内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《曲线与方程》课件.ppt

第五十四讲曲线与方程 走进高考第一关考点关 回归教材 1 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么 这条曲线叫做方程的曲线 这个方程叫做曲线的方程 2 求曲线方程的步骤一般地 求曲线方程的步骤如下 1 建系 设点 建立适当的直角坐标系 设曲线上任一点m x y 2 写集合 写出适合条件的点m的集合p m p m 3 列式 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 证明或检验 证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 说明 求动点轨迹时要注意它的完备性与纯粹性 在化简过程中有可能破坏了方程的等价性 故要注意补上遗漏的点或去掉多余的点 3 求曲线方程的常用方法 1 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系 或者可以利用平面几何知识推出等量关系 易于表述成含x y的公式 可用直接法 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 间接法 若动点所满足的条件不易表述或求出 但轨迹的动点p x y 可以借助于另外的点或参数 建立关系式 从而整理出p的方程 利用这种方法要注意引进参数的实际意义和取值范围 考点训练 1 已知点m 1 0 直线l x 1 点b是l上的动点 过点b垂直于y轴的直线与线段bm的垂直平分线交于点p 则点p的轨迹是 a 抛物线b 椭圆c 双曲线的一支d 直线 解析 如图 p是线段bm垂直平分线上一点 则 bp pm 故p点的轨迹在以m为焦点 以l为准线的抛物线上 故a正确 答案 a 2 在圆x2 y2 25上任意取一点p向x轴作垂线pp 交x轴于p 点 且在垂线pp 上取一点m满足关系式 pp mp 5 3 则点m的轨迹方程为 3 已知点m 3 0 n 3 0 b 1 0 动圆c与直线mn切于点b 过m n与圆c相切的两直线相交于点p 则p点的轨迹方程为 解析 pm pn mc nd mb bn 4 2 2 由双曲线的定义知a 1 c 3 b2 8 轨迹方程为x2 1 x 1 答案 a 4 已知两点a 3 0 b 3 0 点m为直角坐标平面内的动点 且满足 则动点m x y 的轨迹方程为 a y2 12xb y2 12xc y2 6xd y2 6x 答案 b 解读高考第二关热点关 题型一用直接法求轨迹方程例1 2009 湖南节选 在平面直角坐标系xoy中 点p到点f 3 0 的距离的4倍与它到直线x 2的距离的3倍之和记为d 当点p运动时 d恒等于点p的横坐标与18之和 求点p的轨迹c 点评 本题中动点p的等量关系由题设条件直接给出 属于直接法 在化简过程中遇到含绝对值或平方 开方的问题要注意变量的范围 答案 y2 8x 题型二定义法求轨迹方程例2已知椭圆c1 1 a 0 b 0 的离心率为 直线l y x 2与以原点为圆心 椭圆c1的短半轴长为半径的圆o相切 1 求椭圆c1的方程 2 设椭圆c1的左焦点为f1 右焦点为f2 直线l1过点f1且垂直于椭圆的长轴 动直线l2垂直于l1 垂足为点p 线段pf2的垂直平分线交l2于点m 求点m的轨迹c2的方程 3 设c2与x轴交于点q 不同的两点r s在c2上 且满足的取值范围 点评 利用定义法求轨迹方程是常考内容 解题时可先根据题设条件 观察动点是否符合曲线的定义 再由曲线定义出发 得到轨迹方程 如本题中第 2 题 由 mf2 mp 可以确定动点p的轨迹符合抛物线的定义 进而求出方程 变式2 如图所示 a是圆o内一定点 b是圆周上一个动点 ab的中垂线cd与ob交于e 则点e的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 由题意知 ea eo eb eo r r为圆的半径 且r oa 故e的轨迹为椭圆 故选b 答案 b 题型三间接法求轨迹方程例3如图 abcd是边长为2的正方形纸片 沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折 使得每次翻折后点b都落在边ad上 记为b 折痕l与ab交于点e 点m满足关系式 若以b为原点 bc所在直线为x轴建立直角坐标系 如图 求点m的轨迹方程 点评 参数法是求轨迹方程的一种重要方法 其关键在于选择恰当的参数 一般来说 选择参数时要注意参数要与题设的已知量有着密切的联系 参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算 也便于消去 利用参数法时 要注意消去参数后保证变量的范围不能扩大或缩小 变式3 已知动直线y a与抛物线y2 x相交于a点 动点b的坐标为 2 3a 则线段ab中点m的轨迹方程为 笑对高考第三关技巧关 典例已知直线l过椭圆e x2 2y2 2的右焦点f 且与e相交于p q两点 点评 涉及弦的中点问题时 可用点差法 如本题解法二中r为p q的中点 将p q的坐标代入椭圆方程 相减 也可得到r的坐标的关系时 计算量小 使问题简单化 考向精测 答案 d 2 已知动圆过定点 1 0 且与直线x 1相切 1 求动圆的圆心轨迹c的方程 2 是否存在直线l 使l过点 0 1 并与轨迹c交于p q两点 且满足 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解 1 如图 设m为动圆圆心 f 1 0 过点m作直线x 1的垂线 垂足为n 由题意知 mf mn 即动点m的轨迹为抛物线 其中f 1 0 为焦点 x 1为准线 动点m的轨迹方程为y2 4x 2 由题可设直线l的方程为x k y 1 k 0 由 得y2 4ky 4k 0 16k2 16k 0 解得k1 设p x1 y1 q x2 y2 则y1 y2 4k y1y2 4k 由得x1x2 y1y2 0 即k2 y1 1 y2 1 y1y2 0 即 k2 1 y1y2 k2 y1 y2 k2 0 即4k k2 1 k254k k2 0 解得k 4或k 0 舍去 又k 4 0 直线l存在 其方程为x 4y 4 0 课时作业 五十四 曲线与方程 一 选择题 1 已知抛物线c的顶点为坐标原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线c交于a b两点 若p 2 2 为ab的中点 则抛物线c的方程为 a y2 4xb y2 4xc y2 xd y2 2x 答案 a 2 设椭圆c1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 解析 由题意知 椭圆的长半轴长为13 由e 知c 5 b 12 c1的焦点为 5 0 由题意曲线c2的焦点在x轴 2a 8 a 4 c 5 b 3 所以方程为 1 答案 a 3 设x y r 且2y是1 x和1 x的等比中项 则动点 x y 的轨迹为除去x轴上点的 a 一条直线b 一个圆c 双曲线的一支d 一个椭圆 解析 由题意可知 1 x 1 x 2y 2 即x2 4y2 1 y 0 是一个椭圆的方程 故选d 答案 d 4 如果ab是椭圆 1的任意一条与x轴不垂直的弦 o为椭圆的中心 e为椭圆的离心率 m为ab的中点 则kab5kom的值为 a e 1b 1 ec e2 1d 1 e2 答案 c 5 椭圆满足这样的光学性质 从椭圆的一个焦点发射光线 经椭圆反射后 反射光线经过椭圆的另一个焦点 现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘 满足方程 1 点a b是它的两个焦点 当静止的小球放在点a处 从点a沿直线出发 经椭圆壁 非椭圆长轴端点 反弹后 再回到点a时 小球经过的最短路程是 a 20b 18c 16d 以上均有可能 解析 由椭圆定义可知小球经过路程为4a 所以最短路程为16 答案 c 6 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 a 1 0 b 1 1 c 0 1 映射f将xoy平面上的点p x y 对应到另一个平面直角坐标系uo v上的点p 2xy x2 y2 则当点p沿着折线a b c运动时 在映射f的作用下 动点p 的轨迹是 答案 d 二 填空题7 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 则点p的轨迹方程是 解析 2 x y 3 x y 由 x2 2 x 3 x y2 x2 即y2 x 6 答案 y2 x 6 解析 x2 y2表示y x与y x两条直线 如图y x 表示两条射线 y的范围不一致 故方程表示的曲线不相同 y 2 x x 0 y 10lgx x x 0 x的范围不一致 方程表示的曲线不相同 y 与xy 1中y的范围不一致 故方程的曲线相同的是 答案 9 方程 x 1 y 1 1所表示的图形是 解析 x y 1的图形是正方形 而 x 1 y 1 1的图形可由 x y 1的图形平移得到 因此 x 1 y 1 1的图形是正方形 答案 正方形 10 已知o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 如图所示 由动点p向o和o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 三 解答题11 已知双曲线x2 2y2 2的左 右两个焦点为f1 f