机械振动B.ppt

第四章机械振动 摆动 下页 上页 结束 返回 4 1简谐振动的动力学特征 4 2简谐振动的运动学 4 3简谐振动的能量 4 4简谐振动的合成 4 5阻尼振动受迫振动共振 机械振动是指物体在一定位置附近作周期性往复运动 振动的分类 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动 简谐振动 下页 上页 结束 返回 广义的振动 任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化 4 1简谐振动的动力学特征 1弹簧振子模型 受力F kx 由牛顿第二定律 令 则 凡满足以上特征的运动叫简谐运动 物体受线性恢复力的作用 或加速度与位移大小成正比 而方向相反 或有简谐运动的微分方程 下页 上页 结束 返回 2单摆 忽略空气阻力 质点在平衡点附近往复运动 重力矩 M mglsin 由转动定律 而I ml2 小角度条件下sin 5 质点作简谐运动 下页 上页 结束 返回 3复摆 质量为m的任意形状的物体 绕O点作微小的自由摆动 称为复摆 设复摆的转动惯量为I 复摆的质心C到O的距离为OC l 重力矩M mglsin 当 很小时 M mgl 由转动定律 或 令 简谐运动微分方程 下页 上页 结束 返回 例4 1 解 任意时刻 一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端 不计空气阻力 试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动 考虑平衡时mg kl 上式变为 即 其中 4 2简谐振动的运动学 此微分方程的解为 那么速度为 式中vm A为速度振幅 加速度为 式中am 2A为加速度振幅 A 为待定系数 下页 上页 结束 返回 一 简谐振动的运动学方程 由 运动曲线 x t v t a t运动曲线图如下 a t 振动超前v t 2 v t 振动超前x t 2 下页 上页 结束 返回 二 描述简谐振动的三个参量 1 振幅A 其中A为振幅 简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值 速度振幅 vm A 加速度振幅 am 2A 2 周期频率圆频率 周期T 物体作一次完全振动所经历的时间 所以 弹簧振子 单摆 下页 上页 结束 返回 3 相位和初相位 频率 单位时间内物体所作完全振动的次数 圆频率 物体在2 秒时间内所作的完全振动次数 又叫角频率 单位 rad s 弹簧振子 固有频率 相位 t 决定物体在任意时刻的振动状态 初相位 决定初始时刻振动物体的运动 状态相位即可以决定振动状态 也常用来比较两个谐振动是否同步 下页 上页 结束 返回 4 常数A和 的确定 由振动运动方程 由初始条件t 0时位移x0和速度v0 联立求解得 解出两个 值 一般由初始速度确定最后的取值 下页 上页 结束 返回 三 旋转矢量法 用几何方法表示简谐振动 M 作矢量A 使它在oxy平面上绕点o作逆时针匀速转动 角速度 其矢量的端点M在x轴上的投影点P的运动为简谐运动 t 0时 矢端在M0点 t时刻 矢端在M点 M点的投影点的坐标为x 同理速度矢量v 加速度矢量a也可用旋转矢量表示 M匀速转动 P点也随之运动 下页 上页 结束 返回 旋转矢量法的优点 1 把变速直线运动转化为匀速圆周运动 2 可方便地画出x t v t a t图 3 可方便地比较两个振动的相位 求初相位 4 方便地进行两个振动的合成 例1 试画出x Acos t 4 的x t图线 下页 上页 结束 返回 例4 2 如图所示 轻质弹簧一端固定 另一端系一轻绳 绳过定滑轮挂一质量为m的物体 设弹簧的劲度系数为k 滑轮的转动惯量为I 半径为R 若物体m在其初始位置弹簧无伸长 然后由静止释放 1 试证明物体m的运动是谐振动 2 求此振动系统的振动周期 3 写出振动方程 解 1 受力分析如图 滑轮末画 下页 上页 结束 返回 以平衡点为坐标原点建立如图坐标系 平衡时有mg kb 任意时刻物体在x处 对物体m mg T1 ma 1 对滑轮 对弹簧 T2 k x b 3 有关系 a R 4 T 1 T1 T 2 T2 5 例续 联立求解得 整理为 2 由上式知 周期 3 t 0 x0 b v0 0 振动方程为 而 b bcos 0 则 例4 3 已知如图所示谐振动曲线 试写出振动方程 解 设振动方程为 x Acos t 0 由图A 4cm t 0 x0 2cm v0 0 则 2 4cos 0 故 0 2 3 又v0 Asin 0 0 取 0 2 3 再由t 1s x 2cm得 2 4cos 2 3 解得 由于 故取 则 振动方程为 4 3简谐运动的能量 以弹簧振子为例 当位移为x 速度为v时 系统的动能 系统的势能 利用k m 2总能 弹簧振子的总能量与振幅的平方成正比 k A都是常量 因此总能量守恒 但动能 势能相互转换 下页 上页 结束 返回 振动能量和时间的关系 设初相位 0 势能曲线 表示Ep随x的变化关系 总能为恒量 因此动能也能在图中表示 可由能量守恒导出谐振动的微分方程 下页 上页 结束 返回 例4 4 如图所示 光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲度系数为k的轻弹簧构成 现有一个质量为m 速度为u0的子弹射入静止的木块后陷入其中 此时弹簧处于自由状态 1 试写出该谐振子的振动方程 2 求出x A 2处系统的动能和势能 解 1 碰撞动量守恒 mu0 m M V0 得 由如图坐标 系统有x0 0 v0 V0 0 设振动方程为x Acos t 0 则0 Acos 0 V0 Asin 0 解得 例4续 所以谐振子的运动方程为 2 x A 2时 振子的势能和动能分别为 4 4简谐运动的合成 1 两个同方向同频率简谐运动的合成 设两个谐运动同方向 x 同频率 运动方程分别为 合位移应在同一方向上 x x x1 x2 旋转矢量法 仍为谐振动 角频率与分振动相同 振幅A 初相 如上 下页 上页 结束 返回 讨论 1 若相位差 2 1 2k k 0 1 2 则 分振动同相 合振动加强 2 若相位差 2 1 2k 1 k 0 1 2 则 分振动反相 合振动减弱 3 一般情况下 A1 A2 A A1 A2 例题 已知 求合成振动的表达式 解 已知A1 6 1 0 75 A2 8 2 0 25 合振动为 下页 上页 结束 返回 2 两个同方向不同频率简谐运动的合成 由于两振动频率不同 则它们的相位差不恒定 合振动一般不是简谐运动 设某时刻两振动相位差为0时 作为计时起点 此时 求 x x1 x2 为简单起见 设A1 A2 则 在 2 1 2 1 下讨论 或 2 1 2 1 随t缓变 随t迅变 下页 上页 结束 返回 拍 可认为合振动是频率为 振幅为 其振幅也作缓慢的周期性变化 其大小在0 2A之间 振动时而加强 时而减弱的现象叫拍 拍频 振幅变化的频率 2 1 下页 上页 结束 返回 例4 5 已知两个谐振动的x t曲线如图所示 它们的频率相同 求它们的合振动方程 解 由图知 两振幅相同 周期均为T 0 1s 圆频率为 谐振动 1 在t 0时 谐振动 2 在t 0时 1 的振动方程为 2 的振动方程为 例4 5续 因此合振动的振幅和初相分别为 由曲线可知t 0时 故合成谐振动方程为 由旋转矢量法也可求 1 分振动 x A1cos t 1 y A2cos t 2 2 合运动的轨迹方程 合运动一般是在2A1 x向 2A2 y向 范围内的一个椭圆 椭圆的性质 方位 长短轴 左右旋 在A1 A2确定之后 主要决定于 2 1 4 垂直方向同频率简谐振动的合成 下页 上页 结束 返回 作图描绘合振动的轨迹 1 2 1 0 2 2 合轨迹为直线 合轨迹为正椭圆 3 4 1 4 2 2