1.1.3导数的几何意义.ppt

1 1 3导数的几何意义 学习目标 1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系 2 理解曲线的切线的概念 3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义 并会用导数的几何意义解题 重点 理解导数的几何意义 并会用导数的几何意义解题 难点 导数的几何意义 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 回顾 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 下面来看导数的几何意义 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 斜率 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个确定位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 求切线方程的步骤 例3 如图 它表示人体血管中药物浓度c f t 单位 mg mL 随时间t 单位 min 变化的函数图象 根据图象 估计t 0 5 0 8时 血管中药物浓度的瞬时变化率 精确到0 1 0 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 t min c mg mL 解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度f t 在此时刻的导数 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 什么是导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 f x0 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 例4 某物体的运动方程为s t 5t2 位移单位 m 时间单位 s 求它在t 2s时的速度 解 因为 从而 所以 例5 求抛物线y x2过点 6 的切线方程 解 点 6 不在抛物线上 设此切线过抛物线上的点 x0 x02 因为 又因为此切线过点 6 和点 x0 x02 所以此切线方程的斜率为2x0 所以 即x02 5x0 6 0 解得x0 2 或x0 3 所以切线方程为y 4x 4或y 6x 9 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 2 求切线方程的步骤 小结 1 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何