内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《均值不等式》课件.ppt

第二十讲均值不等式 走进高考第一关考点关回归教材 1 算术平均值如果a b r 那么叫做这两个正数的算术平均值 2 几何平均值如果a b r 那么叫做这两个正数的几何平均值 3 重要不等式如果a b r 则a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取 均值定理 如果a b r 那么 当且仅当a b时 取 均值定理可以叙述为 两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 5 已知x y都是正数 则 1 若x y s 和为定值 则当x y时 积xy取最大值s24 2 若xy p 积为定值 则当x y时 和x y取得最小值2 即两个正数的和为定值 则可求其积的最大值 积为定值 则可求其和的最小值 应用此结论要注意三个条件 一正二定三相等 即 各项或各因式均为正值 和或积为定值 各项或各因式有相等的值 考点训练 1 2009 湖南卷 x 0 则x 的最小值为 答案 c 答案 c 4 2008 浙江卷 已知a 0 b 0 且a b 2 则 答案 c 答案 c 解读高考第二关热点关 题型一利用均值不等式求最值 分析 要求x y的最小值 根据均值不等式 应构建某个积为定值 这需要对条件进行必要的变形 下面给出三种解法 请仔细体会 点评 本题给出了三种解法 都用到了基本不等式 且都对式子进行了变形 配凑出基本不等式满足的条件 这是经常需要使用的方法 要学会观察学会变形 另外解法2通过消元 化二元问题为一元问题 要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响 变式1 1 已知0 x 求函数y x 1 3x 的最大值 2 求函数y x 的值域 题型二利用均值不等式证明不等式 例2已知a b c是正实数 点评 注意到从左向右 分式变成了整式 可考虑在左边每一个分式后加上该分式的分母 利用基本不等式约去分母 再利用不等式的可加性 从而使问题获得解决 题型三利用均值不等式解决实际问题 例3某工厂拟建一座平面图为矩形 面积为200平方米的三级污水处理池 平面图如图所示 如果污水池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该污水池的长和宽都不能超过16米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 分析 首先把造价表示为某一变量的函数 再利用基本不等式 函数单调性等知识求出最小值 x1 x2 故y x 在上为减函数 从而有 x 16 45000 当污水池的长度为16米 宽为12 5米时有最低总造价 最低总造价为45000元 点评 1 对于数学应用问题的解答 一定要认真审题 建立数学模型 应用数学方法 正确解答 2 本例中第二问基本不等式不适用时 常利用函数的单调性求出最值 变式3 2009 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为45元 m 新墙的造价为180元 m 设利用的旧墙长度为x 单位 m 修建此矩形场地围墙的总费用为y 单位 元 1 将y表示为x的函数 2 试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为am 则y 45x 180 x 2 180 2a 25x 360a 360 笑对高考第三关技巧关 运用基本不等式求最值时要强调a b应满足条件 一正 二定 三相等 在具体问题中 正数 这个条件一般由已知条件获得 若不明确 则应分情况讨论 相等 条件也易验证确定 而获得 定位 的条件往往设计为一个难点 它需要一定的灵活变形能力 因此 定位 条件是运用基本不等式求最值的关键 解题时应根据已知条件适当进行 拆 拼 凑 合 变形 创造应用基本不等式及等号成立的条件 当连续应用基本不等式时 要注意各不等式取等号的条件相一致 否则是不能求出最值的 答案 b 考向精测 答案 c 课时作业 二十 均值不等式 一 选择题 1 2009 海南一模 当x 1时 关于函数f x x 下列叙述正确的是 a 函数f x 有最小值2b 函数f x 有最大值2c 函数f x 有最小值3d 函数f x 有最大值3 答案 c 答案 c 3 2009 山东青岛 设a b c都是正实数 且a b满足 1 则使a b c恒成立的c的范围是 a 0 8 b 0 10 c 0 12 d 0 16 答案 d 4 设x y r 且x 4y 40 则lgx lgy的最大值是 a 40b 10c 4d 2 答案 d 5 下列函数中 y的最小值为4的是 答案 c 6 当点 x y 在直线x 3y 2上移动时 u 3x 27y 1的最小值是 答案 b 二 填空题 7 当x 1时 不等式x a恒成立 则实数a的最大值为 答案 3 答案 16 9 2009 广东南海模拟 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 答案 20 三 解答题 10 若实数a b满足ab 4a b 1 0