[工学]第一章 初等模型.ppt

第一章初等模型 在这一章中 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法 所谓初等模型 指的是该模型并不涉及高深的数学问题 用常用的数学工具即可求解此类问题 一 微积分方法寻找最优点 问题一铁路线上段的距离为工厂距处 并且 见下图 为了运输需要 要在 上选定一点向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为 应选在何处 问点 建模设 则 再设铁路上货运的运费为 公路上货运的运费为 从到的总运费为 则 于是问题就归结为求函数在闭区间上的最小值点 解模 用微积分方法 可先求对的导数 令 又 结论 当 时总运费最小 问题二 有一艘驳船 宽度为5米 欲驶过一个河渠 该河 有一个直角弯道 河渠两边的直角弯道各宽10米和12米 试 问 要驶过这个河渠 驳船的长度不能超过多少米 假设 不考虑河床的深度 整个驳船在河渠中行使都不会搁浅 驳船在转弯过程中可以最大限 度地接近河岸 驳船是一个标准的长方体 在 俯视平面上记为长方形 如图所示 船体与河床一边的夹角为 建模 由假设 记驳船的长度为 则由题意知 又 由相似三角形关系 得 及 所以 同理得 由此得 上式表示了当从变到时河床可容忍驳船的最大长度 若驳船能转过河床 则其长度不能超过上式中所有的最小 者 注意到函数是个可微函数 故该问题转化为求解 的问题 解模 求导后得 该函数的零点并不容易求得 零点 我们用二分法求出该函数的 怎么办 因 所以存在 使得 经计算后有下表 这样 通过反复计算的方法 我们可以知道上述问题的近似 解为 此时 进一步有 而此时 米 下面是函数及导函数的大致图形 导函数曲线 函数曲线 分析 从导函数曲线图中可以看到 导函数的零点是唯一的 因而问题有唯一的极值 再从函数曲线图中看到 该曲线 是个 单谷 曲线 因而该点即为我们所要求的极小点 直观上 该点应该在区间 中点的附近 而 因而该结果和猜测相差不大 模型评价 我们用近似求解的方法代替精确求解的方法 从而在计算 过程中还会带来一定的误差 因此 最终的结果我们是保留 了两位有效数字 当然从从实用的角度看 这也足够了 问题三光的折射定律 设在轴的上下两侧有两种不同 的介质甲和乙 光在介质甲和介质乙的传播速度分别是 和又设点在介质甲内 点在介质乙内 要使光线 从传播到耗时最少 问光线应取怎样的路径 假设如图所示 点到 轴的距离分别是 的长 度为 的长度为 建模 由于在同一介质中 光线的最速路径显然为直线 因此 光线从到的传播路径必为折线其所需的总时 间是 解模 下面来确定满足什么条件时 取得最小值 先求 的导数 由于 且 数的最小值点 由此可知在区间有唯一的零点且该点为函 由得 记 则有 其中分别表示图中光线的入射角和反射角 此为光学 中著名的折射定律 结论 物理学通过实验发现了折射定律 而数学 特别是通过 数学模型 则揭示了隐藏在这一规律后面的数量关系 应用 给出了一个一般的折射定律公式 我们发现公式中有4 个参数 而对于一个具体问题 这些参数如何 确定也是数学建模需要关心的问题 在本题中这两个 参数是容易通过物理实验确定 这样我们可以通过公式得 到光线通过不同介质的速度比 而速度与材料的光导性质 有关 如果我们将一种材料作为参照物 就可以找出其它 材料的光导性质参数 问题四 一高射炮向空中射击 不计空气阻力 建立平 面直角坐标系 若原点是高射炮的发射点 试建立数学模 型说明 此炮弹能发射到的最远距离是多少 此时发射斜率为何 值 此炮弹发射后击中200米远处的墙壁的最大高度是多少 模型假定 1 炮弹初速度为炮弹发射角为 2 忽略空气阻力 建模 炮弹的速度可分解成水平和垂直两个分速度 由假定2 水平方向的的分速度由于没有阻力 所以是匀速运动 而 垂直方向的分速度有地球引力 以重力加速度减速 即 解模 在上式中消去得到 这里 此即为问题所对应的数学模 型 由此模型可解决这两个问题 炮弹发射后落地时纵坐标 即 上式中求对的导数 并令其为零 则有 容易看到 为函数的极大值点 即最佳角度满足 从而有 由于炮弹击中米外的墙壁 即 此时有 要获得最大高度 仍然是一个极值问题 故上式对求导 并令其为零 则有 有 注意到 此说明当 时 取最大值 相应的最大高度为 米 这里 二 最小二乘法与数据拟合 1 数据拟合的意义 给定平面上个数据点 我们将寻找曲线 使误差尽可能的小 即使 为最小 一个最为简单的情况是 函数 为线性函数 即 此时 为 记 则问题转变为求 使 由多元函数的极值条件知 应满足方程 容易得到 的解为 该方法就称为最小二乘法 最小二乘法的几何意义 进一步地 若所求曲线为以多项式时 则也有相应的方 程 曲线拟合关系中的方程 常称为法式方程 利用软件MatLab 可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数 MatLab中曲线拟合命令是 基本格式 这里的是多项式的次数 例已知11个数据点 分别用2次及10次多项式进行拟合 解在MatLab下完成下列操作 程序如下 图形如下 例求解下面的最小二乘问题 解由求解公式 在MatLab下编制程序并进行求解 得 求解程序为 问题一汽车刹车距离 问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则 正常驾驶条 件下 车速每增加10英里 小时 后面与前面一辆车的距离 应增加一个车身的距离 又云 实现这个规则的一种简便 方法是所谓 两秒准则 即后车司机从前车经过某一标志 开始默数2秒后到达同一标志 而不管车速如何 问题分析 制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前 所以 行驶距离用公制来表示为 车 即要保持汽车的刹车距离 显然刹车距离与车速有关 先看汽车在10英里 小时 约16km h 的车速下两秒钟内 汽车能行驶的距离 而这个距离远大于一个车身平均长度 15英寸 4 6m 注意到刹车距离是由反应距离和制动距离两部分构成的 反应距离由反应时间和车速决定的 反应时间取决于司机 所以 两秒准则 与上述规则并不一致 为此 我们需要对 刹车距离作仔细的分析 个人的状态和制动系统的灵敏性 一般情况下 把它视为 常数 且在这段时间内车速为常数 制动距离与制动器作用力 车速 车重及道路 气候 等因素有关 设计制动器的一个合理原则是 最大制动力 与车的质量成正比 使汽车的减速度基本上是常数 基于 以上分析 我们可以做这样的一些假设 模型假设 1 刹车距离等于反应距离与制动距离之和 2 反应距离与车速成正比 比例系数为反应时间 3 刹车时使用最大制动力所做的功等于汽车动能的改 变 且与车的质量成正比 建模 由假设2 再由假设3 在力作用下行驶距离作的功使车速 从变成 动能的变化为即 又由牛顿第二定律 再由上式得 其中由假设1刹车距离为 为了将模型应用于实际 需要知道参数的值 取 的经验估计值而用曲线拟合来得到 利用表中的数据及得 于是 上表中的第三列的数据是由 式计算得到的 下图给 出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较 模型评价 按照上述模型可以将所谓 2秒准则 修正为 秒准则 即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数秒后到达 同一标志 由下表给出 单位 英里 问题二农作物产量与施肥量关系 某研究所为了研究氮 N 磷 P 钾 K 三种肥 料对土豆和生菜的作用 分别对每种作物都进行了三种试 验 试验中将每种肥料的施用量分为10个水平 在考察其 中一种肥料的施用量与产量的关系时 总是将另外两种肥 料的施用量固定在第7个水平上 实验数据如下表所示 其 中施肥量单位为公斤 公顷 产量单位为吨 公顷 试建立反 映施肥量与产量关系的模型 并从应用价值和如何改进等 方面作出评价 土豆数据 生菜数据 分析 我们希望建立农作物产量与施肥量之间的函数关系 由于施用了N P K三种肥料 若将N P K既表示三种 肥料的名称 同时又表示三种肥料的施用量 则考虑建立 三元函数 显然这是黑箱模型 单凭目前的信息 我们无法得知上 线性函数 述函数究竟是哪一种形式 简单的方式 可以考虑取为 是常数 或者取二次函数 其中是待定常数 通过给出的数据 可由最小二乘法拟合 从而确定上述 关系式中的待定系数 可得到农作物产量W与施肥量之间 的函数关系 但这样做有两个疑问 随意假定的线性函数 关系表达式 或者二次函数表达式能否有效描述农作物 产量与施肥量之间的关系 首先考虑产量W分别与三种肥料N P K的一元函数关 系式 然后分别确定独立的每种肥料的最佳施肥量 最后通过分 析平衡 得出使得农作物产量最高的三种肥料的综合最佳 施肥量 下列是几种关系理论 一 Nicklas Miller理论 抛物线型关系 其中是最高产量时的施肥量 二 米采利希学说 指数型关系 其中是某种肥料充足时的最高产量 由于 不施肥时产量为零 与实际情况不符 因为土壤中有天然 肥力 通常考虑天然肥力时 上述关系修正为 三 博伊德观点 分段直线关系 某些情况下 若将施肥水平分为若干组 则各组对应的 产量 施肥量 关系呈直线形式 例如若将施肥水平分成 两组 则有如下分段直线的关系 建模 现在我们根据上述专业理论 可设法将问题由 黑箱模 型 转化为 灰箱模型 先通过散点图大致估计确定施 肥量与产量效应关系的函数来建立模型 将六组实验数据画点图 根据点图的形状确定生菜 土 豆产量分别与氮肥 磷肥 钾肥的函数形式 点图如下 由上述点图的形状我们可以看到 氮肥施用量对土豆 生菜产量的效应关系均为抛物线 型关系 函数关系可设为 磷肥施用量对土豆 生菜产量的效应关系均为分段直 直线型关系 函数关系可设为 钾肥施用量对土豆产量的效应关系为指数型关系 函 数关系可设为 钾肥施用量对生菜产量的效应关系是近似直线型 函数 关系可设为 解模 由最小二乘法确定上述施肥量与产量的函数关系式的系 数 氮肥对土豆 生菜的函数关系 求解 解之得 即 同理可得 磷肥对土豆 生菜的函数关系 钾肥对土豆 生菜的函数关系 结果分析 模型结果分析与最佳施肥量的讨论 我们可以得知 上述函数关系式反映了在一定条件下 每种肥料的施 用量对农作物产量的效应关系 氮肥N的过量施用会造成减产 农学理论称为 烧苗 磷肥P的施用量达到某一值后 增加施肥量对作物产量 的影响作用不大 钾肥K的施用量的增加开始时对作物产量的影响较明 显 逐渐的影响趋于缓和而钾肥K对生菜产量的作用关系 几乎是一条水平直线 这可能是生菜的生长对钾肥的需求 量较小 但也可能是由于土壤中含有的天然钾肥已足够满 足生菜生长的需求 应用 在我们得到的函数基础上 可以进行每种肥料最佳施用 量的分析 我们的讨论不是基于产量最高时的最佳施肥量 表示农作农作物产品单价 则肥料单价则效益 而是使得经济效益最大的最佳施肥量 如果以分别 要使得效益最大 则有 又由于为常数 有 由此即可求出使得效益最佳的最佳施肥量 如果确定了每种肥料在一定条件下的最佳施肥量 综合平衡三种肥力交互作用对农作物产量的影响以 及施肥量固定在第七个水平的操作原理 可确定 既能达 到高产 又不浪费肥料 的总体最佳施肥量 三 渡河问题 过河问题是一个比较古老而又十分有趣的数学问题 并 且有很多描述 这里仅仅是其中的一种描述 问题 有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河 该船每次 最多只能容纳两个人 并且由于某种原因 商人们总是提 防着随从们 预感到一旦在任何地方只要随从人数多于商 人数 随从就会对商人构成危害 但是由于商人们控制着 如何乘船的指挥权 所以商人们就可以设计一个安全的过 河方案 确保商人和随从能顺利过河 试为商人找出这样的过河方案 建模 设在过河过程中 此岸的商人数为 随从数为 则向量 表示为在渡河过程中在此岸的商人数和随从数 该 向量称为状态向量 而 为所有可能的状态向量集合 在该集合中 有一部分对商人 是安全的 称为容许状态集合 记其为即有 在下图中 实点表示为状态容许的集合 过河的方案称为决策 仍然用向量 来表示 小船从此岸到彼岸的一次航行 会使此岸的状态发生一 次变化 这样的变化称为状态的转移 用 表示状态的转移 其中 以表示在状态 下做出的决策 相应关系为 上式称为状态转移方程 由此说明 渡河问题转变为寻找一系列的决策 使状态 按 经有限次转移从 到达 解模 下图中实点的转移即为相应的渡河方案 图中红色曲线弧表示向彼岸的渡河 而绿色曲线弧表示 从彼岸的返回 问题 一家五口人带着五只狗 家中每个成员各自拥有一只狗 去郊游 途中遇到一条河 他们租用了一艘小船 小船每 次可载三个生物 人和狗 可惜这五只狗性情古怪 它 必须和自己的主人在一起才会安分 如果他的主人不在场 它绝对不能和其他人在一起 即使一会也不行 当然 狗 是可以和其他的狗在一起的 幸好丽莎的狗曾上过特技训 练学校也会划船 另外四只却都不会 请问怎样渡河 需要几趟 四 公平的席位问题 1 问题的提出 从若干个群众团体中 选举出部分代表组成一个管理委 员会 如何确定各团体的代表成员数 这样的问题就称为 席位分配问题 我们以下面这个生活中常遇到的问题来说明席位分配问 题的具体意义 某个居住小区分成A B C D四个小区 A小区有住户 180户 B小区有150户 C小区有132户 D小区有108户 在 该居住区内 要成立一个由11人组成的业主委员会 该如 何确定相应的名额分配方案 一个比较好的分配方案是 A3B3C3D2 直觉 这样的分配方案可能基于下面的计算结果 A区 B区 C区 D区 但是这样的分配是否合理 下面的例子说明这个问题 例某学院有3个系 共有学生200人 其中A系100人 B系 60人 C系40人 现成立一个由20名学生组成的学生会 则 容易得到一个绝对公平的分配方案为现在C系有 3名学生转入A系 3名学生转入B系 则按照上面的分配方 法有 A系 B系 C系 即相应的分配方案也是 由于此时学生会成员数为偶数 这将给一些问题的表决 带来某些不方便的地方 因此该学生会筹备组决定将学生会 的成员数增加至21人时 此时相应的分配方案又将如何 按前面的规则有 A系 B系 C系 即相应的分配方案为 这种因总席位的增加而导致某一单位席位数的减少的 奇异现象 称为 阿拉巴玛悖论 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定 议 员数按各州相应的人数进行分配 最初议员数只有65席 因 为议会有权改变它的席位数 到1910年 议会增加到435席 宪法并没有规定席位的具体分配办法 因此在1881年 当 考虑重新分配席位时 发现用当时的最大余数分配方法 阿 拉巴玛州在299个席位中获得8个议席 而当总席位增加为 300席时 它却只能分得7个议席 这一怪事被称为有名的 阿拉巴玛悖论 AlabamaParadox 2 模型假定 假设1席位是以整数计量的 并且为有限个 设为个 2 参加分配的单位为有限个 并且不超过席位数 设单位 数为即 3 每个单位有有限个人 席位是按各集体的人员多少来分 配的 所谓公平原则指的是 每个席位在各自的集体中所代表 的人员数希望是相等的 3 模型建立 首先我们讨论在两个团体之间的席位分配方案 设问题可以表示为 表中说明 分配方案是公平的 则应有 引入指标 则分配是公平的 当分配是不公平时 称量 为绝对不公平度 观察下表数据中的意义 此时单位1与单位2的绝对不公平度和单位3与单位4的绝 对不公平度均为2 但显然在前两个单位之间的不公平现象 要比后两个单位的不公平现象严重得多 为此我们引入 相 对不公平度 作为衡量的一个准则 若 时称单位1吃亏 定义 为单位1的相对不公平度 当 时称单位2 吃亏 定义 为单位2的相对不公平度 我们的目的是 在每一次分配后 对每个单位而言 自己 的相对不公平度都达到最小 3 模型求解 设经过若干次分配后 单位1的席位数为 单位2的席位 为 并假定此时单位1吃亏 即 有意义 考虑下面几种情形 若将下一个席位分配给单位1之后仍然是单位1吃亏 即有 显然下一个席位应该给单位1 若把下一个席位分配给单位1后使单位2吃亏 即 此时单位2的相当不公平度为 把下一个席位分配给单位2使单位1吃亏 即 此时单位1的相对不公平度为 若把下一个席位分配给单位2使得单位2吃亏 不可能 下面就 的情况下讨论下一个席位的分配 若 时 这一席位应分配给 单位1 若 时 这一席位应分配给 单位2 注意到 等价于 即有 而 等价于 由此引入 21 则在 与 的情况下 下一席位应分配给值较大的一方 对情形 此时有 22 故将下一席位分配给单位1也符合上述原则 将该原则用于个单位的情况 当分配新的一席位时 首先计算在当前席位份额下各单位的值 并比较相应 单位的值相同时 可任取一个单位 值的大小 将下一席位分配给值最大的单位 当有多个 将上面的方法总结如下 对每个单位先各分配一席 将下一席位分配给当前值最大的一方 计算各单位的值 并比较大小 用该方法来解决三个系学生会成员的分配问题 在对每系均分配一个代表名额之后 我们开始对第四个 席位进行分配 此时各单位的值分别如下 分配给单位1 重新计算当前情况下甲系的值 得 此时有 即第五个名额应该给乙系 重复上面的过 程 可以确定所有名额的分配方案 计算结果如下表 在这样的分配方案下 丙系保住了一个席位 思考题 在分配问题中 能否采用先取整数部分 最后对小数部分 用值方法进行分配 在上面问题中 整数名额分配为10 6 3 此时计算的 值分别为 因而最后的名额应该给C系 似乎这样没问题 因而第20个名额给甲系 再计算 而 例有6个单位 成员总数为10000 席位数为100 下表中 分配的结果 而第五列是直接用值方法进行分配的结果 的第四列是先对整数部分进行分配 然后对余数用值法 事实上 当单位1在分配到第90个名额时 相应的为 而当单位2分配到1个席位时 相应的为 由此可见余下的席位应分配给给单位2 3 4 5 6 上例说明 当各单位的成员数相差比较大时 应从一开 始就采用值方法 下面是用值方法计算分配问题的MatLab程序 由此得到相应的分配方案 进一步地 若席位数再增加4个 丙系的席位数没有发 丙系得了不少 便宜 生变化 此说明的是 你是否能提供一个分配方案 五 实物交换 甲有面包若干 乙有香肠若干 二人共进午餐时希望相 互交换一部分 达到双方满意的结果 如何交换 用图解的方式给出实物交换的数学模型 交换 设交换前甲占有物品为乙占有物品