲线c的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设双曲线c的方程为又p（6,6）在双曲线c上，由、解得所以双曲线c的方程为。（2）由双曲线c的方程可得所以a1pa2的重点g（2,2）设直线l的方程为代入c的方程，整理得整理得解得由，可得解得小结归纳由、，得1复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系2双曲线的渐近线的探求是一个热点已知双曲线方程求渐近线方程；求已知渐近线方程的双曲线方程3求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）4求双曲线的方程的常用方法：(1) 定